2023年中考数学高频考点突破二次函数与角度附答案

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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与角度附答案
1．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
2．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．

(1)求点、、的坐标（用数字或含的式子表示）；
(2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标；
(3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标．
3．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的表达式．
(2)为线段上一点（不与点，重合），过点作轴于点，交抛物线于点，若，求点的坐标．
(3)是第四象限内抛物线上一点，已知，则点的坐标为______．
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A．

(1)如图1，求b、c的值；
(2)如图2，点P是第一象限抛物线上一点，直线AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，E是直线BC上一点，，的面积S为，求E点坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，直线恰好经过两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一动点，连接，若的面积为6，求点的坐标；
(3)点是抛物线上一动点，连接，若，直接写出点的坐标．
6．抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是第一象限抛物线上动点，连接，．

(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图1，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标；
(3)如图2，设，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得恰好等于，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，．

(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线第三象限部分上的一点，若满足，求点的坐标；
(3)若是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
8．如图，抛物线与轴交于两点，与 轴交于点，点是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线下方运动时，求四边形的面积最大值；
(3)连接，把沿着轴翻折，使点P落在的位置，四边形 能否构成菱形，若能，求出点P的坐标；如不能，请说明理由；
(4)当时，请直接写出点P的坐标．
9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，若．

(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接，平面内存在点D，连接，使，连接，设P的横坐标为t，点D的横坐标为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长交直线于点E，连接，作轴交的延长线于点F，交x轴于点G，点Q为抛物线第二象限上一点，连接，求线段的长．
10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标
(3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由
11．在平面直角坐标系(如图)中，抛物线经过点、，与轴的交点为．

(1)试求这个抛物线的表达式；
(2)如果这个抛物线的顶点为，连接，，求；
(3)如果这个抛物线的对称轴与直线交于点，点在线段上，且，求点的坐标．
12．）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点在轴正半轴上，，点是线段上的一点，过点作，交的延长线于点．

(1)求点的坐标；
(2)若，求点的坐标
(3)在第一象限内，点为抛物线上的一点，在（2）的条件下，若，求点的坐标．
13．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线绕着点C旋转得到直线，直线与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
14．如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点P，使得的面积等于面积的三分之二？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线绕着点C旋转得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐标．
15．已知抛物线与轴的交点，其中，与轴交于点，为坐标原点．

(1)求 (用含有的式子表示)；
(2)如图，点是抛物线的顶点，，求的值；
(3)当时，设抛物线的对称轴与轴交于点，过点的直线与抛物线交于点 (在对称轴右侧)，取中点，过点作轴，交抛物线于点，是否存在点，使线段的长度为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．二次函数的图象经过点，，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点，过点作轴于点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，，求的最大值；
(3)连接，当时，求直线的表达式．
17．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQy轴交直线BC于Q（P在Q上方），再过点P作PRx轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；
(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，在平面直角坐标系中．抛物线与x轴交于和，与y轴交于点C，连接．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求周长的最大值；
(3)点P为抛物线上的一动点，且，请直接写出满足条件的点P的坐标．

参考答案：
1．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．
【解析】（1）将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，

∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）
当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．
2．(1)，，
(2)，
(3)点坐标为或

【分析】（1）将，，分别代入，计算求解即可；
（2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可；
（3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标．
【解析】（1）解：当时，，
当时，，整理得，即，
解得，，
∴，，，
（2）解：如图1，连接，

由题意知，，
∴，
∴当三点共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∵的最小值等于，
∴，
解得，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
记为直线与轴的交点，如图2，连接，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴与重合，即；
过三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，
由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为， 则，
∵，即，
解得，
∵，即，
解得，，
∴，
综上，点坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．(1)
(2)点的坐标为
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）利用待定系数法求出直线的表达式为，设，则点为，点为，由得关于a的方程，解方程求得a的值，即可得到点的坐标；
（3）设交轴于点，由得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程解得，得到点．利用待定系数法求出直线的表达式为，与抛物线的表达式联立，进一步即可得到点P的坐标．
【解析】（1）将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线的表达式为，将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
∵点在线段上，
∴设，
∴点的坐标为，点的坐标为．
∵，
∴，
整理得，
解得，（舍），
当时，，
∴点的坐标为．
（3）设交轴于点，

