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山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)
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这是一份山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若一个整数12 500…0用科学记数法表示为1.25×1010,则原数中“0”的个数为 ( )
A.5 B.8 C.9 D.10
2.若代数式x+1x-1有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x>-1且 x≠1 B.x≥-1 C.x≠1 D.x≥-1且 x≠1
3.开学前,根据学校防疫要求,小宁同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:
体温(℃)
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数(天)
3
3
4
2
2
这14天中,小宁体温的众数和中位数分别为 (B)
A.36.5 ℃,36.4 ℃ B.36.5 ℃,36.5 ℃ C.36.8 ℃,36.4 ℃ D.36.8 ℃,36.5 ℃
4.下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是 ( )
5.
5.如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20 cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是 ( )
A.11013 cm B.8 cm C.62 cm D.10 cm
6.某沿海城市作为国际旅游名城,每年吸引着大量游客前来观光.现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点,乙大巴全程匀速驶向景点.两辆大巴的行程s(km)随时间t(h)变化的图象(全程)如图所示.依据图中信息,下列说法错误的是 ( )
A.甲大巴比乙大巴先到达景点 B.甲大巴中途停留了0.5 h
C.甲大巴停留后用1.5 h追上乙大巴 D.甲大巴停留前的平均速度是60 km/h
7.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是 ( )
6. 7. 8.
A.14 B.13 C.38 D.49
8.如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 ( )
A.25 B.42 C.342 D.853
9.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC的长为 ( )
9. 10.
A.6+2 B.32 C.2+3 D.3+2
10.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,直线y=kx+c与抛物线都经过点(-3,0).下列说法:①ab>0;②4a+c>0;③若(-2,y1)与12,y2是抛物线上的两个点,则y1
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分.直接填写最后结果)
11.分解因式:x3-2x2+x= .
12.一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°,则它的边数是 .
13.如图,点A(-4,2)和B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点,则不等式kx+b
13. 14. 15.
15.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上,点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落在y轴上,得到矩形ODEF,BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx(x<0)的图象交AB于点N,S矩形OABC=32,tan ∠DOE=12,则BN的长为 .
16.如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此作法进行下去,其中的长为 .
三、解答题(本大题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(6分)计算:
18.(6分)解不等式组x-22≤-12x+2①,4-7x<-3 ②,求x的整数值。
19.(6分)如图,已知在▱ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,且BE=DF,AC,EF相交于O,连接AE,CF.
求证:AE=CF;
20.(8分)为更好地开展党史知识进校园活动,了解学生对党史知识的掌握程度,某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试,并将测试结果分为A优秀,B良好,C合格,D不合格4个等级.将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次调查了 名学生;
(2)补全条形统计图(并标注频数);
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 度;
(4)该校共有800名学生,请你估计“良好”以上的学生有 名;
(5)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动,请用列表法或画树状图法,求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
21.(8分)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,3≈1.73)
22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交☉O于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AEDE=23,AF=10,求☉O的半径.
23.(10分)某市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”,某实验学校计划购买A,B两种型号教学设备,已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台.
(1)求A,B型设备的单价分别是多少元;
(2)该校计划购买两种设备共50台,要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出最少购买费用.
24.(10分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B在直线l:y=x上,
过点B作AB的垂线,过原点O作直线l的垂线,两垂线相交于点C.
(1)如图,点B,C分别在第三、二象限内,BC与AO相交于点D.
①若BA=BO,求证:CD=CO.
②若∠CBO=45°,求四边形ABOC的面积.
(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求OB的长;若不存在,请说明理由.
25.(12分)△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-233x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
B
C
D
C
A
A
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分.直接填写最后结果)
11. x(x-1)2 12. 8 13. x>2或-4
三、解答题(本大题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(6分)计算:
解：
当时,?
18.(6分)解不等式组x-22≤-12x+2①,4-7x<-3 ②,求x的整数值。
解不等式①,得:x≤3,
解不等式②,得:x>1,
则不等式组的解集为1
19.(6分)如图,已知在▱ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,且BE=DF,AC,EF相交于O,连接AE,CF.
求证:AE=CF;
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵BE=DF,∴AF=CE,AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF.
20.(8分)为更好地开展党史知识进校园活动,了解学生对党史知识的掌握程度,某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试,并将测试结果分为A优秀,B良好,C合格,D不合格4个等级.将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次调查了 名学生;
(2)补全条形统计图(并标注频数);
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 度;
(4)该校共有800名学生,请你估计“良好”以上的学生有 名;
(5)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动,请用列表法或画树状图法,求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
【解析】(1)本次调查的学生人数为15÷30%=50(名);
答案:50
(2)C合格的人数为50-15-10-5=20(名),
补全条形统计图如图:
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为360°×1050=72°;
答案:72
(4)该校共有800名学生,估计“良好”以上的学生有
800×15+1050=400(名);
答案:400
(5)画树状图如图:
共有12种等可能的结果,其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种,
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为612=12.
