人教版高考数学一轮复习考点规范练55古典概型、条件概率与全概率公式含答案

考点规范练55　古典概型、条件概率与全概率公式

1.某市气象监测资料表明,清明节当天下雨的概率为0.9,清明节当天及随后一天都下雨的概率为0.63.若该市某年清明节当天下雨,则随后一天也下雨的概率为(　　)

A.0.63 B.0.7 C.0.9 D.0.567

答案  B

解析  设“清明节当天下雨”为事件A,“清明节随后一天下雨”为事件B,则P(A)=0.9,P(AB)=0.63,故P(B|A)==0.7.

2.将三枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个3点”,则概率P(A|B),P(B|A)分别是(　　)

A. B. 

C. D.

答案  A

解析  由题意可知P(A)=,

P(B)=,

P(AB)=,

故P(A|B)=,

P(B|A)=.

3.已知P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A|B)=0.3,则P(B|A)=(　　)

A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.125

答案  A

解析  P(B|A)==0.25.

4.纹样是中国传统文化的重要组成部分,小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣,他收集了9枚不同的纹样徽章,其中4枚凤纹徽章,5枚龙纹徽章.小楠从9枚徽章中任取3枚,则其中至少有1枚凤纹徽章的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案  B

解析  从9枚徽章中任取3枚的不同取法有种,其中没有凤纹徽章的不同取法有种,故其中至少有1枚凤纹徽章的概率为1-.

5.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率是(　　)

A. B. C. D.

答案  A

解析  由题意可知样本空间Ω={(a,b)|a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5}},其中共有12个等可能的样本点.

设事件A=“函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增”.

由函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增,可知

①当a=0时,f(x)=-2bx,则-2b>0,即b<0,故b=-1.

②当a>0时,需要满足≤1,故当a=1时,b=-1或b=1,当a=2时,b=-1或b=1.

所以A={(0,-1),(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1)},n(A)=5.

所以函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)内单调递增的概率P(A)=.

6.(2021首都师大附中月考)已知袋中有大小、质地相同的4个黑球,3个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案  C

解析  记事件Ai=“骰子掷出的点数为i(i=1,2,3)”,B=“取出的球全是白球”,

则P(Ai)=,P(B|Ai)=,

所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=.

所以若取出的球全是白球,则掷出2点的概率为P(A2|B)=.

7.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为　　　　　. 

答案 

解析  从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数,有=36(种)情形,设事件A=“其中一个数恰是另一个数的3倍”,则A={(1,3),(2,6),(3,9)},共3种等可能的样本点,故所求概率为.

8.某种仪器由三个部件组装而成.假设各部件质量互不影响,它们的优质品率分别为0.8,0.7,0.9.如果三个部件都是优质品,那么组装后的仪器一定合格;如果有一个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.2;如果有两个部件不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.6;如果三个部件都不是优质品,那么组装后仪器的不合格率为0.9.

(1)求仪器的不合格率;

(2)若已发现一台仪器不合格,则它有几个部件不是优质品的概率最大?

解记事件B=“仪器不合格”,Ai=“仪器有i个部件不是优质品”,i=0,1,2,3.

显然A0∪A1∪A2∪A3=Ω,且A0,A1,A2,A3两两互斥.

根据题意得P(B|A0)=0,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=0.9,P(A0)=0.8×0.7×0.9=0.504,

P(A1)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398,

P(A3)=0.2×0.3×0.1=0.006,

P(A2)=1-P(A0)-P(A1)-P(A3)=0.092.

(1)由全概率公式,得

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.504×0+0.398×0.2+0.092×0.6+0.006×0.9=0.140 2.

(2)由贝叶斯公式,得P(A0|B)=0,

P(A1|B)=,

P(A2|B)=,

P(A3|B)=.

比较结果可知,若已发现一台仪器不合格,则它有一个部件不是优质品的概率最大.