2023年上海市浦东新区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年上海市浦东新区中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，下列函数的图象过点的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是(    )

A. ， B.
C.  D.

5.  下列命题中，真命题的是(    )

A. 一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行且一组对角互补的四边形是平行四边形
C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D. 一组邻边相等且一组对边平行的四边形是平行四边形

6.  把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

7.  计算：______．

8.  如果，，那么代数式的值为______ ．

9.  不等式组的解集是______ ．

10.  已知关于的方程无实数根，那么的取值范围是______ ．

11.  一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为：：从袋子中任意摸出个球，结果是红球的概率为______ ．

12.  在直角坐标平面内，已知点，，将线段平移得到线段点的对应点是点
，点的对应点是点，如果点坐标是，那么点的坐标是______ ．

13.  一次函数的图象不经过的象限是        ．

14.  为了进一步了解某校九年级学生的体能情况，随机抽取名学生进行分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制成不完整的频数分布直方图如图所示每组数据含最小值，不含最大值，若该校九年级共有名学生，那么一分钟跳绳次数在次的人数是______ ．

15.  在中，点是边的中点，，，那么______用、表示．

16.  如图，用长为米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙墙的长度超过米，设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，那么关于的函数解析式为        不要求写出定义域

17.  如图，在边长为个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，那么的余弦值为______ ．

18.  如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，折痕的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程：．

21.  本小题分
如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为点，若，．
求的长；
求的正切值．

22.  本小题分
今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为元千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元千克，市场调查发现，该产品每天的销售量千克与销售价元千克之间的函数关系如图所示：
求与之间的函数关系式；
该经销商想要每天获得元的销售利润，销售价应定为多少？销售利润销售价成本价

23.  本小题分
已知：如图，在直角梯形中，，，，，垂足为点，连接并延长，交线段于点．
求证：；
．
 

24.  本小题分
如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点在点右侧，与轴交于点，且．
求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；
求的值；
如果点在这条抛物线的对称轴上，且，求点的坐标．

25.  本小题分
已知：如图，在半径为的扇形中，，点在半径上，的垂直平分线交于点，交弧于点，联结、．

若是半径中点，求的正弦值；
若是弧的中点，求证：；
联结，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是无限不循环小数，是无理数；
B、是无限不循环小数，是无理数；
C、是分数，是有理数；
D、是无限不循环小数，是无理数．
故选：．
有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数．
此题考查了有理数和无理数．解题的关键是掌握有理数和无理数的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据数轴可知，，
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论正确，该选项符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意．
故选：．
首先利用数轴上的信息确定、的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
选项A不符合题意；
把代入得：，
选项B不符合题意；
把代入得：，
选项C不符合题意；
把代入得：，
选项D符合题意；
故选：．
将点分别代入个解析式进行验证即可得出答案．
本题考查了图象上点的坐标特征，会把点的横纵坐标代入解析式验证是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于选项，由，可得，
与的方向相同或相反，
故A选项不符合题意；
对于选项，与的方向相同或相反，
故B选项不符合题意；
对于选项，由，可得，
与的方向相反，
故C选项不符合题意；
对于选项，由，，可得，
与的方向相同，
故D选项符合题意．
故选：．
由，可得，则与的方向相同或相反；由可知，与的方向相同或相反；由，可得，则与的方向相反，由，，可得，则与的方向相同，即可得出答案．
本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、一组对角相等且一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，原命题是假命题；
B、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：．
对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
 

6.【答案】 

【解析】解：设圆心为，过点作于点，交于点，连接，

四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
设，则，
，，
在中，
即：
解得：，
故选：．
设圆心为，过点作于点，交于点，连接，设，则，，然后在中利用勾股定理求得的长即可．
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用积的乘方的性质：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，首先计算积的乘方，再利用幂的乘方乘方性质：底数不变，指数相乘，计算可得答案．
此题主要考查了积的乘方和幂的乘方混合运用，计算时要紧扣积的乘方的性质与幂的乘方乘方性质．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把与的值代入原式计算即可得到结果．
【解答】
解：当，时，，
故答案为：．  

9.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的方程无实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
根据根的判别式列出关于的不等式，通过解不等式即可求得的取值范围．
本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：红球、黄球、黑球的个数之比为：：，
从布袋里任意摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
用红球所占的份数除以所有份数的和即可求得是红球的概率．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：平移后对应点的坐标为，
点的平移方法是：先向左平移个单位，再向上平移个单位，
点的平移方法与点的平移方法是相同的，
平移后的坐标是：．
故答案为：．
各对应点之间的关系是横坐标减，纵坐标加，那么让点的横坐标减，纵坐标加，即为点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
 