∵，
∴．
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
设直线的表达式为，将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
令，
解得（舍），，
将代入中，
，
∴．
【点评】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、勾股定理、等角对等边等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
4．(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）根据一次函数的解析式，求出两点的坐标，再利用待定系数法，求出b、c的值即可；
（2）过点P作轴于点H，易得，得到，求出的长，进而得到的长，利用，即可得出结果；
（3）法一：先求出点坐标，过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N，易证，进而推出点坐标，求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标；
法二：法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，易证，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式，两条直线的交点坐标即为点坐标．
【解析】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，当时，；当时，；
，．
将点B、C的坐标代入抛物线中，可得：
，
解得；
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，则：，
当时，，
解得：，
，
过点P作轴于点H，则：，，

∴，
∵，
∴，
，
即：
整理得：，
∵，
∴，
．
（3）法一：
，
，
∴，
过点P作轴于点L，过点A作，且，连接，过点A作y轴的平行线，过点M作点K，交y轴于点N，

则：，
∴，
∴，
，，，
，
设直线的函数关系式为：，
则：，解得：，
直线的函数关系式为，
∵，
∴E为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴E点坐标为；
法二：过点A作，交延长线于点K，过点P作轴，过点K作，交延长线于点L，过点K作轴于点M，则：，，四边形为矩形，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，，
∴四边形为正方形，
设，
，
，，
，，
，
设直线的函数关系式为：，
则：，解得：，
∴直线，
∵E为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴E点坐标为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．属于常见的中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想和二次函数的性质进行求解，是解题的关键．
5．(1)
(2)点的坐标为或
(3)点的坐标为或

【分析】（1）先求出点A和点C的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（2）分点在直线的上方和点在直线的下方两种情况求解即可；
（2）分点E在x轴的上方和点E在x轴的下方两种情况求解即可．
【解析】（1）对于，当时，；当时，，
∴，
将两点坐标分别代入中，得

解得
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，当点在直线的上方时，

过点作轴的垂线，交直线于点，
设点，点，
则，


∵，
∴，解得或
∴点或；
如图2，当点在直线的下方时，

连接，
设点，



∵，
∴，
整理得
∵，
∴方程无实数根，
∴此种情况不存在，
综上，点的坐标为或；
（3）如图3，当点在x轴的上方时，在上取点G，使，作于点F，作于点H，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
如图4，当点E在x轴的下方时，

同理可求，
∴．
设，
∴，
解得（舍去），，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或．
【点评】本题考查了待定系数法求表达式，一次函数与坐标轴的交点，二次函数与几何综合，分类讨论思想等内容，数形结合是解答本题的关键．
6．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为；
(2)的最小值为，此时
(3)存在，点的横坐标为

【分析】（1）依题意与轴交于点，抛物线对称轴为，得出，进而令，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于点，得出，则，设，则的纵坐标为，,根据二次函数的性质即可求解；
（3）取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，依次求得直线，，的解析式，联立抛物线与直线解析式即可求解．
【解析】（1）解：∵与轴交于点，抛物线对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线与x轴分别交于，两点（点在点的左侧），
令，即,
解得：，
∴，
∵，设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）过点作轴交于点，

∴
∵，
∴
∴，
设，则的纵坐标为，
,
解得：，
∴
∴，
∴
∵，抛物线开口向下，有最大值，
当，时取得最大值，最大值为，
即的最小值为，此时；
（3）解：∵，
∴，
如图所示，取点，则，设交于点，过点作于点，延长交轴于点，
设直线的解析式为，
∴，解得：
∴直线的解析式为

