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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积 （含答案）
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2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a为常数，且a＜0)与x轴相交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
(1)求证OC=OE；
(2)M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=时，求△CMN的周长的最小值；
(3)若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
2．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积．
3．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AE、CE，当的面积最大时，点D的坐标是 ；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；
(3)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
6．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝ ；
（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．
8．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程．
10．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴交于点，若．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上一点，点是原抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值．
12．已知抛物线（）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线（）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图1，连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标．
13．如图，已知抛物线L1：y＝﹣ax2﹣2ax+3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6．
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）若M是线段AC上的一动点，过点M作MN∥y轴，MN与抛物线相交于点N，设点M的横坐标为m，求MN的长度（用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当△ANC的面积最大时，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且△ACP的面积等于△ANC的面积，求点P的坐标．
14．如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标．
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为．在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，函数的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，与x轴的另一个交点为C，m，n分别是方程的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设P是抛物线第一象限上一动点，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求出最大面积；
（3）对于函数，设函数在≤≤+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
17．如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交A（﹣2，0）和点B，与p轴交于点C，并且经过点D（5，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上第四象限内一点，联结AC，CM，BM，当四边形ACMB面积最大时，求点M的坐标以及S四边形ACMB的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后的抛物线经过线段BC的中点，记点B平移后的对应点为B1，点C平移后的对应点为C1，点Q是平移后新抛物线对称轴上一点，点P是原抛物线上一点，若以点B1，C1，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
(3)错误；理由见解析
【分析】（1）A（－1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b、c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC、OE，即可得出结论；
（2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，求出点的坐标，根据△CMN周长的最小值为：=C1C2，算出最小值即可；
（3）过Q作QK∥y轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，求出当x取时，S有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误．
【解析】（1）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线为y=ax2-2ax-3a，
∴C（0，-3a），D（1，-4a），
设直线BD的解析式为，把B、D两点的坐标分别代入得：
，解得：，
∴直线BD为y=2ax-6a，
∴E为（0，-6a），
∴OC=-3a，OE=-6a，
∴OC=OE．
（2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，如图所示：
此时C（0，），直线BE为y=－x＋3，点E（0，3），
∵OB=3，
∴，
∵∠BOE=90°，
∴，
∵，
∴，
垂直平分，
∴，，
，
∴，
∴轴，
∴点C1为（，3），
C关于x轴的对称点C2为（0，－），
∵，
∴△CMN周长的最小值为：
=C1C2
=
=
（3）小林猜想是错误的；理由如下：
过Q作QK∥y轴，交BC于点K，如图所示：
设点Q的横坐标为x，则QK==，
∴S=S△BCQ＋S△ABC
=
=
=
∴当点Q的横坐标为x取时，S有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴它们不重合．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出相应的辅助线，找出使△CMN取最小值时的点M、N，是解题的关键．
2．(1)
(2)存在或
(3)；
【分析】（1）将点B代入一次函数求n，再将A、B代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据题意，可求，分情况讨论求出点P即可；
（3）由（2）知，从而表示的周长，求出最值，进而求面积；
【解析】（1）解：将代入中
∴
将、代入中
解得：
∴
（2）设，则、
令y=0代入中得，x=-2
∴与x轴的交点坐标为：
∴
∴
如图：
当时，
则
解得：（舍去）
∴
当时，
解得：（舍去）
综上，或
（3）由（2）知
∴的周长
当时，最大，
∴
【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用、锐角三角函数值，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
3．(1)；
(2)；
(3)当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）将，代入，即可求解析式；
（2）求出直线AC的解析式，即可知，，再求，即可求解；
（3）设Q（n，t），分三种情况求：①当BC为平行四边形的对角线时，由，可求；②当BE为平行四边形的对角线时，由，；③当BQ为平行四边形的对角线时，由，可求．
（1）
解：∵点，AB＝4，
∴，
将，代入，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）
解：存在，理由如下：
∵，
∴，
设，如图：
①当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
②当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
综上所述：当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数，平行四边形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的对角线互相平分．
4．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据抛物线与轴交点，写出函数的交点式即可得出结果；
（2）求出直线的表达式为：，得到点纵坐标，利用三角形面积公式求解即可；
（3）①过点N作于点G，求出直线的表达式为：，得到，设，，再根据矩形性质求出他们的坐标，进而得到；②根据①中的相关信息，得出当点B、Q、M共线时，的周长最小，此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴抛物线的表达式为：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴；
（3）解：①过点N作于点G，
∵过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、，
∴，
，
∴；
②∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
又∵，，
∴，
∴，
∴当点B、Q、M共线时，的周长最小，
此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，
∵；，
∴，
把代入得：，
∴．
【点评】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求表达式、平面直角坐标系三角形面积求解、特殊平行四边形问题和动点最值问题，综合性强、难度较大，熟练掌握相关题型的解题方法是解决问题的关键．
5．(1)
(2)；证明见解析
(3)存在；S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B(，)，而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF=，而BC=，所以BF=BC；
（3）作轴交于点，设，利用和二次函数的性质即可求解．
（1）
把点（-2，2），（4，5）代入得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为；
（2）
BF＝BC．
理由如下：
设B(，)，已知F（0，2），
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
（3）
作轴交于点．
经过点F（0，2），且时，
∴一次函数解析式为，
解方程组，
得或，
则，
设，则，
∴，
∴
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）先求直线的解析式为，则，，可求；
（3）设，过点作轴垂线交于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式得，求得或．
【解析】解：（1）将代入，
，
；
（2）令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．
7．（1）A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）；（3）（4，﹣8）．
【分析】（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，从而确定A点坐标，利用对称轴公式求得抛物线对称轴；
（2）分别求得B点和C点坐标，求得直线OD的解析式，然后通过求解△OBD的面积求得平行四边形的面积；
（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B，点D及点C的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．
【解析】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，
解得：x1=0，x2=2，
∵抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，
∴A点坐标为（2，0），
抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为直线=1，
即A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；
（2）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，
∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，
∴B点坐标为（1，-3），
∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，
∴点D的纵坐标为=，
∴D点坐标为，
设直线OD的解析式为，
将D点坐标为代入，可得，
解得：，
∴直线OD的解析式为，
当x=1时，，
∴E点坐标为，
∴==，
∴S▱OBCD＝，
故答案为：；
（3）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，
设B点坐标为（1，-b），D点坐标为（a，﹣a2+2a），
∵点D在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C在抛物线上，四边形OBCD为平行四边形，
∴OB=CD，OB∥CD，
∵将点O向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后得到点B，
∴将点D向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后可得到点C，
∴C点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b），
将C点坐标代入到y＝﹣x2+2x中，可得：
﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b，
整理，可得：b=2a-1，
设直线OD的解析式为，
将D点坐标（a，﹣a2+2a），代入，可得，
解得：，
∴直线OD的解析式为，
当x=1时，，
∴E点坐标为，
∴
=
=
=
=，
∵▱OBCD的面积是12，
∴，
解得：a1=-4（舍去）或a2=3，
当a=3时，b=2×3-1=5，
将a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中，
∴C点坐标为（4，﹣8）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，理解二次函数图象上的点的特征，掌握平行四边形的性质，利用数形结合思想解题是关键．
8．（1）y＝-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为；（3）m=或或或.
