人教A版高考数学一轮总复习第6章第2节等差数列课时学案

这是一份人教A版高考数学一轮总复习第6章第2节等差数列课时学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

第二节　等差数列

一、教材概念·结论·性质重现
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

等差数列的定义用递推公式表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
2．等差数列的通项公式
(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d.

当d≠0时，等差数列通项公式可以看成关于n的一次函数an＝dn＋(a1－d)．
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
5．等差数列的前n项和公式及其性质
(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝＝na1＋d.
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(3)等差数列的前n项和的最值．
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
(4)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S偶－S奇＝nd，＝.
(5)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.②＝.

数列{an}是等差数列⇔数列的前n项和公式Sn＝n2＋n⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，所以当d≠0时，等差数列前n项和公式可以看成关于n的二次函数，且常数项为0.
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (√)
(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列． (√)
(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(×)
2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于(　　)
A．58　　B．88　　C．143　　D．176
B　解析：S11＝＝＝88.
3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn.若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A．31　　B．32　　C．33　　D．34
B　解析：由已知可得
解得所以S8＝8a1＋d＝32.
4．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
8　解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，
所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．
5．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．
20　解析：设物体经过t秒降落到地面，
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.


考点1　等差数列的定义、通项公式、基本运算——基础性

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为(　　)
A．－2　　B．2　　C．4　　D．7
B　解析：因为a1＝3，S5＝35，所以5×3＋d＝35，解得d＝2.
2．(2020·宜春模拟)已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和．若am＋a7＝0，则m＝(　　)
A．10 B．9
C．8 D．2
B　解析：设等差数列{an}的公差为d，a1＝1.
因为前10项的和等于前5项的和，且am＋a7＝0，
则10＋45d＝5＋10d,2＋(m＋5)d＝0，
解得m＝9.
3．(2020·哈尔滨三模)数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 020＝(　　)
A． B．－
C． D．－
B　解析：设等差数列的公差为d，且a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3.
所以3＝1＋2d，解得d＝1.
所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1.
那么a2 020＝－1＝－.
4．已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，求S8的值．
解：设数列{an}的公差为d，
则
解得a1＝－5，d＝2，
所以S8＝8×(－5)＋×2＝16.

等差数列运算问题的解题策略
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

考点2　等差数列的判定与证明——综合性

数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.
(1)证明：因为an＋1＝，
所以＝，化简得＝2＋，
即－＝2.
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，
＝>＝－.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋
>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－＝.

本例条件变为“若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)”，求数列{an}的通项公式．
解：由已知式＝＋可得－＝－，知数列是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.


等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．设cn＝b－b，n∈N*, 求证：数列{cn}是等差数列．
证明：由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以数列{cn}是等差数列．

考点3　等差数列性质的应用——应用性

考向1　等差数列项的性质问题
(1)(2020·宁德二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9＝(　　)
A．21　　B．27　　C．30　　D．36
B　解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，
则S9＝＝9a5＝27.
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
C　解析：(方法一)设等差数列{an}的公差为d，
依题意解得d＝4.
(方法二)等差数列{an}中，S6＝＝48，
则a1＋a6＝16＝a2＋a5.
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，
所以d＝4.

等差数列项的性质的关注点
(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；
(2)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质；
(3)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合命题．
考向2　等差数列前n项和的性质
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A．35 B．42
C．49 D．63
B　解析：在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋(S15－21)＝2×14，
解得S15＝42.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
2 020　解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，
所以S2 020＝1×2 020＝2 020.

等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列；
(2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(3)S2n－1＝(2n－1)an.

1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)
A．2 B．7
C．14 D．28
C　解析：因为2＋a5＝a6＋a3，
所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2.
所以S7＝＝7a4＝14.
2．(2020·海南模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
A　解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，
所以可设Sn＝kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，k≠0.
所以a7＝S7－S6＝18k，b6＝T6－T5＝21k，
所以＝.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
200　解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.

考点4　等差数列前n项和的最值——应用性

等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S4　　B．S5　　C．S6　　D．S7
B　解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.

1．本例若把条件改为“等差数列{an}中，S5S8”，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6，S7均为Sn中的最大值
C　解析：由S50.
又因为S6＝S7，
所以a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，
所以a7＝0，故B正确．
同理由S7>S8，得a8<0.
所以d＝a8－a7<0，故A正确．
而C选项中S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0.由结论a7＝0，a8<0，显然C选项是错误的．
因为S5S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．
2．本例条件变为“等差数列{an}的前n项和为Sn.若S13>0，S14<0”，则Sn取最大值时n的值为(　　)
A．6　　　　B．7　　C．8　　D．13
B　解析：根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7.故选B．


求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)二次函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)通项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)
A．14　　B．15　　C．16　　D．17
C　解析：因为数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，所以公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．因为<－1，所以a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
因为Sn＝，
所以当Sn>0时，n的最小值为16.


在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[四字程序]
读
想
算
思
n取何值时，Sn取得最大值
1.Sn的表达式；
2.求最值的方法
1.求通项公式an；
2.求前n项和Sn
转化与化归
等差数列，a1＝20，S10＝S15
1.利用等差数列的项的符号；
2.利用二次函数的性质
1.an＝－n＋；
2.Sn＝－n2＋n
1.数列的单调性；
2.二次函数的性质


思路参考：先求出公差d，再由an确定Sn取得最大值时n的值．
解：因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－.
由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
因为a1＝20>0，d＝－<0，
所以数列{an}是递减数列．
由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0.
当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0.
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

思路参考：先求出公差d，再由Sn的表达式确定其最大值．
解：因为a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－.
Sn＝20n＋·
＝－n2＋n
＝－＋.
因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

思路参考：利用等差数列的性质求解．
解：由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
所以5a13＝0，即a13＝0.
又d＝＝－，
所以当n＝12或13时，Sn有最大值．
所以S12＝12×20＋×＝130.

思路参考：结合二次函数知识解答．
解：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，
所以10×20＋d＝15×20＋d，
所以d＝－.
又＝12.5，所以n＝12或13时，Sn取得最大值．
所以S12＝12×20＋×＝130.

1．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解：(方法一)由S3＝S11，
得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.
又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．
(方法二)由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．
(方法三)由方法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
(方法四)由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，
故a7＋a8＝0.
又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．