高考数学一轮复习第7章第2节等差数列学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第2节等差数列学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第二节　等差数列
考试要求：1．理解等差数列的概念和通项公式的意义．
2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．

一、教材概念·结论·性质重现
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
递推公式为：an＋1－an＝d(n∈N*)．

注意定义中“从第2项起”“同一个常数”的意义．
2．等差数列的通项公式
(1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d．

当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
5．等差数列的前n项和公式及其性质
(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝＝na1＋d．
(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(3)为等差数列．
(4)n为奇数时，Sn＝na中(a中＝a)，S奇＝a中，S偶＝a中，所以S奇－S偶＝a中．
n为偶数时，S偶－S奇＝．

数列{an}是等差数列⇔数列的前n项和公式Sn＝n2＋n⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，所以当d≠0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　×　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　√　)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　×　)
(4)若{an}是等差数列，公差为d，则数列{a3n}也是等差数列．
(　√　)
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)
A．36 B．72
C．144 D．288
B　解析：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72．
3．已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　解析：公差d＝＝2．
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　)
A．d＞ B．d＜
C．＜d＜ D．＜d≤
D　解析：由题意可得即
解得＜d≤．
5．已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝_________．
(75n－5n2)　解析：由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．


考点1　等差数列的基本量运算——基础性

1．(多选题)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
ABC　解析：由题意可知，解得故an＝2n－5，Sn＝n2－4n．故选ABC．
2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12 B．－10
C．10 D．12
B　解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋d＋4a1＋d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
25　解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d．
因为a2＋a6＝2，所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25．

将条件用a1，d表示出来后，往往需要解二元一次方程组，如果出现消元等计算错误，会致使结果不对．

考点2　等差数列的判断与证明——综合性

(2022·日照模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*．
求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
证明：因为bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2，
所以数列{bn}是公差为2的等差数列．
又b1＝＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
所以2n＝，解得an＝．

本例的条件变为：{an}是等差数列且满足an>0，bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝b－b，n∈N＋，求证：数列{cn}是等差数列．
证明：由题意得b＝anan＋1，
则cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以{cn}是等差数列．

等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2．
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

(2021·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明：因为an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，
所以an＝－2Sn·Sn－1．
又an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)．
又Sn≠0，因此－＝2(n≥2)．
故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即Sn＝．
由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－．
又因为a1＝不适合上式，
所以an＝

考点3　等差数列性质的应用——应用性

考向1　等差数列的项的性质
(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝6，则3a2＋a16的值为(　　)
A．24　　　　B．18　　　　C．16　　　　D．12
D　解析：由题意知a3＋a8＝2a1＋9d,3a2＋a16＝4a1＋18d＝2(a3＋a8)＝12．故选D．
(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．1 B．－1　
C．2　　 D．
A　解析：方法一：＝＝，因为＝，所以＝1．故选A．
方法二：因为＝⇒＝⇒2a1＝－13d，
所以＝＝＝＝1．

等差数列中最常用的性质
(1)d＝．
(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
考向2　等差数列前n项和的性质
一个正项等差数列{an}的前n项和为3，前3n项和为21，则前2n项和为(　　)
A．18 B．12
C．10 D．6
C　解析：因为{an}是等差数列，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，
即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)．
因为Sn＝3，S3n＝21，
所以2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10．

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…成等差数列．
(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
(3)S2n－1＝(2n－1)an．

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25＝(　　)
A． B．145
C． D．175
D　解析：因为2a11＝a9＋a13＝a9＋7，所以a13＝7，
所以S25＝＝25a13＝175．故选D．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
B　解析：方法一：设等差数列{an}的公差为d，
则解得
所以S40＝×40＋×＝8．故选B．
方法二：设等差数列前n项和为Sn＝An2＋Bn，
由题意知解得
所以Sn＝＋，所以S40＝8．故选B．
方法三：由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，所以S20＝S10＋＝1＋＝．所以d＝(S20－S10)－S10＝，所以S40－5＝1＋3×＝3，所以S40＝8．故选B．
方法四：由等差数列的性质知是等差数列，
所以，，，，即，，，成等差数列，
所以＝＋＝，所以S40＝8．故选B．
,
考点4　等差数列前n项和的最值——综合性

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15．
由a1＝－7得d＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9．
(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．

1．等差数列{an}的前n项和Sn存在最值的情况：
如果a1＞0，d＜0时，数列的前n项和Sn有最大值；
如果a1＜0，d＞0时，数列的前n项和Sn有最小值．
2．借用通项的邻项变号法：
a1>0，d<0，满足Sn取得最大值Sm；
a1<0，d>0，满足Sn取得最小值Sm．

在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
　解析：由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，可得即
解得－1＜d＜－．


在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15．求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[四字程序]
读
想
算
思
n取何值时，Sn取得最大值
1．Sn的表达式．
2．求最值的方法
1．求通项公式an．
2．求前n项和Sn
转化与化归
等差数列，a1＝20，S10＝S15
1．利用等差数列的项的符号．
2．利用二次函数的性质
1．an＝－n＋．
2．Sn＝－n2＋n
1．数列的单调性．
2．二次函数的性质


思路参考：先求出公差d，再由an确定Sn取得最大值时n的值．
解：因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
由an＝20＋(n－1)×＝－n＋．
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0．
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0．
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130．

思路参考：先求出公差d，再由Sn的表达式确定其最大值．
解：因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
Sn＝20n＋·
＝－n2＋n
＝－＋．
因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130．

思路参考：利用等差数列的性质求解．
解：由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
所以5a13＝0，即a13＝0．
又d＝＝－，
所以当n＝12或13时，Sn有最大值．
所以S12＝12×20＋×＝130．

思路参考：结合二次函数知识解答．
解：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－．
又＝12.5，
所以n＝12或13时，Sn取得最大值．
所以S12＝12×20＋×＝130．

1．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解：(方法一)由S3＝S11，
得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1．
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1．
又a1＞0，所以－＜0．故当n＝7时，Sn最大．
(方法二)由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．
(方法三)由方法一可知，d＝－a1．
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
方法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0．
又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．