高考数学一轮复习课时质量评价60条件概率与全概率公式含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价60条件概率与全概率公式含答案，共8页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

1．(2022·宜宾期末)某地气象局统计，当地某日刮风的概率为eq \f(4,5)，既刮风又下雨的概率为eq \f(1,2)，则该地在刮风天里，下雨的概率为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,2)
B 解析：由题意，记“该地区刮风”为事件A，“该地区下雨”为事件B，
则P(A)＝eq \f(4,5)，P(AB)＝eq \f(1,2)，所以该地在刮风天里，下雨的概率为P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(\f(1,2),\f(4,5))＝eq \f(5,8)．
2．某乒乓球训练馆使用的球是A，B，C三种不同品牌标准比赛球，根据以往使用的记录数据：
若这些球在盒子中是均匀混合的，且无区别的标志，现从盒子中随机地取一只球用于训练，则它是合格品的概率为( )
A．0.986 B．0.984
C．0.982 D．0.980
B 解析：将A，B，C分别记为第1，第2，第3个品牌，设事件Mi表示“取到的球是第i个品牌(i＝1,2,3)，事件N表示“取到的是一个合格品”，其中M1，M2，M3两两互斥，所以P(N)＝P(M1N)＋P(M2N)＋P(M3N)＝P(M1)P(N|M1)＋P(M2)P(N|M2)＋P(M3)P(N|M3)＝0.98×0.2＋0.99×0.6＋0.97×0.2＝0.984，所以它是合格品的概率为0.984．故选B．
3．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为( )
A．0.625 B．0.75
C．0.5 D．0
A 解析：用A表示事件“考生答对了”，用B表示事件“考生知道正确答案”，
用eq \x\t(B)表示事件“考生不知道正确答案”，
则P(B)＝0.5，P(eq \x\t(B))＝0.5，P(A|B)＝1，P(A|eq \x\t(B))＝0.25，
则P(A)＝P(AB)＋P(Aeq \x\t(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq \x\t(B))·P(eq \x\t(B))＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625．
4．为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体防伪能力，保持人民币系列化，中国人民银行发行了2019年版第五套人民币50元、20元、10元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原有的验钞机现从混有4张假钞的10张50元钞票中任取两张，在其中一张是假钞的条件下，两张都是假钞的概率是( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,5)
B 解析：设事件A表示“两张都是假钞”，事件B表示“两张中至少有一张是假钞”，则
P(AB)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(6,45)＝eq \f(2,15)，P(B)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(1,6)＋C\\al(2,4),C\\al(2,10))＝eq \f(2,3)，
所以P(Aeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(B)))＝eq \f(P(AB),P(B))＝eq \f(\f(2,15),\f(2,3))＝eq \f(1,5)，所以所求概率为eq \f(1,5)．
5．甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 ________．
0.6 解析：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇到红灯为事件B，
则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.3，所以P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(0.3,0.5)＝0.6，
则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为0.6．
6．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是 ．
eq \f(11,27) 解析：设A＝“从2号箱中取出的是红球”，B＝“从1号箱中取出的是红球”，
则P(B)＝eq \f(4,2＋4)＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(B))＝1－P(B)＝eq \f(1,3)，
P(A|B)＝eq \f(3＋1,8＋1)＝eq \f(4,9)，P(A|eq \x\t(B))＝eq \f(3,8＋1)＝eq \f(1,3)，
所以P(A)＝P(AB∪Aeq \x\t(B))＝P(AB)＋P(Aeq \x\t(B))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq \x\t(B))P(eq \x\t(B))
＝eq \f(4,9)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(11,27)．
7．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为eq \f(3,4)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，乙队每人答对的概率都是eq \f(2,3)．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
(1)求ξ＝2的概率；
(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
解：(1)P(ξ＝2)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(11,24)．
(2)P(ξ＝1)＝eq \f(3,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝3)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)．
设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则
P(A)＝eq \f(1,4)×Ceq \\al(3,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\UP12(3)＋eq \f(11,24)×Ceq \\al(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\UP12(2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)×Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(1,3)，
P(AB)＝eq \f(1,4)×Ceq \\al(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\UP12(2)＝eq \f(1,18)，
所以P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(\f(1,18),\f(1,3))＝eq \f(1,6)．
8．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
解：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
(1)P(C)＝P(A1C∪A2C)＝P(A1C)＋P(A2C)
