2023年辽宁省抚顺市东洲区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年辽宁省抚顺市东洲区中考三模数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省抚顺市东洲区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．某班15名女生仰俯起坐成绩如下表：
个数
40
38
36
32
30
人数
2
5
3
4
1

则这组数据的众数和中位数分别是（    ）
A．38、36 B．36、38 C．32、36 D．38、32
5．如图所示的几何体是由7个完全相同的小正方体搭成，它的左视图是（    ）

A． B． C． D．
6．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
9．十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，边长为4的正方形放置在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，在y轴正半轴上，当直线中的系数从0开始逐渐变大时，在正方形上扫过的面积记为S．则S关于的函数图像是( )
  
A．   B．   C．   D．  

二、填空题
11．我国南水北调中线一期工程自年月全面通水以来，截止目前，直接受益人口超，成为余座大中城市名副其实的供水“生命线”，将数据用科记数法表示为__________．
12．因式分解： =___．
13．不等式组的解集是_____；
14．在一个不透明的袋子中有3个白球，4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是______________．
15．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值为__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A与D在函数图像上，轴，垂足为C，，点B的坐标为，则k的值为__________．
  
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D是BC边上一动点（不与B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为直角三角形时，BD的长为_____．

18．如图，在中， ，，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为_____．


三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．某中学为了解学生体育科目训练情况，从该校九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次测试（测试结果分为四个等级，A：优秀：B：良好；C：及格；D：不及格）并将测试结果绘成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
  
(1)本次抽样测试中，一共抽测了__________名学生；图1中度数是__________；
(2)将图2中条形统计图补充完整；
(3)该校九年级共人，如果全部参加测试，请估计不及格的人数为__________人；
(4)测试老师想从4名同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中，随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图法求出选中小明的概率．
21．某市新建一个企业，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，已知商家售出2台A型、3台B型污水处理器的总价为44万元，售出1台A型、5台B型污水处理器的总价为50万元．
(1)求每台A型、B型污水处理器各多少万元？
(2)根据企业的实际情况，需要购进A、B两种型号的污水器共9台，总费用不高于84万元，求至少购进B种型号的污水处理器多少台？
22．我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，求此时渔船与灯塔B的距离．

23．如图，在中，，⊙O与，分别相切于点E，F，平分，连接．

(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
24．超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件。设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件.
（1）请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围；
（2）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少元时w最大，最大为多少元？
25．如图，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形的对角线上（不与点A，C重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与射线相交于点F．

(1)试猜想线段、之间的数量关系为__________；
(2)试猜想图中此时线段、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)作射线交直线于点G，若，，请直接写出的长．
26．如图，抛物线经过点和两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，P为抛物线上一动点．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)连接交直线于点Q，过点P作x轴平行线交直线于点H，要使，求满足条件的点P的横坐标；
(3)设M为直线l上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为﹣．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2．C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、既是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．B
【分析】运用合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算法则运算即可．
【详解】解：A．m2与2m不是同类项，不能合并，所以A错误；
B．m4÷m2＝m4﹣2＝m2，所以B正确；
C．m2•m3＝m2+3＝m5，所以C错误；
D．（m2）3＝m6，所以D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方等运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
4．A
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：根据表中数据，38出现了5次，出现次数最多，则众数是38；
把这组15个数据从大到小排列（见表中数据顺序），第8个数据是36，则中位数是36，
故选：A．
【点睛】本题考查平均数、众数和中位数，理解众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，若数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数，如果数据是偶数个，则中位数是最中间两个数的平均数，注意先进行排序．
5．D
【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的左视图，关键在于牢记左视图的定义．
6．A
【分析】根据方差的意义即方差越小成绩越稳定即可求解．
【详解】解：∵，，，，且平均数相等，
∴＜＜＜
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
7．A
【分析】根据平移的性质得到得到四边形是平行四边形，再根据平形四边形的面积得到即可解答．
【详解】解：∵沿轴向右平移到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
过点作轴于,轴于，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴,
∴，
故选．