【分析】（1）令x=0，解得y=b，求出OB＝OC＝b，OA=，得到A（-，0），C（0，b），B（b，0），把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b即可求解；
（2）设直线EH的解析式为y=nx+7，联立，得，根据直线EH与函数只有一个交点，求出H（2，3），再得到直线GH过定点M（2，-5），利用S△FGH=S△FMH+S△GMH==4，求出的最小值即可求解；
（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°，设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），求出平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+2m+2，联立得到，求出x1+x2=2m+2，x1x2=，y1+y2=4m-6，表示出点R（m-1，2m-3），求出2，利用PR=，得到EF2=4PR2，列出关于m的方程即可求解；当以EF为直径的与x轴相交时，x轴上存在点P即交点，使∠EPF=90°；当以EF为直径的与x轴相离时，不存在点P使∠EPF=90°．
【解析】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，
令x=0，解得y=b，
∴CO=b，
∴OB＝OC＝b，OA=，
∴A（-，0），C（0，b），B（b，0），
把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b，
得，解得，
∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3；
（2）∵点E的坐标为（0，7），
可设直线EH的解析式为y=nx+7，
联立，得，
∵直线EH与函数只有一个交点，且在对称轴右侧，
∴△=，
解得n1=-2，n2=6（舍去），
∴直线EH的解析式为y=-2x+7，
解方程得x1=x2=2，
∴H（2，3），
∵直线GH解析式y＝kx﹣2k﹣5=k（x-2）-5，
∴直线GH过定点M（2，-5），
如图，连接HM，
∵H（2，3），
∴HM⊥x轴，MH=8，
设F（x2，y2）、G（x1，y1），
联立，得到，
∴x1+x2=2-k，x1x2=-2k-8，
∵S△FGH=S△FMH+S△GMH==4，
故当最小时，S△FGH最小，
∵2=，
故当k=-2时，2的最小值为32，
故的最小值为，
∴此时S△FGH最小为4=；
（3）①当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°，
如图，与x轴相切时，切点为点P，
∵y＝-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m时，则抛物线向右平移了m-1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m-1）个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+4+2（m-1）=-（x-m）2+2m+2，
联立，
得到，
∴x1+x2=2m+2，x1x2=，
∴y1+y2=2（x1+x2）-2=4m-6，则点R（m-1，2m-3），
2==（2m+2）2-4（）=16，PR=，
则EF2=4PR2，
∵EF2=2+2=52=5×16，PR=2m-3 ，
，
解得m=；
②直线l：y＝2x﹣1与x轴的交点为（，0），当以EF为直径的与x轴相交于点（，0）时，x轴上存在点P即交点，使∠EPF=90°，如图：
则，
解得：或；
③当以EF为直径的与x轴相离时，不存在点P使∠EPF=90°．
故m的值为：或或或．
【点评】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．
9．（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为， P（，）；（3）点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，先求出直线BC的解析式，设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），求出△PCD面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件，即可求解；
（3）求得新抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，两抛物线的交点为E (，)，分DF为对角线，DG为对角线两种情况讨论，画出图形利用两点之间的距离公式求解即可．
【解析】解：（1）由题意可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，
令x=0，则y=3，
∴点C 的坐标为(0，3)，
抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，则有：
kx+3=0，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∴点D的坐标为(1，2)，
设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），
∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x．
∴S△PCD=PM•（xD-xC）=(-x2+3x)=-，
∴当x=时，△PCD的面积最大，最大值为，
此时P（，）；
（3）将抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4向右平移1个单位得到新抛物线，
则新抛物线的解析式为y=-(x-1-1)2+4=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，
解方程-(x-1)2+4=-(x-2)2+4，得x=，
∴点E的坐标为(，)，
∴DE=，
①当DF为对角线时，如图，四边形DEF1G1是菱形，
由对称性质可得，点F1的坐标为(2，2)；
②当DG为对角线时，如图，四边形DEG2F2是菱形，
设点F的坐标为(2，m)，
由DF2=，
解得：或，
∴点F2的坐标为(2，)，点F3的坐标为(2，)，
综上，点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等知识．把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
10．（1）；（2）面积最大值为，；（3），，，见解析
【分析】（1）先利用求出两轴交点A、B坐标，利用正切三角函数求出点C坐标，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过作轴交于，利用待定系数法求出BC的解析式为,设P（m. ）,根据PQ∥y轴，求出Q（m, ），求出PQ=，求出四边形面积并配方变为顶点式即S四边形OBPC= S△BOC+ S△CPB=，当m=时，最大=即可；
（3）把原函数配方为顶点式，利用平移求出新函数展开变为一般形式，确定四点坐标，，，，分类讨论①对角线，②对角线，③对角线，利用平行四边形的性质找出横坐标之间关系与纵坐标之间关系即可求解．
【解析】解：（1）A，为与x轴，轴交点，
∴当x=0时, ，当y=0时，，，
，．
∵OB=，，
，
∴，
．
∵，经过A、B、C三点，将坐标代入抛物线解析式得：
解得
．
（2）过作轴交于，
设BC的解析式为,
将B、C两点坐标代入解析式得：
解得,
∴BC的解析式为,
设P（m. ）,
∵PQ∥y轴，
∴点P与点Q的横坐标相同，
∴Q（m, ）
∴PQ=-=
S△BOC=，S△CPB=
∴S四边形OBPC= S△BOC+ S△CPB=，
当m=时，最大=，
点P；
（3）∵把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得
∴新抛物线即
=，
，，，，
①对角线，则，
，
解得，
；
②对角线，则，
，
解得，
则，；
③对角线，则，
，
解得，
则，．
综上点的坐标为，．．
【点评】本题考查一次函数与两轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，利用线段函数表示面积并求最值，抛物线平移变换，平行四边形的性质，本题难度大，系数为无理数增大难度，要求计算能力强，绘图能力高，熟练掌握二次函数的知识，准确画出图形，灵活应用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
11．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可．
【解析】解：（1）∵OA=1，
∴A（-1，0），
又∵对称轴为x=2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）由（1）得：，，
，
故答案为；
（3），，
直线的解析式为：，
设，作轴交于点，
则，
，
，
当时，有最大值为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可．
12．（1）yx2x+5，点C的坐标为（0，5）；（2）存在，P1（0，5），P2（﹣1，8）；（3）E（，）
【分析】（1）根据，两点利用待定系数法求二次函数解析式，进而得出点的坐标；
（2）根据点、、的坐标可以求出，从而得到就是直角三角形，所以点即为所求的一个点的，再根据平行直线的解析式的值相等求出过点的直线，与抛物线联立求解即可得到另一个点；
（3）根据点、、的坐标可得，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得，然后根据等角对等边可得，然后利用直线的解析式设出点的坐标，再利用勾股定理表示出的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．
【解析】解：（1）∵抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
令，则，
所以，点的坐标为；
（2）假设存在，分两种情况：如图1，①过点作轴于点，
，，，
，，
，，
，
是直角三角形，
点符合条件，
所以，；
②当时，过点作交抛物线于点，
，，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线，
联立，
解得或，
又点，
点的坐标为，
综上所述，存在点，；
（3）如图2，
，，，
，，
又，，
，
，，即是直角三角形；
点在直线上：，
设点，
根据勾股定理，
，
所以，，
所以，当时，取最小值，
此时，
所以，点的坐标，．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，主要利用了抛物线与轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）题，根据点、、的坐标求出角，从而得到直角或相等的角是解题的关键．
13．（1）y=-x2-2x+3；（2）MN=-m2-3m；（3）P的坐标为：（-，4）或（，4）．
【分析】（1）由-ax2-2ax+3a=0，得A（-3，0），B（1，0），AB=4，根据S△ABC=6，得点C的坐标为（0，3），将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得a=1，故抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，根据点M的横坐标为m，知点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，从而MN=-m2-3m；
