高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第3节平面向量的数量积及综合应用学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第三节　平面向量的数量积及综合应用
考试要求：1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义．
2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及其他一些实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π
θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b．

(1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．
(2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．
3．向量数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．

(1)要准确理解数量积的运算律，例如，由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．
(2)平面向量数量积运算的常用公式．
①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．
③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
4．平面向量数量积的性质
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2．
性质
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤
5．常用结论：(1)|a＋b|＝|a－b|⇔a⊥b．
(2)|a|＝|b|⇔(a＋b)⊥(a－b)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． (　√　)
(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0 ． (　×　)
(3)(a·b)c＝a(b·c)． (　×　)
(4)两个向量的夹角的范围是． (　×　)
2．已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B　解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B．
3．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为(　　)
A．12　　　　　　 B．6
C．3　　　 D．3
B　解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6．
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
　解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝．
5．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝_______．
12　解析：因为2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．
6．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2　解析：方法一：|a＋2b|＝＝＝＝＝2．
方法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||．

又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2．


考点1　平面向量数量积的运算——基础性

1．已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2　 D．3
C　解析：因为＝－＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2．
2．(2021·乐山模拟)已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　)
A．(4,6)
B．(－4，－6)
C．
D．
B　解析：因为向量a与向量m＝(4,6)平行，可设a＝．由a·b＝14可得－5k＋k＝14，解得k＝－4，所以a＝(－4，－6)．
3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝_________．
－　解析：方法一：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－．
方法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－，由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－，由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－，所以a·b＋b·c＋c·a＝－．
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝．若·＝2·，则·＝__________．

12　解析：方法一：(几何法)因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·．因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2．故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12．
方法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy．

依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m>0，n>0，则由·＝2·，得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2．故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12．

当已知向量模和夹角时，可利用定义法求解，此时需注意向量夹角的取值．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．当已知向量是非坐标形式时，若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，运用坐标法求解，如第4题；对于数量积与线性运算的综合问题，可先运用数量积的运算律、几何意义等化简，再运算．
考点2　向量数量积性质的应用——应用性

考向1　平面向量的垂直问题
(1)(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb．若a⊥c，则k＝________．
－　解析：依题意，得c＝a＋kb＝(3＋k,1)．又a⊥c，所以a·c＝0，即3(3＋k)＋1＝0，解得k＝－．
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
　解析：由⊥，知·＝0，即·＝(λ＋)·(－)＝(λ－1) ·－λ2＋2＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，解得λ＝．

1．设a，b为两个非零向量，则有a⊥b⇔a·b＝0，所以解决向量垂直问题时要利用向量的数量积公式．
2．向量垂直问题主要表现为利用垂直关系求问题中参数的值．
考向2　平面向量的夹角问题
(1)(2021·云南昆明一中检测)已知向量a＝，|b|＝2，且a·b＝1，则a与b的夹角为(　　)
A．30° 　 B．45°
C．60°　 D．90°
C　解析：|a|＝＝1，所以cos 〈a，b〉＝＝．因为向量夹角的范围为[0°，180°]，
所以a与b的夹角为60°．
(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，则λ等于(　　)
A．－ B．－3
C．－或－3 D．－1
B　解析：依题意可得|e1＋2e2|＝＝，同理，|2e1＋λe2|＝，而(e1＋2e2)·(2e1＋λe2)＝4＋λ．又向量e1＋2e2与2e1＋λe2的夹角为，可知＝＝－，由此解得λ＝－或－3，又4＋λ<0，所以λ＝－3．

求平面向量夹角的2种方法
定义法
当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得
坐标法
若已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]
考向3　平面向量模的问题
(1)(2022·烟台质检)已知向量a，b的夹角为，a＝(1,2)，a·(a＋2b)＝0，则|b|等于(　　)
A．　　B．2　　C．　　D．
A　解析： 因为a＝(1,2)，所以|a|＝＝．因为a·(a＋2b)＝0，所以a2＋2a·b＝0，所以5＋2×|b|cos＝0，解得|b|＝，故选A．
(2)如图，在△ABC中，M为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，与的夹角为60°，则||＝________．

　解析：因为M为BC的中点，所以＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2＋2·)＝(1＋9＋2×1×3cos 60°)＝，所以||＝．

求平面向量模的2种方法
公式法
利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算
几何法
利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解
考向4　投影
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e．
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10．
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝e＝e＝－e．

任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ·e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)．

1．已知向量，均为单位向量，且＋2＝(1,1)，则＝(　　)
A． B．
C． D．
C　解析：因为向量，均为单位向量，
＋2＝(1,1)两边平方得5＋4·＝2，
所以·＝－，
所以||＝＝＝＝．故选C．
2．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，与a同向的单位向量为e，则向量b在a方向上的投影向量为(　　)
A．4e B．－4e
C．2e D．－2e
D　解析：向量b在a方向上的投影向量为|b|cos θe＝4×cos 120°e＝－2e．
3．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
3　解析：由|a－b|＝5，得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25．将|a|＝3，a·b＝1代入上式，得32－2×1＋b2＝25．化简，得b2＝18，所以|b|＝3．
4．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影向量的模是__________．
1　解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，
故b在a方向上的投影向量的模为|b||cos θ|＝2cos 60°＝2×＝1．

考点3　平面向量数量积的综合应用——综合性

考向1　平面向量与三角函数的综合
已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x．
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0，于是tan x＝－．又x∈[0，π]，所以x＝．
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos．因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤．于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2．

平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
考向2　利用平面向量求解最值问题
设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．
B　解析：|a＋xb|2＝a2＋2xa·b＋x2b2＝x2＋x＋1＝＋，所以当x＝－时，|a＋xb|取得最小值．

求解平面向量的最值的两种方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决．
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．

1．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
6　解析：方法一：如图，设P(x，y)，

所以－1≤x≤1，所以＝(2,0)，＝(x＋2，y)，·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4，所以当x＝1时，·有最大值6．
方法二：因为点P在圆x2＋y2＝1上，所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，所以＝(2,0)，＝(cos α＋2，sin α)，·＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0时“＝”号成立．
2．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，则|c－a|的最大值为________．
＋1　解析：设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，

因为|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)．因为(c－a)·(c－b)＝－1，所以x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离．因为圆心到A的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1．