则，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴
解得：，
∴直线的解析式为，
联立
解得：
∴
设直线的解析式为
则
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：（舍去）或
∴的横坐标为．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，角度问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或

【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）根据可得出，利用待定系数法确定直线的解析式为，从而可确定直线的解析式为，再解由直线的解析式和抛物线的解析式构成的方程组即可得到点的坐标；
（3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论．
【解析】（1）解：∵抛物线与坐标轴分别交于点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）∵，
∴，
∵点，，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点是抛物线第三象限部分上的一点且在直线上，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．

（3）设，，
∵，，
又∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，可分以下几种情况：
①以为边构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时，不合题意，舍去；
②以为边构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时；
③以为对角线构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时，不合题意，舍去；
综上所述，在抛物线上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【点评】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式和一次函数的解析式，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键．
8．(1)
(2)8
(3)能够成菱形，点P的坐标为或
(4)或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式为，过点P作轴交于P，设，则，求，则当时，有最大值2，在由，得到，求出，则，故当最大时，最大，则；
（3）根据菱形的对角线互相垂直平分可知点P的纵坐标为，由此代入抛物线解析式中进行求解即可；
（4）当点P在直线下方时，由，推出，则此时点P和点C关于抛物线对称轴对称；当点P在直线上方时，设直线交x轴于D，由，得到，设，则，由勾股定理建立方程，解得，则，同理可求得直线的解析式为，联立 即可求出点P的坐标为．
【解析】（1）解：把代入到中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
∴
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于P，设，则，
∴


，
∵，
∴当时，有最大值2，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴当最大时，最大，
∴；

（3）解：∵四边形是菱形，
∴，且与互相平分，
∵，
∴点P的纵坐标为，
在中，当时，则，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（4）解：如图1所示，当点P在直线下方时，
∵，
∴，
∴此时点P和点C关于抛物线对称轴对称，
∵抛物线对称轴为直线，
∴点P的坐标为；

如图2所示，当点P在直线上方时，设直线交x轴于D，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得；，
∴，
解得，
∴，
∴，
同理可求得直线的解析式为，
联立得，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．

【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）根据，可得，再代入函数解析式，即可求解；
（2）过点P作轴交于M，过D作轴交于G，可得，再证得，可得，即可；
（3）根据题意可得，过E点作轴交于K，设，可得，从而得到，在中， 根据勾股定理可得，，从而得到，过P点作轴交于R，可证得，从而得到，再求出直线的解析式，可得，然后求出直线的解析式，可得，从而得到以F为圆心，为半径作圆，即可求解．
【解析】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将A、B代入，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：过点P作轴交于M，过D作轴交于G，

∵P的横坐标为t，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴是的角平分线，
∴，
过E点作轴交于K，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， ，
解得，
∴，
过P点作轴交于R，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴F点横坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
以F为圆心，为半径作圆，
∵，
∴Q点在圆F上，
∴．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，圆的基本性质是解题的关键．
10．(1)；
(2)
(3)抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，则点P的是，求出，得到，，根据的面积是面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，证明得到，求出点E的坐标是，待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标．
【解析】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，

对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，
则点P的是，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵的面积是面积的3倍，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，

∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立与得，
，
解得或（不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加合适的辅助线解决问题．
11．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将点、，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意作出图形，如图，过点作轴交于点，得出，，进而根据正切的定义即可求解；
（3）连接，证明，根据相似三角形的性质得出，求得直线的解析式，设，根据勾股定理求得的值，进而即可求解．
【解析】（1）解：将点、，代入，得