（3）当 MN最长时，△ANC的面积最大，由MN=-m2-3m=-（m+）2+（-3＜m＜0），可得此时点N的坐标为（-， ），过点N作直线l∥AC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线l'∥AC，用待定系数法可得直线l的解析式为y=x+，①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，可求得此时P（-，4），②根据CR=CQ可得直线l'解析式为y=x+，知N到AC的距离等于直线l'与直线AC间的距离，P在直线l'上，即可得P（，4）．
【解析】解：（1）令-ax2-2ax+3a=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），AB=4，
∵S△ABC==6，
∴OC=3，即点C的坐标为（0，3），
将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得：3a=3，解得a=1，
∴抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）由（1）可得A（-3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将C（0，3），A（-3，0）代入得：
，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵点M的横坐标为m，
∴点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，
∴MN=（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m；
（3）∵S△ANC=MN•|x-x|=（-m2-3m），
∴当 MN最长时，△ANC的面积最大，
∵MN=-m2-3m=-（m+）2+，（-3＜m＜0，），
∴当m=-时，MN最长，
将x=-代入y=-x2-2x+3得y=-（-）2-2×（-）+3=，
∴点N的坐标为（-， ），
过点N作直线l∥AC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线l'∥AC，如图：
由（2）知直线AC解析式为y=x+3，
∴设直线1的解析式为 y=x+n，将N（-， ）代入得n=，
∴直线l的解析式为y=x+，
①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，
∵抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），
∴在y=x+中令y=4得x=-，
∴此时P（-，4），
②在y=x+中令x=0得y=，
∴Q（0，），
∴CQ=-3=，
∵CR=CQ，
∴R（0，），
∵直线l'∥AC，
∴直线l'解析式为y=x+，
而直线l∥AC，直线l'∥AC，且CR=CQ，
∴N到AC的距离等于直线l'与直线AC间的距离，即P在直线l'上，此时△ACP的面积等于△ANC的面积，
∵将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，且抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），
∴在y=x+中，令y=4得x=，即得P（，4），
综上所述，P的坐标为：（-，4）或（，4）．
【点评】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移等知识，解题的关键是掌握和熟练运用同底等高的三角形面积相等．
14．（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）由题意易得点A、B的坐标，则，然后由的面积为24可得，设抛物线解析式为，进而把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）易求直线AC的解析式，进而可得直线DE的解析式为，过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，设点，的面积为S，则，然后根据铅垂法可得，最后问题可求解；
（3）由题意易得点C、F重合，由（2）可得，，由题意可设，然后根据菱形的性质可分①当时，②当时，③当时，进而根据两点距离公式可进行分类求解．
【解析】解：（1）∵两点的横坐标分别是和2，
∴，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，即，
设抛物线解析式为，把点的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）由（1）可得：抛物线解析式为，，，
∵，
∴，
∴点，
设直线AC的解析式为，把点A、C代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵，
∴直线DE与AC的斜率相等，即k相等，
∴设直线DE的解析式为，把点代入得：，解得：，
∴直线DE的解析式为，
过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，如图所示：
设点，的面积为S，则，
∴根据铅垂法可得的水平宽为点D、E的水平距离，即为2，铅垂高为PH的长，即为，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）存在点M、N，使得以为顶点的四边形是菱形，理由如下：
将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，结合（1）可得：
∴平移后的解析式为，
∴点C、F重合，
∴，
由（2）可得直线AC的解析式为，点P的坐标为，设，
∵四边形是菱形，
∴①当时，由两点距离公式可得：
，
解得：，
∴点；
②当时，同理可得：，
解得：（舍去），
∴点；
③当时，同理可得：，
解得：，
∴点或；
综上所述：当以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质与菱形的性质是解题的关键．
15．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（，）；；（3）存在；点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【分析】（1）根据点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，利用待定系数法代入抛物线解方程组即可；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，利用待定系数法求直线BC解析式为y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），求PG＝﹣m2+3m，再利用面积公式求出S△PBC＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3=即可；
（3）存在N满足条件，求出抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交点 A（﹣1，0），顶点M（1，4），利用待定系数法求直线MC的解析式为：y＝x+3，可证△MNQ为等腰直角三角形，利用三角函数可得MQ＝NQMN，设点N（1，n），根据点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，构造方程（|4﹣n|）2＝4+n2，解方程即可．
【解析】解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC解析式为：，
∵点B（3，0），点C（0，3），在直线BC上，代入解析式得，
∴
解得
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3=
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得x=-1，x=3，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
设直线MC的解析式为
∴
解得
∴直线MC的解析式为：y＝x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MNsin45°=MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
在Rt△AND中，由勾股定理得AN2=AD2+ND2=4+n2，MN=|4-n|，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式与一次函数解析式，三角形面积最值，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角锐角三角函数，勾股定理， 难度较大，综合性强，计算量大，掌握多方面知识才是解题关键．
16．（1）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）△PBC的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）t＝﹣1或t＝2．
【分析】（1）解方程x2﹣2x﹣3＝0即可求得m＝﹣1，n＝3，根据m、n的值即可得A（﹣1，0），B（0，3），再用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）过点P作PC⊥轴，垂足为C，交BC于点M．先求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（，），则D（，），由此可得PD；所以当时，PD取最大值，此时△PBC的面积有最大值，P（，）；由此可得△PBC的面积．
（3）抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），分函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的左侧、t＋1是函数的对称轴、函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线分别在对称轴的两侧、t为函数的对称轴及当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的右侧五种情况求t的值即可．
【解析】（1）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点P作PC⊥轴，垂足为M，交BC于点D．
当时，，解得，．即C（3，0）．
设直线BC的解析式为，则
∴．∴．
设点P的坐标为（，），则D（，），
∴PD．
∴当时，PD取最大值，此时△PBC的面积有最大值，P（，）．
△PBC的面积．
∴△PBC的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）．
（3）抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
