2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题（含解析）

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟（北京卷）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则有（    ）

A． B． C． D．

2．复数（其中为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设等比数列的前6项和为6，且，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，向量与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

5．设是定义在上的增函数，，那么必为（ ）

A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数

6．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ）

A． B．2 C． D．

7．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知双曲线的离心率为，则双曲线的一条渐近线的斜率可能是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．设集合，则（    ）

A．当时， B．对任意实数，

C．当时， D．对任意实数，

二、填空题

11．若，则 ________

12．下列命题中：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定过原点；

③若奇函数，则实数；

④图象过原点的奇函数必是单调函数；

⑤函数的零点个数为2；

⑥互为反函数的图象关于直线对称.

上述命题中所有正确的命题序号是________.

13．若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则______（写出满足条件的一个函数即可）.

14．三棱锥中， 是边长为 的正三角形，，若该三棱锥的每个顶点均在球的表面上， 则球的体积是________

三、双空题

15．已知是角的终边上一点，则______，角的最小正值是______.

四、解答题

16．已知函数.

(1)求函数的单调增区间；

(2)在中，分别是角的对边，且，求的面积.

17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．

(1)求证：EF//平面PBC；

(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．

条件①：；条件②：．

18．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：

该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.

(1)求各班参加竞赛的人数；

(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为，求的分布列及数学期望；

(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.

19．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围.

20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且的面积为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点C，直线与轴交于点D，求证：四边形的面积为定值．

21．已知数列的前n项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36.

（1）当n为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当n为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求该数列的前n项和；

（2）设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数l、，使得、、成等差数列？若存在，求出l、m（用k表示），若不存在，请说明理由.

参考答案：

1．C

【解析】根据集合的基本运算性质可得答案.

【详解】集合， 则，

故选：C.

【点睛】本题考查了集合的基本运算、集合间的基本关系，属于基础题.

2．C

【解析】利用复数的除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的共轭复数，由此可得出复数的共轭复数在复平面对应的点所在的象限.

【详解】，则，

因此，复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C.

【点睛】本题考查复数在复平面对应的点所在象限的判断，考查了复数的除法法则和共轭复数概念的应用，考查计算能力，属于基础题.

3．A

【分析】先求得等比数列的公比，然后根据等比数列前项和公式列方程，解方程求得的值.

【详解】由题意可得公比，则，即.

故选：A

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.

4．D

【分析】利用向量的数量积去求的值.

【详解】

故选：D

5．A

【分析】可求得，根据奇偶性的定义可知为奇函数；设，则，根据单调性可证得，根据单调性定义可知为增函数，从而得到结果.

【详解】

为定义在上的奇函数

设，则

为定义在的增函数    ，

为定义在上的增函数

综上所述：必为增函数且为奇函数

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性和单调性，考查学生对于函数性质定义的掌握，属于基础题.

6．A

【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案

【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，

所以，

故选A.

7．B

【分析】根据函数奇偶性排除，由排除，由此得到结果.

【详解】，

为偶函数，图象关于轴对称，可排除；

，可排除.

故选：.

【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.

8．D

【分析】由双曲线的性质求解

【详解】双曲线的渐近线为，

而双曲线的离心率为，所以，即，得，

故选：D

9．B

【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.

【详解】若在上单调递减，

则，解得.

所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.

故选：B

10．C

【分析】依据选项将点代入验证即可.

【详解】当时，，

将代入A得：成立，故，即A错误；

若时，此时将代入不成立，即B错误；

当时，此时将代入不成立，即C正确；

若时，此时将代入A得成立，即D错误；

故选：C.

11．

【分析】，求得，令，求得，即可得解.

【详解】解：令，则，

令，则，

所以

故答案为：.

12．③⑥

【详解】试题分析：可举反例来说明其错误；‚当奇函数在处无定义的时候，图象就不通过原点，比如；ƒ奇函数在处有意义，所以；„若图象过原点的奇函数在单调时，其在定义域内必是单调函数，而当过原点的奇函数在不单调时，它在定义域内就不是单调函数，比如；…函数的零点即函数与的交点，作出图象可以发现它们在轴左侧有一个交点，右侧有两个交点，所以函数的零点个数为；†结合反函数的定义可知原函数的反函数互为逆运算，所以原函数图象若过点，则点必定在反函数的图象上，即它们的图象关于直线对称.

考点：函数奇偶性的图象与性质，函数与方程及互为反函数的函数图象之间的关系.

【方法点晴】多选题往往在一套试卷中对要考查的知识点起着补充作用，内容比较零碎，需要对每个命题都要做出准确的判断方能得分，正是这一要求导致其得分率比较低.在判断的过程中思维一定要考虑全面，从正、反两个方面进行考虑，特别是从正面不好直接判断时，可以从命题的反面看能否找出反例进行排除，比如在本题中‚„是用反例来进行否定，ƒ…†则是从正面直接判断.

13．，

【分析】由于三角函数既有中心对称又有轴对称，故选三角函数即可得解.

【详解】易知三角函数的图像既有中心对称点，又有对称轴，

由满足此条件，

故答案为：.

14．

【分析】根据球的截面圆外心与球心连线垂直于截面所在的平面，分别寻找、的外接圆圆心，进一步找到分别垂直于这两个截面的垂线，其交点即为外接球球心.