【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据圆周角定理和邻补角定义即可求出度数.
【详解】解：由图可知，
，
，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键在于熟练掌握圆周角定理（一条弧所对应的圆周角等于它所对的圆心角的一半）.
9．D
【详解】解：由题意得：，故选D．
10．B
【分析】当0≤b≤4；4≤b＜8；b≥8时，分别求出S，然后根据求得的解析式得到对应的函数图象即可找到正确选项．
【详解】解：①当0≤b＜4，，它的函数图象为抛物线的一部分，开口向上；
②当4≤b＜8，，它的函数图象为抛物线的一部分，开口向下；
③当b＞8，S=16，它的函数图象为射线；
故选B．
【点睛】本题考查了运用分类的思想求动点的函数图象的问题：分别求出每个时段的函数关系式，然后根据自变量和函数解析式作出相应的图象．
11．
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
12．．
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：．
13．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集.
【详解】解： ，
由①得：
由②得：.
则不等式组的解集为：.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组.
14．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
【详解】根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，
从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
15．6
【分析】根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，然后解关于的一次方程即可．
【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解本题的关键．
16．
【分析】如图：根据菱形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为1；再根据菱形的性质可得，从而可得，即可确定点D的坐标，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可解答．
【详解】解：如图：连接，交于点E，
点B的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
轴，
轴，，
∴
∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为1；
∴
；
点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，解得．
故答案为：．
  
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用菱形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
17．2或4
【分析】分两种情况来解：
（1）当∠AFE=90°时，在Rt△ABC中，根据特殊锐角三角函数值可求得AB＝，然后由翻折的性质可求得∠AEF=60°，从而可求得∠EAF=30°， 故此AE=2EF，由翻折的性质可知: BE=EF， 故此AB=3BE，所以EB=， 最后在Rt△BED中利用特殊锐角三角函数值即可求得BD的长；
（2）当点F在BC的延长线上时，∠EAF=90°，然后依据角平分线的性质可得到ED=AE，然后再证明△BED∞△BAC，最后依据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当∠AFE=90°时，如解图1所示
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴，即．
∴AB＝
∵∠B＝30°，DE⊥BC，
∴∠BED＝60°．
由翻折的性质可知：∠BED＝∠FED＝60°，
∴∠AEF＝60°．
∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF＝30°．
∴AE＝2EF．
由翻折的性质可知：BE＝EF，
∴AB＝3BE．
∴EB＝．
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴，即．
∴BD＝2．
（2）当∠EAF=90°时,点F在BC的延长线上．如解图2所示：
∵△AEF为直角三角形，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EFA＝30°．
∴∠EFD＝∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE＝DE．
∵BC＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝，AC＝
设DE＝x，BE＝﹣x．
∵DE∥AC，
∴，，解得：x＝．
∴BD＝DE＝×=4
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数及特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值解题是比较方便，通过观察分析分两种情况来解决是解题的关键．
18．
【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解．
【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接，

由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴当三点共线时，最小，的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键．
19．，
【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再进行的二次根式运算求值，求出的值，最后代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
∵=
∴当时，原式=．
【点睛】此题考查了分式的化简求值、整式的因式分解和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式及二次根式的混合运算顺序和运算法则．
20．(1)，
(2)见解析
(3)
(4)

【分析】（1）根据级的人数是，所占的百分比是，据此即可求得总人数；利用乘以对应的百分比即可求得的值；
（2）利用百分比的意义求得级的人数，进而补全直方图；
（3）利用样本估计总体的方法知，全校总人数乘以级所占的比例，可得答案；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：∵级的人数是，所占的百分比是，
∴（人），
∴本次抽样测试的学生人数是人，
的度数是：，
故答案为：；．
（2）级人数为：（人），
把条形统计图补充完整，如图所示：
  
（3）（人），
∴估计不及格的人数为人．
故答案为：．
（4）根据题意画树形图如下：
  
共有种等可能情况，选中小明的有种，
∴选中小明的概率为：．
【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的综合应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．掌握用列表法或树状图法求概率是解题的关键．
21．(1)每台A型污水处理器10万元，每台B型污水处理器8万元
(2)至少购进B种型号的污水处理器3台

【分析】（1）设每台A型污水处理器x万元，每台B型污水处理器y万元，由题意列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买B型污水处理器m台，则购买A型污水处理器台，根据题中的不等关系列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设每台A型污水处理器x万元，每台B型污水处理器y万元，
依题意，得，
解得:，
答：每台A型污水处理器10万元，每台B型污水处理器8万元．
（2）解：设购买B型污水处理器m台，则购买A型污水处理器台，
依题意，得：，
解得：；
答：至少购进B种型号的污水处理器3台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，理解题意，找到数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键．
22．此时渔船与灯塔B的距离为18km．
【分析】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．
【详解】如图，作CE⊥AB于E，