①当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当x＝t时，取得最小值q＝﹣t2＋2t＋3，最大值p＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3，
由p﹣q＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3﹣（﹣t2＋2t＋3）＝3，
即﹣2t＋1＝3，解得t＝﹣1．
②当t＋1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，
令p﹣q＝4﹣（﹣t2＋2t＋3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1＋（舍），t2＝1－（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3]＝3，即t＝±（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时，取得最大值p＝﹣t2＋2t＋3，最小值q＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3，
由p﹣q＝﹣t2＋2t＋3﹣[﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，最值问题等知识，运用分类讨论的思想解决第（3）题的关键．
17．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）y＝或y＝
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝，
∴点B′的坐标为（1，2），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，
则：，解得：，
∴直线AG解析式为y＝，
∴D（1，），
∴B′D＝2﹣，
∴
＝•B′D•2＋•B′D•（t﹣1）
＝•B′D•（t＋1）
＝（2﹣）（t＋1）
＝（t＋1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2＋（2＋）t＋3＋，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；
（3）取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x＋b1，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x＋．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx＋n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝或y＝．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
18．（1），（2），，（3）(1，)或(3，)或(-5，)；
【分析】(1)把A（﹣2，0），D（5，）代入解析式，用待定系数法求解即可；
(2)连接OM，设M点坐标为，表示出四边形ACMB的面积，根据二次函数的性质求最大值和M点坐标即可；
(3)求出平移后的抛物线解析式，求出B1，C1坐标，设出P，Q两点坐标，根据中点坐标公式列方程即可．
【解析】解：(1)把A（﹣2，0），D（5，）代入y＝ax2+bx﹣2得，
，解得，
抛物线解析式为；
(2)连接OM，
当x=0时，y=,则C点坐标为（0，）；
当y=0时，，解得，，，则B点坐标为（4，0）；
∵A点坐标为（﹣2，0），
∴，
设M点坐标为，
， ,
,
化为顶点式为，
当时，最大，此时M点坐标为，最大面积为；
（3）抛物线沿射线BC方向平移，平移后的抛物线经过线段BC的中点，记点B平移后的对应点为B1，
∵B(4，0)，C（0，），
∴BC中点坐标为B1（2，），
∴抛物线向下平移个单位，向左平移2个单位，则C1坐标为（-2，），
原抛物线解析式化为顶点式是，平移后的解析式为，对称轴为直线，
设点Q坐标为（-1，q），点P坐标为；
根据平行四边形对角线互相平分，
当B1C1为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(1，)；
当B1Q为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(3，)；
当B1P为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(-5，)；
综上P点坐标为(1，)或(3，)或(-5，)；
【点评】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质求最值，利用分类讨论思想和平行四边形性质列方程．
2023年中考数学高频考点突破——二次函数与面积
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a为常数，且a＜0)与x轴相交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E．
(1)求证OC=OE；
(2)M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a=时，求△CMN的周长的最小值；
(3)若Q为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q与点D重合时，四边形ABQC的面积取得最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
2．如图，直线与抛物线相交于点和点，抛物线与轴的交点分别为、（点在点的左侧），点在线段上运动（不与点A、重合），过点作直线轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作于点，当的周长最大时，求点坐标，并求出此时的面积．
3．已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AE、CE，当的面积最大时，点D的坐标是 ；
(3)当时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接BC，直线交y轴于点M.P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积；
(3)①若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标；
②在①的条件下，第四象限内有一点Q，满足，当△QNB的周长最小时，求点Q的坐标．
5．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；
(3)若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
6．如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作PQ⊥x轴，分别交线段AB、抛物线于点Q，C，连接AC．若OP＝1，求△ACQ的面积；
（3）如图2，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD是平行四边形．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝ ；
（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．
8．如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．
9．如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程．
10．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴交于点，若．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得新抛物线，点是新抛物线上一点，点是原抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求BCE面积的最大值．
12．已知抛物线（）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线（）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图1，连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，求出当△OEF的面积取得最小值时，点E的坐标．
13．如图，已知抛物线L1：y＝﹣ax2﹣2ax+3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为6．
（1）求抛物线L1的解析式；
（2）若M是线段AC上的一动点，过点M作MN∥y轴，MN与抛物线相交于点N，设点M的横坐标为m，求MN的长度（用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当△ANC的面积最大时，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且△ACP的面积等于△ANC的面积，求点P的坐标．
14．如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标．
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为．在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
15．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，函数的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，与x轴的另一个交点为C，m，n分别是方程的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设P是抛物线第一象限上一动点，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求出最大面积；
（3）对于函数，设函数在≤≤+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
17．如图，抛物线y＝ax2﹣2x＋c与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点C在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC沿直线AC翻折得到，点恰好落在抛物线的对称轴上．若点G为直线AC下方抛物线上的一点，求当面积最大时点G的横坐标；
（3）点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，在抛物线的对称轴上存在一点Q使得为等边三角形，请直接写出此时直线AP的函数表达式．
