2023年吉林省松原市长岭县中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市长岭县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个三棱柱，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，工程队准备将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，让游客饱览山间风光这其中体现的数学原理是(    )

A. 两点确定一条直线
B. 经过一点有无数条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 垂线段最短

5.  两个直角三角形如图放置，，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知是的直径，，平分，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  分解因式：______．

8.  某种微生物半径约为米，将米用科学记数法可表示为        米
 

9.  计算： ______ ．

10.  一元二次方程的根的判别式的值为______ ．

11.  某工艺品车间有名工人，平均每人每天可制作个大花瓶或个小饰品，已知个大花瓶与个小饰品配成一套，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，则可列方程为______ ．

12.  如图，小明想测量一棵大树的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子的长为，墙上的影子的长为同一时刻，一根长为垂直于地面标杆的影长为，则大树的高度为______
 

13.  如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为__________．
 

14.  如图，已知圆内接正六边形的周长为，则图中阴影部分图形的周长是______ 结果保留．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少元，且元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同，绳子和实心球的单价各是多少元？

17.  本小题分
已知：如图，点，，，在一条直线上，，，且求证：≌．

18.  本小题分
如图是一副扑克牌中的张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上先从中随机抽出一张牌，再从剩余的张牌中随机抽出一张，请用画树状图或列表的方法求两次抽出的牌上的数字恰好有一个是奇数的概率．
 

19.  本小题分
图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点、、均在格点上，在图，图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
在图中的的边上找到一点，使：：；
在图中的中作出边上的高．

 

20.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将沿轴向下平移得到，点的对应点恰好在反比例函数的图象上．
求的值；
求平移的距离．

21.  本小题分
为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长结果保留整数，参考数据：，．

22.  本小题分
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据图中信息解答下列问题：
补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“”这组的百分比        ；
已知“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，这组数据的众数是        分；抽取的名学生测试成绩的中位数是        分；
若成绩达到分以上含分为优秀，请你估计全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．

23.  本小题分
张华公司、家、火车站在同一条直线上，张华开车匀速从家到火车站接客户，接到客户后，再以相同的速度原路返回公司等灯时间忽略不计，张华离公司的距离与他所用的时间的函数关系如图所示．
张华公司与家的距离为______ ，张华开车的速度为______ ．
求张华从火车站返回公司的过程中，与的函数关系式．
张华开车出发多长时间，他距离公司？

24.  本小题分
用数学的眼光观察世界
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，根据以上操作，当点在上时， ______

用数学的思维分析世界．
将矩形纸片换成正方形纸片，按照中的方式操作，并延长交于点，连接如图，当点在上时，易得．
若改变点在上的位置点不与点，重合，如图，判断与的数量关系，并说明理由．
用数学的语言描述世界
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，的长为______ ．

25.  本小题分
如图，在中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当点不与点、重合时，作，边交折线于点，作点关于直线的对称点为，连接、得到设点的运动时间为秒．
直接写出线段的长用含的代数式表示；
当点落在边上时，求的值；
设与重合部分图形的面积为，求与的函数关系式；
设为的中点，为的中点，连接，当时，直接写出的值．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数、为常数的图象与轴交于点、．
求二次函数的解析式；
当时，求二次函数的最大值和最小值；
当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值；
点在二次函数的图象上，且点的横坐标为以点为中心，构造正方形，，且轴二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数的概念，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：．
根据简单几何体的三视图得出结论即可．
本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】
解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：将一段笔直的河道改弯，从而增加游览船的航程，这其中体现的数学原理是：两点之间，线段最短．
故选：．
由线段的性质：两点之间，线段最短，即可判断．
本题考查线段，直线的性质，掌握线段的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在图中标出，如图所示．
在中，，，
．
，
．
．
故选：．
在图中标出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质，利用三角形内角和定理及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
平分，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的加减，能正确根据二次根式的加减进行计算是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据根的判别式等于，代入求值即可．
本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．
 

11.【答案】 

【解析】解：设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，
根据题意得：．
故答案为：．
设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于的一元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设地面影长对应的树高为，
由题意得，，
解得，
墙上的影子长为，
树的高度为．
故答案为：．
设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，难点在于树高分两个部分求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据题意得平分，再根据平行线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接、，

六边形是正六边形，圆内接正六边形的周长为，
，
正六边形的边长为，
，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的周长是．
故答案为：．
连接，，根据正六边形是的内接六边形得出，求出圆心角的度数，再求出弧的长度，最后求出答案即可．
本题考查了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
 

15.【答案】解：

，
当，时，原式． 

【解析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

16.【答案】解：设绳子的单价是元，则实心球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：绳子的单价是元，实心球的单价是元． 

【解析】设绳子的单价是元，则实心球的单价是元，利用数量总价单价，结合元购买绳子的数量与元购买实心球的数量相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出绳子的单价，再将其代入中，即可得出实心球的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】首先求出，进而利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等．
本题考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次抽出的牌上的数字恰好有一个是奇数的结果有种，
两次抽出的辟上的数字恰好有一个是奇数的概率为． 