＝P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝eq \f(2,3)×(1－0.03)＋eq \f(1,3)×(1－0.02)≈0.973．
(2)P(A2|B)＝eq \f(P(A2B),P(B))
＝eq \f(P(A2)P(B|A2),P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2))
＝eq \f(\f(1,3)×0.02,\f(2,3)×0.03＋\f(1,3)×0.02)＝0.25．
B组 新高考培优练
9．学校有A，B两个餐厅，如果王同学早餐在A餐厅用餐，那么他午餐也在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，如果他早餐在B餐厅用餐，那么他午餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(1,4)．若王同学早餐在A餐厅用餐的概率是eq \f(3,4)，那么他午餐在B餐厅用餐的概率是( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(7,16) D．eq \f(9,16)
B 解析：设A1表示早餐去A餐厅用餐，B1表示早餐去B餐厅用餐，A2表示午餐去A餐厅用餐，且P(A1)＋P(B1)＝1，根据题意得P(A1)＝eq \f(3,4)，P(B1)＝eq \f(1,4)，P(A2|A1)＝eq \f(3,4)，P(A2|B1)＝eq \f(1,4)，
由全概率公式可得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,8)．故选B．
10．(多选题)(2021·滨州二模)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A．P(A)＝eq \f(3,5) B．P(AB)＝eq \f(3,10)
C．P(B|A)＝eq \f(1,2) D．P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)
ABC 解析：对于A，P(A)＝eq \f(C\\al(1,3),C\\al(1,5))＝eq \f(3,5)，故选项A正确．
对于B，P(AB)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，故选项B正确．
对于C，P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq \f(1,2)．故选项C正确．
对于D，P(eq \x\t(A))＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,5))＝eq \f(2,5)，P(eq \x\t(A)B)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3),C\\al(1,5)C\\al(1,4))＝eq \f(3,10)，
所以P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(P(\x\t(A)B),P(\x\t(A)))＝eq \f(\f(3,10),\f(2,5))＝eq \f(3,4)，故选项D错误．
11．(2021·肇庆期末)从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的数是偶数”，事件B为“第二次取到的数是3的整数倍”，则P(B|A)＝( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(2,5)
D 解析：根据题意，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12这10个数中，有5个偶数，
则P(A)＝eq \f(1,2)，事件A∩B为“第一次取到的数是偶数且第二次取到的数是3的整数倍”，
若第一次取到的数为6或12，则第二次有3种情况；若第一次取到的数为4,8,10，则第二次有4种情况，则事件A∩B共有2×3＋3×4＝18种情况．
所以P(A∩B)＝eq \f(18,10×9)＝eq \f(1,5)，故P(B|A)＝eq \f(P(A∩B),P(A))＝eq \f(2,5)．
12．(多选题)甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是( )
A．A1，A2两两互斥
B．P(B|A2)＝eq \f(2,3)
C．事件B与事件A2相互独立
D．P(B)＝eq \f(9,14)
AD 解析：因为每次取一球，所以A1，A2是两两互斥的事件，故A项正确；
因为P(A1)＝P(A2)＝eq \f(1,2)，P(B|A2)＝eq \f(P(BA2),P(A2))＝eq \f(5,7)，故B项错误；
又P(B|A1)＝eq \f(P(BA1),P(A1))＝eq \f(4,7)，所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝eq \f(1,2)×eq \f(4,7)＋eq \f(1,2)×eq \f(5,7)＝eq \f(9,14)，故D项正确．
从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件A2不相互独立，故C项错误．
13．有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．
eq \f(8,15) 解析：记Ai＝“球取自i号箱”，B＝”取得红球”，B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，即B＝A1B＋A2B＋A3B，且A1B，A2B，A3B两两互斥，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)两两互斥，即P(B)＝P(B|Ai)，代入数据计算得P(B)＝eq \f(8,15)．
14．某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
(1)求男生甲被选中的概率；
(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．
解：(1)从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点数为5个，故P(A)＝eq \f(1,3)．
(2)记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)＝eq \f(1,15)，由(1)知P(A)＝eq \f(1,3)，故P(B|A)＝eq \f(P(AB),P(A))＝eq \f(1,5)．
(3)记“挑选的2人为一男一女”为事件C，则P(C)＝eq \f(8,15)，“女生乙被选中”为事件B，P(BC)＝eq \f(4,15)，故P(B|C)＝eq \f(P(BC),P(C))＝eq \f(1,2)．
15．在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一个人．
(1)求这个人患流感的概率；
(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率．
解：记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则Ω＝E∪F∪G，且E，F，G彼此互斥．
由题意可得P(E)＝eq \f(5,20)＝0.25，P(F)＝eq \f(7,20)＝0.35，P(G)＝eq \f(8,20)＝0.4．
P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05，P(D|G)＝0.04．
(1)由全概率公式可得P(D)＝P(E)·P(D|E)＋P(F)·P(D|F)＋P(G)·P(D|G)＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.4×0.04＝0.048 5．
(2)由条件概率公式可得P(E|D)＝eq \f(P(DE),P(D))＝eq \f(P(E)·P(D|E),P(D))＝eq \f(0.25×0.06,0.048 5)＝eq \f(30,97)．
品牌名称
合格率
购买球占比
A
98%
0.2
B
99%
0.6
C
97%
0.2