18．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交A（﹣2，0）和点B，与p轴交于点C，并且经过点D（5，）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上第四象限内一点，联结AC，CM，BM，当四边形ACMB面积最大时，求点M的坐标以及S四边形ACMB的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后的抛物线经过线段BC的中点，记点B平移后的对应点为B1，点C平移后的对应点为C1，点Q是平移后新抛物线对称轴上一点，点P是原抛物线上一点，若以点B1，C1，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
(3)错误；理由见解析
【分析】（1）A（－1，0），B（3，0）两点代入抛物线关系式，用a表示出b、c，用a表示出点C，点D的坐标，求出直线BD的关系式，即可表示出E点坐标，用a表示出OC、OE，即可得出结论；
（2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，求出点的坐标，根据△CMN周长的最小值为：=C1C2，算出最小值即可；
（3）过Q作QK∥y轴，交BC于点K，设点Q的横坐标为x，用x表示出QK，再将四边形分成两个三角形，用x表示出两个三角形的面积，求出当x取时，S有最大值，对比D点的横坐标，说明小林猜想错误．
【解析】（1）解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1，0），B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线为y=ax2-2ax-3a，
∴C（0，-3a），D（1，-4a），
设直线BD的解析式为，把B、D两点的坐标分别代入得：
，解得：，
∴直线BD为y=2ax-6a，
∴E为（0，-6a），
∴OC=-3a，OE=-6a，
∴OC=OE．
（2）当a=时，抛物线为，作点C关于BE的对称点，作关于x轴的对称点，连接，与OB交点为M，与BE交点为N，此时△CMN的周长最小，连接，如图所示：
此时C（0，），直线BE为y=－x＋3，点E（0，3），
∵OB=3，
∴，
∵∠BOE=90°，
∴，
∵，
∴，
垂直平分，
∴，，
，
∴，
∴轴，
∴点C1为（，3），
C关于x轴的对称点C2为（0，－），
∵，
∴△CMN周长的最小值为：
=C1C2
=
=
（3）小林猜想是错误的；理由如下：
过Q作QK∥y轴，交BC于点K，如图所示：
设点Q的横坐标为x，则QK==，
∴S=S△BCQ＋S△ABC
=
=
=
∴当点Q的横坐标为x取时，S有最大值，
∵点D的横坐标是1，
∴它们不重合．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出相应的辅助线，找出使△CMN取最小值时的点M、N，是解题的关键．
2．(1)
(2)存在或
(3)；
【分析】（1）将点B代入一次函数求n，再将A、B代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据题意，可求，分情况讨论求出点P即可；
（3）由（2）知，从而表示的周长，求出最值，进而求面积；
【解析】（1）解：将代入中
∴
将、代入中
解得：
∴
（2）设，则、
令y=0代入中得，x=-2
∴与x轴的交点坐标为：
∴
∴
如图：
当时，
则
解得：（舍去）
∴
当时，
解得：（舍去）
综上，或
（3）由（2）知
∴的周长
当时，最大，
∴
【点评】本题主要考查二次函数和一次函数的综合应用、锐角三角函数值，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
3．(1)；
(2)；
(3)当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）将，代入，即可求解析式；
（2）求出直线AC的解析式，即可知，，再求，即可求解；
（3）设Q（n，t），分三种情况求：①当BC为平行四边形的对角线时，由，可求；②当BE为平行四边形的对角线时，由，；③当BQ为平行四边形的对角线时，由，可求．
（1）
解：∵点，AB＝4，
∴，
将，代入，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）
解：存在，理由如下：
∵，
∴，
设，如图：
①当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
②当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴；
综上所述：当Q点为或或时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，一次函数，平行四边形，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的对角线互相平分．
4．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）根据抛物线与轴交点，写出函数的交点式即可得出结果；
（2）求出直线的表达式为：，得到点纵坐标，利用三角形面积公式求解即可；
（3）①过点N作于点G，求出直线的表达式为：，得到，设，，再根据矩形性质求出他们的坐标，进而得到；②根据①中的相关信息，得出当点B、Q、M共线时，的周长最小，此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、两点，
∴抛物线的表达式为：，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴直线的表达式为：，
把代入得：，
∴；
（3）解：①过点N作于点G，
∵过点，
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
∴，
设，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴、，
∴，
，
∴；
②∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
又∵，，
∴，
∴，
∴当点B、Q、M共线时，的周长最小，
此时，点Q即为的垂直平分线与直线的交点，
∵；，
∴，
把代入得：，
∴．
【点评】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求表达式、平面直角坐标系三角形面积求解、特殊平行四边形问题和动点最值问题，综合性强、难度较大，熟练掌握相关题型的解题方法是解决问题的关键．
5．(1)
(2)；证明见解析
(3)存在；S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设B(，)，而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF=，而BC=，所以BF=BC；
（3）作轴交于点，设，利用和二次函数的性质即可求解．
（1）
把点（-2，2），（4，5）代入得：
，
解得：，
所以抛物线解析式为；
（2）
BF＝BC．
理由如下：
设B(，)，已知F（0，2），
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴；
（3）
作轴交于点．
经过点F（0，2），且时，
∴一次函数解析式为，
解方程组，
得或，
则，
设，则，
∴，
∴
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
6．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）先求直线的解析式为，则，，可求；
（3）设，过点作轴垂线交于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式得，求得或．
【解析】解：（1）将代入，
，
；
（2）令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．
7．（1）A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）；（3）（4，﹣8）．
【分析】（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，从而确定A点坐标，利用对称轴公式求得抛物线对称轴；
（2）分别求得B点和C点坐标，求得直线OD的解析式，然后通过求解△OBD的面积求得平行四边形的面积；
（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B，点D及点C的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．
【解析】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，
解得：x1=0，x2=2，
∵抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，
∴A点坐标为（2，0），
抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为直线=1，
即A点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；
（2）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，
∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，
∴B点坐标为（1，-3），
∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，
∴点D的纵坐标为=，
∴D点坐标为，
设直线OD的解析式为，
将D点坐标为代入，可得，
解得：，
∴直线OD的解析式为，
当x=1时，，
∴E点坐标为，
∴==，
∴S▱OBCD＝，
故答案为：；
（3）设OD与抛物线对称轴交于点E，连接BD，
设B点坐标为（1，-b），D点坐标为（a，﹣a2+2a），
∵点D在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C在抛物线上，四边形OBCD为平行四边形，
∴OB=CD，OB∥CD，
∵将点O向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后得到点B，
∴将点D向右平移1个单位长度，再向下平移b个单位长度后可得到点C，
∴C点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b），
将C点坐标代入到y＝﹣x2+2x中，可得：
﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b，
整理，可得：b=2a-1，
设直线OD的解析式为，
将D点坐标（a，﹣a2+2a），代入，可得，
解得：，
∴直线OD的解析式为，
当x=1时，，
∴E点坐标为，
∴
=
=
=
=，
∵▱OBCD的面积是12，
∴，
解得：a1=-4（舍去）或a2=3，
当a=3时，b=2×3-1=5，
将a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中，
∴C点坐标为（4，﹣8）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，理解二次函数图象上的点的特征，掌握平行四边形的性质，利用数形结合思想解题是关键．
8．（1）y＝-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为；（3）m=或或或.