【解析】画树状图，共有种等可能的结果，其中两次抽出的牌上的数字恰好有一个是奇数的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图所示，点即为所求；
． 

【解析】取格点，，连接交于点，点即为所求；
取格点，作射线交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意学会利用数形结合的思想解决问题．
 

20.【答案】解：过点作于，
是等腰直角三角形，，
，
，
由平移可得点横坐标和点横坐标相同，设，
在反比例函数的图象上，
，
，
平移的距离为． 

【解析】利用等腰直角三角形的性质求出即可；
根据平移的特点和反比例函数图象上点的坐标特征解答即可；
作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时的周长最小，最小值为．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，坐标与图形变化平移，求得点的坐标是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知：，，
过作于于点，
，，
四边形为矩形，
米，
在中，，
米，，
米，
在中，，
米，，
米，
米，
答：的长和的长分别约为米和米． 

【解析】由题意可知：，过作于于，易得四边形为矩形，从而可知，然后根据锐角三角函数的定义分别求出与的长度即可求出答案．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义求出与的长度，本题属于基础题型．
 

22.【答案】     

【解析】解：人，人，
补全频数分布直方图如下：

；
故答案为：；
将“”这组数据进行排序：
，，，，，，，，，，，，出现次数最多的为，
众数为分，
故答案为：；
“”分的人数已有人，
第和名的成绩分别是是分，分，
中位数是分；
故答案为：；
人．
优秀人数是人．
先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“”这组的频数，从而补全频数分布直方图；
用“”这组的频数除以样本容量即可；
根据众数和中位数的定义求解即可；
用乘以分以上人数所占的比例即可．
本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
 

23.【答案】   

【解析】解：由图象可知，张华公司与家的距离为，张华开车的速度为，
故答案为：，；
张华从火车站返回公司时，，
设张华从火车站返回公司的过程中，与的函数关系式为，
将，代入得：
，
解得，
；
当张华开车匀速从家到火车站时，，
解得，
当张华从火车站返回公司的过程中，，
解得，
综上所述，张华开车出发或，他距离公司．
由图象可知，张华公司与家的距离为，张华开车的速度为；
张华从火车站返回公司时，，用待定系数法可得；
分两种情况：当张华开车匀速从家到火车站时，，当张华从火车站返回公司的过程中，，即可解得张华开车出发或，他距离公司．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
 

24.【答案】 或 

【解析】解：由折叠的性质可知，，，
，
，，
，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠的性质可知，，
，，
又，
≌，
；
如图所示，当点在点下方时，

，
，，
由可知，≌，
，
设，则，
，
即，
解得：，
；
如图所示，当点在上方时，

，，
同理可得，
设，则，
，
，
解得，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
根据折叠的性质，得，解直角三角形得到，进而可得；
只需要证明≌，即可证明；
由可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定，三角函数等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
 

25.【答案】解：，
，
，
是等边三角形，
，
当时，；
当时，；
如图中，

，关于对称，
≌，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
如图中，当时，重叠部分是，．


如图中，当时，重叠部分是四边形，．

如图中，当时，重叠部分是，．

综上所述，；

如图中，时，，

，
．
满足条件的的值为． 

【解析】证明是等边三角形，可得结论；
证明，由此构建方程，可得结论；
分三种情形：如图中，当时，重叠部分是，如图中，当时，重叠部分是四边形，如图中，当时，重叠部分是，分别求解即可；
分三种情形：如图中，时，，求解即可．
本题考查几何变换综合题，掌握直角三角形度角的性质，三角形的面积等知识是解题关键．
 

26.【答案】解：抛物线、为常数经过点，，
，
，
抛物线对应的二次函数解析式为；
抛物线解析式为，
当时，最大，最大为，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而减小，
当时，；
当时，；
当时，二次函数的最大值为，最小值为；
当，即时，
，
当时，；
当时，；
二次函数的最大值和最小值的差为，
，
解得；
当，即时，
当时，；
当时，；
二次函数的最大值和最小值的差为，
，
，
解得都不符合题意，舍去；
当，即时，
当时，；
当时，；
二次函数的最大值和最小值的差为，
，
，
解得都不符合题意，舍去；
当时，
当时，；
当时，；
二次函数的最大值和最小值的差为，
，
解得；
综上所述，的值为或；
如图所示，，点在轴左侧时，设正方形与抛物线的交点分别为，，
交点的纵坐标之差为，
时，
，
是正方形的中心，，
，
，
．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
先把抛物线解析式化为顶点式，进而求出抛物线的对称轴，从而得到二次函数的最大值，再分别求出时，；当时，，即可求出对应的最小值；
分别求出当时，当时，当时，当时二次函数对应的最大值和最小值，再根据最大值和最小值的差为进行求解即可；
根据题意，因为点在轴左侧，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解．
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．