高考数学一轮复习第5章第5节解三角形的实际应用学案

第五节　解三角形的实际应用

考试要求：能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．

3．方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图(3))．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图(4)，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图(4)，i为坡度)．坡度又称为坡比．

5．解三角形应用题的步骤

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．                            (　√　)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为． (　×　)

(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°．                             (　×　)

(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是．                             (　×　)

2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°   B．北偏西10°

C．南偏东80°   D．南偏西80°

D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，

因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°．

3．如图，设点A，B在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离为(　　)

A． m   B．25 m

C．50 m   D．50 m

C　解析：在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝50(m)．故选C．

4．如图，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别为60°，30°，则点A离地面的高度AB＝________．

a　解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a．

5．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在点C处测得塔顶A的仰角是45°，在点D处测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．

40 m　解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x．在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m．

考点1　解三角形的实际应用——应用性

考向1　测量距离问题

(2021·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．

80　解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°．

由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

所以∠DBC＝30°．

由正弦定理＝，

得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，

解得AB＝80，故图中海洋蓝洞的口径为80．

考向2　测量高度问题

如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角．小王沿河岸向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为_________m．

600　解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．在△ACD中，因为tan∠DAC＝＝，所以DC＝600×＝600(m)．

考向3　测量角度问题

如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)n mile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C．

(1)求AC的长；

(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．

解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4．

根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，

所以AC＝2．

即AC的长为2 n mile．

(2)根据正弦定理得，sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝45°．

1．如图，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a海里的B处，乙船正向北行驶．若甲船的速度是乙船的 倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．

30°　解析：设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝．由正弦定理，得＝＝，所以sin∠BAC＝．因为0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°．所以甲船应沿北偏东30°方向前进．

2．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m．

30＋30　解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝．由正弦定理得＝，

所以PB＝＝30(＋)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．

考点2　解三角形的综合应用——综合性

考向1　与平面几何相结合

(2022·临沂一模)在圆内接四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝，求△ACD面积的最大值．

解：因为四边形ABCD是圆内接四边形，可得∠B＋∠D＝π．

因为∠B＝2∠D，所以∠B＝，∠D＝．

在△ABC中，因为∠ACB＝，所以∠BAC＝π－－＝．

由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝2．

在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，

即24＝AD2＋CD2－AD·CD≥2AD·CD－AD·CD＝AD·CD，当且仅当AD＝CD时，取等号，即AD·CD≤24，

所以S△ACD＝AD·CDsin D＝AD·CD≤6，即△ACD面积的最大值为6．

考向2　与三角函数结合问题

(2021·烟台一模)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上的所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．

(1)求函数g(x)的解析式及单调递增区间；

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sincos＝，c＝g，b＝2，求△ABC的面积．

解：(1) f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin的图象，横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到y＝2sin的图象，所以g(x)＝2sin，

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，

所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)由(1)知，c＝g＝2sin＝2，

因为sincos＝cos2＝，所以cos＝±．

又因为B∈(0，π)，所以B＋∈，

当cos＝时，B＋＝，B＝，此时由余弦定理可知，4＋a2－2×2×acos＝12，解得a＝＋(负值已舍去)，

所以S△ABC＝×2×(＋)×sin＝．

当cos＝－时，B＋＝，B＝，此时由勾股定理可得，a＝＝2，

所以S△ABC＝×2×2＝2．

综上，△ABC的面积为或2．

1．(2022·株洲检测)如图所示，在四边形ABCD中，tan∠BAD＝－3，tan∠BAC＝．

(1)求∠DAC的大小；

(2)若DC＝2，求△ADC周长的最大值．

解：(1)因为∠DAC＝∠BAD－∠BAC，且tan∠BAD＝－3，tan∠BAC＝，

所以tan∠DAC＝tan(∠BAD－∠BAC)＝＝＝．

因为∠DAC∈(0，π)，所以∠DAC＝．

(2)由正弦定理得＝＝＝，

所以AD＝sin∠ACD，AC＝sin∠ADC，

所以△ADC的周长为2＋AD＋AC＝2＋·(sin∠ACD＋sin∠ADC)＝2＋＝2＋＝2＋4sin．

因为0<∠ACD<，所以<∠ACD＋<，所以<sin≤1，

所以△ADC的周长的最大值为2＋4×1＝6．

2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(2a－c)cos B－bcos C＝0．

(1)求角B的大小；

(2)设函数f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函数f(x)的最大值及当f(x)取得最大值时x的值．

解：(1)因为(2a－c)cos B－bcos C＝0，

所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，

由正弦定理得2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0．

因为C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A．

所以sin A(2cos B－1)＝0．

在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝．

又因为B∈(0，π)，所以B＝．

(2)因为B＝，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin．

令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值1．