【分析】（1）令x=0，解得y=b，求出OB＝OC＝b，OA=，得到A（-，0），C（0，b），B（b，0），把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b即可求解；
（2）设直线EH的解析式为y=nx+7，联立，得，根据直线EH与函数只有一个交点，求出H（2，3），再得到直线GH过定点M（2，-5），利用S△FGH=S△FMH+S△GMH==4，求出的最小值即可求解；
（3）当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°，设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），求出平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+2m+2，联立得到，求出x1+x2=2m+2，x1x2=，y1+y2=4m-6，表示出点R（m-1，2m-3），求出2，利用PR=，得到EF2=4PR2，列出关于m的方程即可求解；当以EF为直径的与x轴相交时，x轴上存在点P即交点，使∠EPF=90°；当以EF为直径的与x轴相离时，不存在点P使∠EPF=90°．
【解析】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，
令x=0，解得y=b，
∴CO=b，
∴OB＝OC＝b，OA=，
∴A（-，0），C（0，b），B（b，0），
把A（-，0），B（b，0）代入y＝ax2﹣2ax+b，
得，解得，
∴抛物线解析式为y＝-x2+2x+3；
（2）∵点E的坐标为（0，7），
可设直线EH的解析式为y=nx+7，
联立，得，
∵直线EH与函数只有一个交点，且在对称轴右侧，
∴△=，
解得n1=-2，n2=6（舍去），
∴直线EH的解析式为y=-2x+7，
解方程得x1=x2=2，
∴H（2，3），
∵直线GH解析式y＝kx﹣2k﹣5=k（x-2）-5，
∴直线GH过定点M（2，-5），
如图，连接HM，
∵H（2，3），
∴HM⊥x轴，MH=8，
设F（x2，y2）、G（x1，y1），
联立，得到，
∴x1+x2=2-k，x1x2=-2k-8，
∵S△FGH=S△FMH+S△GMH==4，
故当最小时，S△FGH最小，
∵2=，
故当k=-2时，2的最小值为32，
故的最小值为，
∴此时S△FGH最小为4=；
（3）①当以EF为直径的与x轴相切时，x轴上存在点P即切点，使∠EPF=90°，
如图，与x轴相切时，切点为点P，
∵y＝-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
设点E，F的坐标分别为F（x1，y1）、F（x2，y2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m时，则抛物线向右平移了m-1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m-1）个单位，则平移后的抛物线的解析式为y＝-（x-m）2+4+2（m-1）=-（x-m）2+2m+2，
联立，
得到，
∴x1+x2=2m+2，x1x2=，
∴y1+y2=2（x1+x2）-2=4m-6，则点R（m-1，2m-3），
2==（2m+2）2-4（）=16，PR=，
则EF2=4PR2，
∵EF2=2+2=52=5×16，PR=2m-3 ，
，
解得m=；
②直线l：y＝2x﹣1与x轴的交点为（，0），当以EF为直径的与x轴相交于点（，0）时，x轴上存在点P即交点，使∠EPF=90°，如图：
则，
解得：或；
③当以EF为直径的与x轴相离时，不存在点P使∠EPF=90°．
故m的值为：或或或．
【点评】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．
9．（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为， P（，）；（3）点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，先求出直线BC的解析式，设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），求出△PCD面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件，即可求解；
（3）求得新抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，两抛物线的交点为E (，)，分DF为对角线，DG为对角线两种情况讨论，画出图形利用两点之间的距离公式求解即可．
【解析】解：（1）由题意可得：
，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，
令x=0，则y=3，
∴点C 的坐标为(0，3)，
抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，则有：
kx+3=0，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∴点D的坐标为(1，2)，
设P（x， -x2+2x+3），则M（x，-x+3），
∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x．
∴S△PCD=PM•（xD-xC）=(-x2+3x)=-，
∴当x=时，△PCD的面积最大，最大值为，
此时P（，）；
（3）将抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4向右平移1个单位得到新抛物线，
则新抛物线的解析式为y=-(x-1-1)2+4=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，
解方程-(x-1)2+4=-(x-2)2+4，得x=，
∴点E的坐标为(，)，
∴DE=，
①当DF为对角线时，如图，四边形DEF1G1是菱形，
由对称性质可得，点F1的坐标为(2，2)；
②当DG为对角线时，如图，四边形DEG2F2是菱形，
设点F的坐标为(2，m)，
由DF2=，
解得：或，
∴点F2的坐标为(2，)，点F3的坐标为(2，)，
综上，点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，) ．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、菱形的判定和性质及分类讨论思想等知识．把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
10．（1）；（2）面积最大值为，；（3），，，见解析
【分析】（1）先利用求出两轴交点A、B坐标，利用正切三角函数求出点C坐标，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过作轴交于，利用待定系数法求出BC的解析式为,设P（m. ）,根据PQ∥y轴，求出Q（m, ），求出PQ=，求出四边形面积并配方变为顶点式即S四边形OBPC= S△BOC+ S△CPB=，当m=时，最大=即可；
（3）把原函数配方为顶点式，利用平移求出新函数展开变为一般形式，确定四点坐标，，，，分类讨论①对角线，②对角线，③对角线，利用平行四边形的性质找出横坐标之间关系与纵坐标之间关系即可求解．
【解析】解：（1）A，为与x轴，轴交点，
∴当x=0时, ，当y=0时，，，
，．
∵OB=，，
，
∴，
．
∵，经过A、B、C三点，将坐标代入抛物线解析式得：
解得
．
（2）过作轴交于，
设BC的解析式为,
将B、C两点坐标代入解析式得：
解得,
∴BC的解析式为,
设P（m. ）,
∵PQ∥y轴，
∴点P与点Q的横坐标相同，
∴Q（m, ）
∴PQ=-=
S△BOC=，S△CPB=
∴S四边形OBPC= S△BOC+ S△CPB=，
当m=时，最大=，
点P；
（3）∵把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得
∴新抛物线即
=，
，，，，
①对角线，则，
，
解得，
；
②对角线，则，
，
解得，
则，；
③对角线，则，
，
解得，
则，．
综上点的坐标为，．．
【点评】本题考查一次函数与两轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式，利用线段函数表示面积并求最值，抛物线平移变换，平行四边形的性质，本题难度大，系数为无理数增大难度，要求计算能力强，绘图能力高，熟练掌握二次函数的知识，准确画出图形，灵活应用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
11．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可．
【解析】解：（1）∵OA=1，
∴A（-1，0），
又∵对称轴为x=2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）由（1）得：，，
，
故答案为；
（3），，
直线的解析式为：，
设，作轴交于点，
则，
，
，
当时，有最大值为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可．
12．（1）yx2x+5，点C的坐标为（0，5）；（2）存在，P1（0，5），P2（﹣1，8）；（3）E（，）
【分析】（1）根据，两点利用待定系数法求二次函数解析式，进而得出点的坐标；
（2）根据点、、的坐标可以求出，从而得到就是直角三角形，所以点即为所求的一个点的，再根据平行直线的解析式的值相等求出过点的直线，与抛物线联立求解即可得到另一个点；
（3）根据点、、的坐标可得，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得，然后根据等角对等边可得，然后利用直线的解析式设出点的坐标，再利用勾股定理表示出的平方，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到面积的表达式，再利用二次函数的最值问题解答即可．
【解析】解：（1）∵抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