【详解】如图所示，

在中，，所以，所以,又，得平面，

设的中点分别为，连接，因为，所以平面，

由平面，得，由 是边长为 的正三角形，所以，所以平面，过作平面，则，

设的中心为，过作，交于点，则平面，

所以点即为三棱锥外接球的球心，

在中，，所以，

在中，

所以三棱锥的体积为.

故答案为：.

15．         

【解析】根据三角函数的定义，求得的值，进而确定角的最小正值.

【详解】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为.

故答案为：（1）；（2）

【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，考查终边相同的角，属于基础题.

16．(1)

(2)

【分析】（1）利用倍角公式及两角和与差正弦化简化为，利用整体法可求函数的单调增区间.

（2）先根据，求出角A,再根据一角三边关系，利用余弦定理求，最后代入面积公式计算即可.

【详解】（1）

，

令，其中，解得，.

∴函数的单调递增区间是，其中.

（2）.

又.

，故.

在中，，

，即，,

.

17．(1)证明见解析

(2)12.

【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，进而由线线平行得出线面平行；

（2）分别选择条件，设PD边长，建系应用二面角余弦值求参数即得.

【详解】（1）

取的中点M，连接，

∵M，F分别为的中点，

∴是的中位线，

∴且，

又E为的中点，

∴且，

∴且，

∴四边形是平行四边形，

∴平面平面，

∴平面.

（2）

选择条件①：,

平面ABCD，,平面PCD，平面PCD, 平面PCD,

 ,,底面ABCD为菱形，E为AB的中点．,是等边三角形，

以为z轴，为y轴,为x轴，建立空间直角坐标系，

设,则,

设平面法向量为,

设平面法向量为,

,,

,

令,则,

二面角的大小为

∴，,

选择条件②：．

平面ABCD，,,取的中点O，,

平面PDO，平面PDO, 平面PDO, ,,

底面ABCD为菱形，O为BC的中点．,是等边三角形，

以为z轴，以为x轴，以为y轴

设,则,

设平面法向量为,

,,

,

令则,

设平面的法向量为,

,,

,

令,则,

二面角的大小为

∴，,

18．(1)3,4,2,1

(2)分布列见解析，2.8

(3)

【分析】（1）根据分层抽样计算可得；

（2）根据超几何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；

（3）计算1班每位同学获奖的概率，然后根据二项分布求解即可.

【详解】（1）各班报名人数总共100人，抽取10人，抽样比为，

故班分别抽取（人），（人），（人），（人）.

（2）由题意，的可能取值为1,2,3,4，

,

,

,

,

所以的分布列为：

（3）由题意，1班每位同学获奖的概率为,

设1班获奖人数为，则，

所以至少1人获奖的概率为.

19．（1）；（2）.

【分析】（1）求出函数的导函数，再分别求出，根据倒数的几何意义，即为曲线在点处的切线的斜率，从而可得答案；

（2）由对，恒成立，即恒成立，求出函数的单调区间，从而求得函数在上的最大值，即可得出答案.

【详解】解：（1）因为，所以.

所以又

所以曲线在点处的切线方程为

即.

（2）由题意知：

，.由，解得，

故当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以.又

所以实数的取值范围为.

20．（1）．（2）见解析

【分析】（1）由长轴长是短轴长的2倍，的面积，构建方程组，求得ab，代入椭圆方程得答案；

（2）设有，分别表示直线和的方程，从而表示与，可得与长度关系式，进而可以表示，化简即证..

【详解】（1）∵椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴．

∵的面积为1，∴，，

解得，．

∴椭圆C的方程为．

（2）由（1）可知，，

设，则，即．

则直线的方程为．

令，得，即．

同理，直线的方程为，

令，得，即．

∴

因为且，

则原式．

∴四边形的面积为定值2．

【点睛】本题考查椭圆问题的综合问题，涉及求由abc表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题，属于难题.

21．（1），；（2）存在；，.

【分析】（1）根据通项公式与求和公式的关系求出，利用等差数列基本量运算求得，利用分类讨论思想求出结果．

（2）由（1）可知：，若对于任意给定的正整数存在正整数，，

使得，，成等差数列，利用分类讨论思想和整除问题，结合反证法可得结果．

【详解】（1）因为，

于是数列 是首项为1，公差为 的等差数列，

所以，

则：，

当时，，

又因为，

所以，

又因为，

于是数列是等差数列，

设的前 项和为，

由于，

则：，

由于：，

则：，

解得：．

所以：；

当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；

当为偶数时，将放在前面一项的位置上，

可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，

则：数列的前项和．

当时，．

当时，

．

当时，；

进一步整理得：．

（2）由（1）可知：，

若对于任意给定的正整数存在正整数，，

使得，，成等差数列．

则：，

即：，

解得：，

即：．

则对于任意的正整数能整除，且．

由于当时，中存在多个质数．

所以：只能取1和或．

若时，则，．

于是，，

符合．

若时，出现矛盾，

则舍去．

若，

则：，

于是，

出现矛盾，故舍去．

综上所述：当时，存在正整数，，

满足，使得，，成等差数列．

【点睛】本题考查的知识要点：通项公式与求和公式的关系，等差数列基本量运算，整除问题，以及分类讨论思想和反证法的应用，同时考查了运算求解能力与转化思想，属于综合题．