新教材高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列学案含解析

第二节　等差数列

一、教材概念·结论·性质重现

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．

2．等差数列的通项公式

(1)若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

(2)若已知ak，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝ak＋(n－k)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b.

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广公式：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)⇔d＝(n≠m)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

5．等差数列的前n项和公式及其性质

(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝＝na1＋d.

(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.

(3)等差数列的前n项和的最值．

在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

(4)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．

②S偶－S奇＝nd，＝.

(5)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.②＝.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (√)

(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(×)

(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列． (√)

(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(×)

2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11等于(　　)

A．58　　B．88　　C．143　　D．176

B　解析：S11＝＝＝88.

3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn.若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)

A．31　　B．32　　C．33　　D．34

B　解析：由已知可得

解得所以S8＝8a1＋d＝32.

4．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

8　解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，

所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．

5．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面．

20　解析：设物体经过t秒降落到地面，

物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列，

所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，

即4.90t2＝1 960，解得t＝20.

考点1　等差数列的定义、通项公式、基本运算——基础性

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为(　　)

A．－2　　B．2　　C．4　　D．7

B　解析：因为a1＝3，S5＝35，所以5×3＋d＝35，解得d＝2.

2．(2020·宜春模拟)已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和．若am＋a7＝0，则m＝(　　)

A．10 B．9 

C．8 D．2

B　解析：设等差数列{an}的公差为d，a1＝1.

因为前10项的和等于前5项的和，且am＋a7＝0，

则10＋45d＝5＋10d,2＋(m＋5)d＝0，

解得m＝9.

3．(2020·哈尔滨三模)数列是等差数列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 020＝(　　)

A． B．－

C． D．－

B　解析：设等差数列的公差为d，且a1＝1，a3＝－，所以＝1，＝3.

所以3＝1＋2d，解得d＝1.

所以＝1＋n－1＝n，所以an＝－1.

那么a2 020＝－1＝－.

4．已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，求S8的值．

解：设数列{an}的公差为d，

则

解得a1＝－5，d＝2，

所以S8＝8×(－5)＋×2＝16.

考点2　等差数列的判定与证明——综合性

数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>.

(1)证明：因为an＋1＝，

所以＝，化简得＝2＋，

即－＝2.

故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．

(2)解：由(1)知＝2n－1，

所以Sn＝＝n2，

＝>＝－.

证明：＋＋…＋＝＋＋…＋

>＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝1－＝.

已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．设cn＝b－b，n∈N*, 求证：数列{cn}是等差数列．

证明：由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，所以数列{cn}是等差数列．

考点3　等差数列性质的应用——应用性

考向1　等差数列项的性质问题

(1)(2020·宁德二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9，则S9＝(　　)

A．21　　B．27　　C．30　　D．36

B　解析：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＋a8＝9＝3a5，所以a5＝3，

则S9＝＝9a5＝27.

(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1 B．2 

C．4 D．8

C　解析：(方法一)设等差数列{an}的公差为d，

依题意解得d＝4.

(方法二)等差数列{an}中，S6＝＝48，

则a1＋a6＝16＝a2＋a5.

又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，

所以d＝4.

考向2　等差数列前n项和的性质

(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)

A．35 B．42 

C．49 D．63

B　解析：在等差数列{an}中，

S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，

即7,14，S15－21成等差数列，

所以7＋(S15－21)＝2×14，

解得S15＝42.

(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.

2 020　解析：由等差数列的性质可得数列也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，

所以S2 020＝1×2 020＝2 020.

1．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7＝(　　)

A．2 B．7 

C．14 D．28

C　解析：因为2＋a5＝a6＋a3，

所以2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2.

所以S7＝＝7a4＝14.

2．(2020·海南模拟)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　)

A． B． 

C． D．

A　解析：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，

所以可设Sn＝kn(n＋5)，Tn＝kn(2n－1)，k≠0.

所以a7＝S7－S6＝18k，b6＝T6－T5＝21k，

所以＝.

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.

200　解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.

考点4　等差数列前n项和的最值——应用性

等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)

A．S4　　B．S5　　C．S6　　D．S7

B　解析：因为所以所以Sn的最大值为S5.

等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　)

A．14　　B．15　　C．16　　D．17

C　解析：因为数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，所以公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．因为<－1，所以a8·a9<0，a8＋a9>0，

由等差数列的性质知，

2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.

因为Sn＝，

所以当Sn>0时，n的最小值为16.

在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15.求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

[四字程序]

思路参考：先求出公差d，再由an确定Sn取得最大值时n的值．

解：因为a1＝20，S10＝S15，

所以10×20＋d＝15×20＋d，

所以d＝－.

由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.

因为a1＝20>0，d＝－<0，

所以数列{an}是递减数列．

由an＝－n＋≤0，得n≥13，即a13＝0.

当n≤12时，an＞0；当n≥14时，an＜0.

所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，

且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

思路参考：先求出公差d，再由Sn的表达式确定其最大值．

解：因为a1＝20，S10＝S15，

所以10×20＋d＝15×20＋d，

所以d＝－.

Sn＝20n＋·

＝－n2＋n

＝－＋.

因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

思路参考：利用等差数列的性质求解．

解：由S10＝S15得S15－ S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，

所以5a13＝0，即a13＝0.

又d＝＝－，

所以当n＝12或13时，Sn有最大值．

所以S12＝12×20＋×＝130.

思路参考：结合二次函数知识解答．

解：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，且S10＝S15，

所以10×20＋d＝15×20＋d，

所以d＝－.

又＝12.5，所以n＝12或13时，Sn取得最大值．

所以S12＝12×20＋×＝130.

1．基于课程标准，解答本题一般需要学生熟练掌握数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．

2．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了基础性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？

解：(方法一)由S3＝S11，

得3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.

从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.

又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．

(方法二)由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．

(方法三)由方法一可知，d＝－a1.

要使Sn最大，则有

即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

(方法四)由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，

故a7＋a8＝0.

又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，

所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．