令，则，
所以，点的坐标为；
（2）假设存在，分两种情况：如图1，①过点作轴于点，
，，，
，，
，，
，
是直角三角形，
点符合条件，
所以，；
②当时，过点作交抛物线于点，
，，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线，
联立，
解得或，
又点，
点的坐标为，
综上所述，存在点，；
（3）如图2，
，，，
，，
又，，
，
，，即是直角三角形；
点在直线上：，
设点，
根据勾股定理，
，
所以，，
所以，当时，取最小值，
此时，
所以，点的坐标，．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合，主要利用了抛物线与轴的交点间的距离的表示，抛物线上点的坐标特征，直角三角形的判定，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等的性质，（3）题，根据点、、的坐标求出角，从而得到直角或相等的角是解题的关键．
13．（1）y=-x2-2x+3；（2）MN=-m2-3m；（3）P的坐标为：（-，4）或（，4）．
【分析】（1）由-ax2-2ax+3a=0，得A（-3，0），B（1，0），AB=4，根据S△ABC=6，得点C的坐标为（0，3），将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得a=1，故抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，根据点M的横坐标为m，知点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，从而MN=-m2-3m；
（3）当 MN最长时，△ANC的面积最大，由MN=-m2-3m=-（m+）2+（-3＜m＜0），可得此时点N的坐标为（-， ），过点N作直线l∥AC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线l'∥AC，用待定系数法可得直线l的解析式为y=x+，①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，可求得此时P（-，4），②根据CR=CQ可得直线l'解析式为y=x+，知N到AC的距离等于直线l'与直线AC间的距离，P在直线l'上，即可得P（，4）．
【解析】解：（1）令-ax2-2ax+3a=0，解得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），AB=4，
∵S△ABC==6，
∴OC=3，即点C的坐标为（0，3），
将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得：3a=3，解得a=1，
∴抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）由（1）可得A（-3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将C（0，3），A（-3，0）代入得：
，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
∵点M的横坐标为m，
∴点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，
∴MN=（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m；
（3）∵S△ANC=MN•|x-x|=（-m2-3m），
∴当 MN最长时，△ANC的面积最大，
∵MN=-m2-3m=-（m+）2+，（-3＜m＜0，），
∴当m=-时，MN最长，
将x=-代入y=-x2-2x+3得y=-（-）2-2×（-）+3=，
∴点N的坐标为（-， ），
过点N作直线l∥AC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线l'∥AC，如图：
由（2）知直线AC解析式为y=x+3，
∴设直线1的解析式为 y=x+n，将N（-， ）代入得n=，
∴直线l的解析式为y=x+，
①当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，△ACP的面积等于△ANC的面积，
∵抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），
∴在y=x+中令y=4得x=-，
∴此时P（-，4），
②在y=x+中令x=0得y=，
∴Q（0，），
∴CQ=-3=，
∵CR=CQ，
∴R（0，），
∵直线l'∥AC，
∴直线l'解析式为y=x+，
而直线l∥AC，直线l'∥AC，且CR=CQ，
∴N到AC的距离等于直线l'与直线AC间的距离，即P在直线l'上，此时△ACP的面积等于△ANC的面积，
∵将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，且抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），
∴在y=x+中，令y=4得x=，即得P（，4），
综上所述，P的坐标为：（-，4）或（，4）．
【点评】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移等知识，解题的关键是掌握和熟练运用同底等高的三角形面积相等．
14．（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）由题意易得点A、B的坐标，则，然后由的面积为24可得，设抛物线解析式为，进而把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）易求直线AC的解析式，进而可得直线DE的解析式为，过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，设点，的面积为S，则，然后根据铅垂法可得，最后问题可求解；
（3）由题意易得点C、F重合，由（2）可得，，由题意可设，然后根据菱形的性质可分①当时，②当时，③当时，进而根据两点距离公式可进行分类求解．
【解析】解：（1）∵两点的横坐标分别是和2，
∴，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，即，
设抛物线解析式为，把点的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）由（1）可得：抛物线解析式为，，，
∵，
∴，
∴点，
设直线AC的解析式为，把点A、C代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵，
∴直线DE与AC的斜率相等，即k相等，
∴设直线DE的解析式为，把点代入得：，解得：，
∴直线DE的解析式为，
过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，如图所示：
设点，的面积为S，则，
∴根据铅垂法可得的水平宽为点D、E的水平距离，即为2，铅垂高为PH的长，即为，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）存在点M、N，使得以为顶点的四边形是菱形，理由如下：
将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，结合（1）可得：
∴平移后的解析式为，
∴点C、F重合，
∴，
由（2）可得直线AC的解析式为，点P的坐标为，设，
∵四边形是菱形，
∴①当时，由两点距离公式可得：
，
解得：，
∴点；
②当时，同理可得：，
解得：（舍去），
∴点；
③当时，同理可得：，
解得：，
∴点或；
综上所述：当以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质与菱形的性质是解题的关键．
15．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（，）；；（3）存在；点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【分析】（1）根据点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，利用待定系数法代入抛物线解方程组即可；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，利用待定系数法求直线BC解析式为y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），求PG＝﹣m2+3m，再利用面积公式求出S△PBC＝﹣（m﹣）2+，当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3=即可；
（3）存在N满足条件，求出抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交点 A（﹣1，0），顶点M（1，4），利用待定系数法求直线MC的解析式为：y＝x+3，可证△MNQ为等腰直角三角形，利用三角函数可得MQ＝NQMN，设点N（1，n），根据点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，构造方程（|4﹣n|）2＝4+n2，解方程即可．
【解析】解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC解析式为：，
∵点B（3，0），点C（0，3），在直线BC上，代入解析式得，
∴
解得
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，﹣m2+2m+3=
∴点P（，）；
（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
令y=0，则﹣x2+2x+3=0，
解得x=-1，x=3，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
设直线MC的解析式为
∴
解得