解得：
∴这个抛物线的表达式为；
（2）解：∵,
则点，
令，解得：，则,
∴轴，
如图，过点作轴交于点，
则，
∴，，
在中，；

（3）解：如图所示，

连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵
∴，
即
∵,，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
设过点,的直线解析式为，
则
解得：
∴直线的解析式为,
设点，
∵
∴
解得：或
∵点在线段上
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，角度问题，相似三角形的性质与判定，求正切，综合运用以上知识是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）将代入抛物线，求解即可；
（2）证明，可得，设，所以，在中，利用勾股定理建立方程可求出的值，即可得出点的坐标；
（3）过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，易证，再证，求得直线的解析式，联立抛物线的解析式可得出点的坐标．
【解析】（1）解：将代入抛物线得，
，
解得，，
点在点的左侧，
；
（2）解：，
，
，
，
，
设，
，
，，
在中，由勾股定理可得，，
，
解得（舍去）或，
；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，

，
，，
，
，，
轴，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，解得，
，，
，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：，
令，
解得或（舍去），
当时，，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与轴的坐标，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数上点的坐标特征等知识，第（2）问关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方表达出和；第（3）问关键是构造相似三角形，建立方程．
13．(1)抛物线的解析式为
(2)不存在这样的点P，理由见解析
(3)M点坐标是或

【分析】（1）由，得，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点P作轴分别交线段于点N．先求出，得到，再求出 ，待定系数法得的解析式，设，，得到，由根的判别式得到方程无实数根，即可得到结论；
（3）分直线绕着点C顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别进行求解即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴．
把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
理由：如图，过点P作轴分别交线段于点N．

∵抛物线的解析式为，
令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
，
由题意得，
∴，即，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为：．
设，，
则，
∴，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
（3）解：当直线绕着点C顺时针旋转时，如图，过A作交于点K，作轴于点H，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
当时，，
∴．
当直线绕着点C逆时针旋转时，如图，过A作交于点D，作轴于点E，

同理可证得，
得到，
同理求得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
当时，，
∴．
综上，M点坐标是或．
【点评】此题是二次函数几何综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定、旋转的性质、一元二次方程根的判别式、二次函数与一次函数交点等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．(1)抛物线的解析式为：；
(2)不存在这样的点P，理由见解析；
(3)M点坐标是或．

【分析】（1）根据点A的坐标为，可得出C点坐标，再把A、C两点的坐标代入抛物线求出a，c的值即可；
（2）过点P作轴分别交线段于点N，利用待定系数法求出直线的解析式，故可得出，，再由，解一元二次方程即可得出结论；
（3）分当直线绕着点C顺时针旋转时，当直线绕着点C逆时针旋转时，两种情况讨论，当直线绕着点C顺时针旋转时，过A作交于点K，作轴于点H，证明，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出M的坐标；当直线绕着点C逆时针旋转时，同样的方法可求解．
【解析】（1）解：∵，，
∴．
把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
理由：如图，过点P作轴分别交线段于点N．

∵抛物线的解析式为，
令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
，
由题意得，
∴，即，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为：．
设，，
则，
∴，
整理得，
∵，
∴方程无实数根，
∴不存在这样的点P，使得的面积等于面积的三分之二；
（3）解：当直线绕着点C顺时针旋转时，如图，过A作交于点K，作轴于点H，

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
同理求得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
∴．
当直线绕着点C逆时针旋转时，如图，过A作交于点D，作轴于点E，

同理可证得，
得到，
同理求得直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
∴．
综上，M点坐标是或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键的是掌握待定系数法求函数的解析式，作辅助线构造全等三角形．
15．(1)，
(2)
(3)存在，或

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过点作轴交于点，过点作交于点，利用等积法求出的长，再由，得到，从而求出的值即可；
(3)求出直线解析式为，再联立方程组，根据根与系数的关系可得，分别求出，再由题意可得方程，求出的值即可．
【解析】（1）解：将代入，
∴，
解得，
∴， ；
（2）过点作轴交于点，过点作交于点，