∴AC＝9km，
∵∠CAB＝45°，
∴CE＝AC•sin45°＝9km，
∵灯塔B在它的南偏东15°方向，
∴∠NCB＝75°，∠CAB＝45°，
∴∠B＝30°，
∴BC＝＝18(km)，
答：此时渔船与灯塔B的距离为18km．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，，过点O作于点D,由切线性质得，进而根据角平分线性质得，命题得证；
（2）方法一：由图知，易证四边形是正方形，所以，，进一步证得平分，可求，组合图形思路求面积，；方法二：求证四边形是正方形，进一步可证，，所以．
【详解】（1）证明:
连接，，过点O作于点D,

∵与相切于点E,
∴,
∵是的平分线，
∴，
∴是圆的半径，
∴是⊙O的切线.
（2）方法一：由图知，,
∴四边形是正方形,
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴平分
∴
∴=.
答：图中阴影部分的面积.

方法二
由法一，四边形是正方形,
∴,
∴
∴，
∵、是⊙O的切线
∴，
又∵
∴，
同理可证
求得
=（）=.
【点睛】本题考查角平分线性质和判定、正方形的判定和性质、切线的判定、扇形面积计算、组合图形面积计算；识别组合图形，明确图形间面积的和差关系是解题的关键．
24．（1）；（2）当x为160时w最大，最大值是2400元
【分析】（1）根据“销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”表示出减少的件数，销量y=50-减少的件数；
（2）根据“获利w=单利润×销量”可列出函数关系式，再根据二次函数的性质结合自变量x的取值范围即可得解.
【详解】解：（1）由题上涨的单价为x-140元
所以y=50-（x-140）÷2×1=
（2）根据题意得，w＝（x-100）（）＝
∵a＝﹣＜0，
∴当x＜170时，w随x的增大而增大，
∵该种玩具每件利润不能超过进价的60%
∴
∴x≤160
∴当x＝160时，w最大＝2400，
答：当x为160时w最大，最大值是2400元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的性质.解决此题的关键为：①根据题中的数量关系列出函数关系式；②能根据二次函数的增减性以及自变量的取值范围求最值.
25．(1)
(2)，证明见解析
(3)或

【分析】（1）过点E作于点N，交于点M，证明，即可得出；
（2）过点E作交于点H，证明为等腰直角三角形，得出，，证明，得出，即可证明；
（3）分两种情况：当点F在的延长线上时，当点F在边上时，分别作出图形，求出的长即可．
【详解】（1）解：过点E作于点N，交于点M，如图所示：

则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：；理由如下：
如图，过点E作交于点H，

则，
∵四边形为正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
当点F在的延长线上时，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴；
当点F在边上时，过点E作于点N，交于点M，如图所示：

则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上分析可知，的长为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
26．(1)
(2)或
(3)存在，N点坐标为

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由全等的性质可得，设点P的坐标为，则；由题意可求得直线的函数解析式，由点在直线即可得关于x的方程，解方程即可求得结果；
（1）分两种情况：①当点N在y轴上时，易得点N的坐标；②当点N在x轴上时，过M作轴于E，过P作轴于D；由矩形性质可证明，从而得到，设点,则可得点N的坐标；由矩形性质可得，从而可得点P的坐标，由点P在抛物线上即可求得m的值，最后求得点N的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和两点，
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
设P点坐标为，则，

设直线解析式为，
则，
解得：，
∴直线解析式为；
∵点H在直线上，
∴，
解得x=，
∴点P的横坐标为或；
（3）解：存在
①当点N在y轴上时，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，P点正好是抛物线的顶点，
∵抛物线的顶点坐标为，  
∴；
②当点N在x轴上时，如图，
过M作轴于E，过P作轴于D，
∵四边形是矩形，
∴，
而，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线顶点为，，  
∴，
∴；
设，则，
∴
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
则，
由于点P在抛物线上，则有，
整理得：，
解得：，
∵，
∴点N的坐标为；
  
综上，满足条件的点N的坐标为
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解一元二次方程等知识，综合性强，有一定的难度与运算量，注意数形结合与分类讨论．