∴直线MC的解析式为：y＝x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，
∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MNsin45°=MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
在Rt△AND中，由勾股定理得AN2=AD2+ND2=4+n2，MN=|4-n|，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式与一次函数解析式，三角形面积最值，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角锐角三角函数，勾股定理， 难度较大，综合性强，计算量大，掌握多方面知识才是解题关键．
16．（1）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）△PBC的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）t＝﹣1或t＝2．
【分析】（1）解方程x2﹣2x﹣3＝0即可求得m＝﹣1，n＝3，根据m、n的值即可得A（﹣1，0），B（0，3），再用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）过点P作PC⊥轴，垂足为C，交BC于点M．先求得直线BC的解析式，设点P的坐标为（，），则D（，），由此可得PD；所以当时，PD取最大值，此时△PBC的面积有最大值，P（，）；由此可得△PBC的面积．
（3）抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），分函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的左侧、t＋1是函数的对称轴、函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线分别在对称轴的两侧、t为函数的对称轴及当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的右侧五种情况求t的值即可．
【解析】（1）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点P作PC⊥轴，垂足为M，交BC于点D．
当时，，解得，．即C（3，0）．
设直线BC的解析式为，则
∴．∴．
设点P的坐标为（，），则D（，），
∴PD．
∴当时，PD取最大值，此时△PBC的面积有最大值，P（，）．
△PBC的面积．
∴△PBC的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）．
（3）抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
①当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的左侧，
当x＝t时，取得最小值q＝﹣t2＋2t＋3，最大值p＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3，
由p﹣q＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3﹣（﹣t2＋2t＋3）＝3，
即﹣2t＋1＝3，解得t＝﹣1．
②当t＋1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，
令p﹣q＝4﹣（﹣t2＋2t＋3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1＋（舍），t2＝1－（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3]＝3，即t＝±（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t＋1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时，取得最大值p＝﹣t2＋2t＋3，最小值q＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3，
由p﹣q＝﹣t2＋2t＋3﹣[﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，最值问题等知识，运用分类讨论的思想解决第（3）题的关键．
17．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）y＝或y＝
【分析】（1）根据待定系数法，把点A（﹣1，0），C（3，0）的坐标代入y＝ax2﹣2x＋c得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，由翻折得AB′＝AB＝4，求出B′H的长，可得点B′的坐标，设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，先求得AG解析式，再求得点D的坐标，将△AB'G面积表示成关于t的函数，利用二次函数的最值即可．
（3）由题意可知△B′BA为等边三角形，分两种情况讨论：①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．证出△BAQ≌△BB′P，可得AP垂直平分BB′，则C点在直线AP上，可求出直线AP的解析式，②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解析】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），AH＝2，
由翻折得AB′＝AB＝4，
在Rt△AB′H中，由勾股定理，得B′H＝，
∴点B′的坐标为（1，2），
设点G（t，r），且r＝t2﹣2t﹣3，设直线AG解析式为y＝kx＋b，对称轴与AG交于点D，
则：，解得：，
∴直线AG解析式为y＝，
∴D（1，），
∴B′D＝2﹣，
∴
＝•B′D•2＋•B′D•（t﹣1）
＝•B′D•（t＋1）
＝（2﹣）（t＋1）
＝（t＋1）﹣（t2﹣2t﹣3）
＝﹣t2＋（2＋）t＋3＋，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣＝时，S△AB′G的值最大，此时点G坐标为（，）；
（3）取（2）中的点B′，B，连接BB′，
∵AB′＝AB，∠B′AB＝60°，
∴△ABB′为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，B′P．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BQ＝BP，AB＝BB′，∠PBQ＝∠B′BA＝60°，
∴∠ABQ＝∠B′BP，
∴△ABQ≌△B′BP（SAS），
∴AQ＝B′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴AQ＝BQ，
∴B′P＝BQ＝BP，
又∵AB′＝AB，
∴AP垂直平分BB′，
由翻折可知AC垂直平分BB′，
∴点C在直线AP上，
设直线AP的函数表达式为y＝k1x＋b1，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝x＋．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PBQ，△ABB′为等边三角形，
∴BP＝BQ，AB＝BB′，∠BB′A＝∠QBP＝∠B′BA＝60°．
∴∠ABP＝∠B′BQ，
∴△ABP≌△B′BQ（SAS），
∴∠BAP＝∠BB′Q，
∵AB′＝BB′，B′H⊥AB，
∴∠BB′Q＝∠BB′A＝30°，
∴∠BAP＝30°，
设AP与y轴相交于点E，
在Rt△AOE中，OE＝OA•tan∠BAP＝OA•tan30°＝1×＝，
∴点E的坐标为（0，﹣）．
设直线AP的函数表达式为y＝mx＋n，
则，解得：，
∴直线AP的函数表达式为y＝．
综上所述，直线AP的函数表达式为y＝或y＝．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
18．（1），（2），，（3）(1，)或(3，)或(-5，)；
【分析】(1)把A（﹣2，0），D（5，）代入解析式，用待定系数法求解即可；
(2)连接OM，设M点坐标为，表示出四边形ACMB的面积，根据二次函数的性质求最大值和M点坐标即可；
(3)求出平移后的抛物线解析式，求出B1，C1坐标，设出P，Q两点坐标，根据中点坐标公式列方程即可．
【解析】解：(1)把A（﹣2，0），D（5，）代入y＝ax2+bx﹣2得，
，解得，
抛物线解析式为；
(2)连接OM，
当x=0时，y=,则C点坐标为（0，）；
当y=0时，，解得，，，则B点坐标为（4，0）；
∵A点坐标为（﹣2，0），
∴，
设M点坐标为，
， ,
,
化为顶点式为，
当时，最大，此时M点坐标为，最大面积为；
（3）抛物线沿射线BC方向平移，平移后的抛物线经过线段BC的中点，记点B平移后的对应点为B1，
∵B(4，0)，C（0，），
∴BC中点坐标为B1（2，），
∴抛物线向下平移个单位，向左平移2个单位，则C1坐标为（-2，），
原抛物线解析式化为顶点式是，平移后的解析式为，对称轴为直线，
设点Q坐标为（-1，q），点P坐标为；
根据平行四边形对角线互相平分，
当B1C1为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(1，)；
当B1Q为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(3，)；
当B1P为对角线时可得，，即，解得，，P点坐标为(-5，)；
综上P点坐标为(1，)或(3，)或(-5，)；
【点评】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用二次函数的性质求最值，利用分类讨论思想和平行四边形性质列方程．
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