∵，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）存在点，使线段的长度为，理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
联立方程组，
整理得，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
当时，，
当，，
∴或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，等积法求三角形的高，根与系数的关系是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先将点和点代入二次函数的解析式，然后求得和的值，最后得到二次函数的表达式；
（2）先求出点的坐标，然后求得直线的解析式，将与的交点记为点，过点作于点，然后求得的面积，最后根据二次函数的性质求得的面积最大值；
（3）记与轴的交点为点，由//y轴得到，然后由得到，从而得到，然后设，通过直角三角形中的勾股定理列出方程求得的值得到点的坐标，最后求得直线的解析式．
【解析】（1）解：（1）二次函数的图象经过点，，
，
解得：，
二次函数的表达式为．
（2）将代入得，，
点，
设直线所在直线的表达式为，则
，
解得：，
直线的表达式为，
如图，设与线段交于点，
设，
轴交于点，
，
，
过点作，则，，
，
，
当时，有最大值，面积的最大值为8．
（3）如图，设与轴交于点，
//y轴，
，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
设所在直线表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．(1)；
(2)P（1，3）；
(3)存在，D点坐标为（，）．

【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由顶点M（0，4），A（−2，0）可得B（2，0），则OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得∠PQR＝∠PRQ＝45°，则PQ＝PR，根据△PQR的面积为2可得PQ＝2，求出直线BC的解析式为y＝−x＋2，设P（m，），则Q（m，−m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；
（3）过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，证明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，设N（n，−n＋2），则n＝−n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直线AN的解析式为y＝，联立即可求解．
【解析】（1）解：∵抛物线的顶点M（0，4），
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A（−2，0），
∴4a＋4＝0，
解得a＝−1，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵顶点M（0，4），A（−2，0），
∴B（2，0），
∵点C（0，2），
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQy轴，PRx轴，
∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，
∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，
∴PQ＝PR，
∵△PQR的面积为2，
∴PR·PQ＝＝2，
∴PQ＝2，
∵C（0，2），
∴设直线BC的解析式为y＝kx＋2，
代入B（2，0）得：0＝2k＋2，
解得：k＝－1，
∴直线BC的解析式为y＝−x＋2，
设P（m，），则Q（m，−m＋2），
∴PQ＝，
解得：m＝1或0（舍去），
∴P（1，3）；
（3）解：存在；
过点M作MN⊥AD于N，过点N分别作NE⊥y轴于E，NF⊥x轴于F，

∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，
∴∠MNE＝∠ANF，
∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，
∴MN＝AN，
∴△MNE≌△ANF（AAS），
∴ME＝AF，NE＝NF，
设N（n，n），则ME＝4－n，AF＝n＋2，
∴4－n＝n＋2，
解得：n＝1，
∴N（1，1），
∵A（−2，0），
设直线AN的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴直线AN的解析式为y＝，
联立，
解得：（舍去）或，
∴D点坐标为（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先利用勾股定理求出，再求出直线解析式为：，设，则，可得，再由，可得，从而得到周长，再利用二次函数的性质，即可求解；
（3）在x轴负半轴上取点E，使，连接交抛物线于点P，可得，然后求出直线解析式为，再求出直线CE与抛物线的交点坐标；作E关于直线的对称点F，连接并延长交抛物线于，连接EF交AC于点T，则，设，根据，可得．再求出直线CF的解析式，即可求解．
（1）
解：把和代入，得：
，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：令y=0，则，
∴，
∴OC=2，
∵点A（-4，0），
∴OA=4，
∴，
∴可设直线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
设，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴周长

∵，
∴当时，周长最大值为．
（3）
解：在x轴负半轴上取点E，使，连接交抛物线于点P，如图．

∴OE=2，
∴，
此时，即P是满足条件的点．
∵，
∴可设直线解析式为，
把点E（-2，0）代入得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立，解得：（舍去）或
∴此时点
∴；
作E关于直线的对称点F，连接并延长交抛物线于，连接EF交AC于点T，则，
∴是满足条件的点，
设，
根据对称性得：，
∴
解得或（舍去），
∴．
∵，
∴可设直线解析式为，
把点，代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
综上，为或．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．