13.【答案】第四象限 

【解析】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：第四象限．
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一分钟跳绳次数在次的人数大约为：人，
故答案为：．
用总人数乘以样本中一分钟跳绳次数在次的人数所占比例即可得．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．本题用到的知识点是：频率频数总数，用样本估计整体让整体样本的百分比即可．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长到，使得，连接．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为
延长到，使得，连接首先证明，，利用三角形法则求出即可解决问题；
本题考查平面向量、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、三角形法则等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：篱笆的总长为米，花圃垂直于墙的一边长为米，
花圃平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故答案为：．
由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在边长为个单位的方格纸中，的顶点在小正方形顶点位置，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
利用勾股定理可求出、、的值，利用勾股定理的逆定理可得，根据余弦的定义即可得答案．
本题考查网格的特征、勾股定理及余弦的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
 

18.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
如图，当时，是直角三角形，
在中，，，，
，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，是直角三角形，
由题可得，，，
，，
，，
又，
，，
过作于，则，
，，
由折叠可得，，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：或．
由为直角三角形，分两种情况进行讨论：；分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

19.【答案】解：



． 

【解析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

20.【答案】解：两边乘得到，
，
，
，，
经检验是原方程的增根，
原方程的解为． 

【解析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
两边乘把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
 

21.【答案】解：设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
过点作于点，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
由可知：，
，，
，
． 

【解析】设，，所以，，由可求出，从而可求出答案．
过点作于点，由于是的中点，所以是的中位线，从而可求出，再求出即可求出的正切值．
本题考查解直角三角形，解题的关键是求出、的长度，本题属于中等题型．
 

22.【答案】解：设与之间的函数关系式，
把，代入得：
解得：，
与之间的函数关系式；
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该经销商想要每天获得元的销售利润，销售价应定为元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
根据总利润每千克的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其中符合题意的值即可得出结论．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
，，
∽，
：：，
而，
：：，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质得到，，再利用平行线的性质得到，利用直角三角形斜边上的中线性质得到，则，从而得到；
先证明∽，则：：，然后利用和比例性质可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．
 

24.【答案】解：，
．
，
．
，点在点右侧，抛物线与轴交点．
．
，
．
，
，
．
答：抛物线的解析式为，的坐标为；
如图，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作于点，垂足为点．

．
在中，，由勾股定理，得
，
．
设直线的解析式为，由题意，得
，
解得：，
直线的表达式为．
当时，，
．
．
，，
，
．
在中，
，
．

在中，．
答：；
如图，当点在上方时，
，且，
，
．
点在抛物线的对称轴直线上，
，
．
在中，
．
；
当点在下方时，
，且，

．
在中，．
．

综上所述：；． 

【解析】根据与轴的交点的坐标就可以求出的值及的值，进而求出的值及的坐标，由待定系数法就可以求出的值而求出解析式及定点坐标；
如图，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作于点，垂足为点在中，，就可以求出的值，再由待定系数法求出直线的解析式，就可以求出点的坐标，进而求出的值，由勾股定理就可以求出及的值，从而求出的值就可以得出结论；
如图，分类讨论，当点在上方时，根据角之间的关系就可以求出，当点在下方时，就可以求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质求解是难点．
 

25.【答案】解：是半径中点，
，
是的垂直平分线，
，
设，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
；
如图，连接，，

是垂直平分线，
，
是弧的中点，
，
，
，
，
连接，
，
，
，
∽，
，
，
是以为腰的等腰三角形，
当时，是的垂直平分线，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
设菱形的边长为，
，
在中，，
在中，，
，
舍或；
；
当时，
是垂直平分线，
，
，
，
连接，
，
，
，
点和点重合，此时，点和点重合，
，
即：当是以为腰的等腰三角形时，的长为或． 

【解析】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，垂直平分线性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键．
先求出，设，得出，根据勾股定理得，求出，即可得出结论；
先判断出，进而得出，再判断出∽，即可得出结论；
分两种情况：当时，判断出四边形是菱形，得出，在中，，在中，，建立方程求解即可；
当时，判断出，再判断出，进而得出，即：点和点重合，即可得出结论．