21.(8分)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,3≈1.73)
【解析】延长DC交AB于点E,
则DE⊥AB,设CE=x m,
在Rt△AEC中,∠ACE=60°,
∴AE=EC·tan 60°=3x(m),
在Rt△BEC中,∠BCE=40°,
∴BE=EC·tan 40°≈0.84x(m),
在Rt△AED中,∠D=30°,
∴DE=AEtan30°=3x33=3x(m),
∵CD=80 m,DE-CE=CD,
∴3x-x=80,∴x=40,
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)
=102.8≈103(m).
答:桥墩AB的高度为103 m.
22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交☉O于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AEDE=23,AF=10,求☉O的半径.
【解析】(1)如图1,
连接OD,则OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,
∵AB=AC,∴∠B=∠OCD,∴∠B=∠ODC,
∴OD∥AB,
∵DE⊥AB,∴OD⊥DE,
∵OD为☉O的半径,∴DE是☉O的切线;
(2)如图2,连接AD,
∵AEDE=23,∴设AE=2m,DE=3m,
∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°,
在Rt△ADE中,根据勾股定理得,
AD=AE2+DE2=13m,
∵AC为直径,∴∠ADB=∠ADC=90°=∠AED,
∵∠BAD=∠EAD,∴△ABD∽△ADE,
∴ABAD=ADAE=BDDE,∴AB13m=13m2m=BD3m,
∴AB=132m,BD=3132m,∵AB=AC,∠ADC=90°,
∴DC=3132m,BC=2BD=313m,
连接FC,则∠ADB=∠F,
∵∠B=∠B,∴△ADB∽△CFB,∴ABBC=BDBF,
∵AF=10,∴BF=AB+AF=132m+10,
∴132m313m=3132m132m+10,∴m=4,
∴AD=413,CD=613,
在Rt△ADC中,根据勾股定理得,AC=AD2+CD2=26,∴☉O的半径为12AC=13.
23.(10分)某市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”,某实验学校计划购买A,B两种型号教学设备,已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台.
(1)求A,B型设备的单价分别是多少元;
(2)该校计划购买两种设备共50台,要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出最少购买费用.
【解析】(1)设每台B型设备的价格为x万元,则每台A型设备的价格为1.2x万元,
根据题意得,30 0001.2x=15 000x+4,
解得x=2 500.
经检验,x=2 500是原方程的解.
∴1.2x=3 000,
∴每台B型设备的价格为2 500元,则每台A型设备的价格为3 000元;
(2)设购买a台A型设备,则购买(50-a)台B型设备,
∴w=3 000a+2 500(50-a)=500a+125 000,
由实际意义可知,a≥0,50-a≥0,a≥13(50-a),
∴12.5≤a≤50且a为整数,
∵500>0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a=13时,w的最小值为500×13+125 000=131 500(元).
∴w=500a+125 000,且最少购买费用为131 500元.
24.(10分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B在直线l:y=x上,
过点B作AB的垂线,过原点O作直线l的垂线,两垂线相交于点C.
(1)如图,点B,C分别在第三、二象限内,BC与AO相交于点D.
①若BA=BO,求证:CD=CO.
②若∠CBO=45°,求四边形ABOC的面积.
(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求OB的长;若不存在,请说明理由.
解析】(1)①∵BC⊥AB,CO⊥BO,
∴∠ABC=∠BOC=90°,
∴∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°,
∵BA=BO,
∴∠BAD=∠DOB,
∴∠ADB=∠COD,
∵∠ADB=∠CDO,
∴∠COD=∠CDO,
∴CD=CO;
②过A作AM⊥OB于M,过M作MN⊥y轴于N,如图:
∵M在直线l:y=x上,
设M(m,m),∴MN=|m|=-m,
ON=|m|=m,
Rt△MON中,tan ∠OMN=ON/MN=,
而OA∥MN,
∴∠AOM=∠OMN,
∴tan ∠AOM=,即AM/OM=,
设AM=3n,则OM=8n,Rt△AOM中,AM2+OM2=OA2,
又A的坐标为(,0),∴OA=,
∴(3n)2+(8n)2=()2,解得n=1(n=-1舍去),∴AM=3,OM=8,
∵∠CBO=45°,CO⊥BO,∴△BOC是等腰直角三角形,
∵BC⊥AB,∠CBO=45°,∴∠ABM=45°,
∵AM⊥OB,∴△ABM是等腰直角三角形,
∴AM=BM=3,BO=CO=OM-BM=5,
∴等腰直角三角形△ABM中,AB=AM=3,等腰直角三角形△BOC中,BC=
BO=5,∴S△ABC=AB·BC=15,S△BOC=BO·CO=,∴S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=;
(2)存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下:
过A作AM⊥OB于M,如图:
由(1)②可知:AM=3,OM=8,设OB=x,则BM=8-x,AB=,
∵CO⊥BO,AM⊥BO,AB⊥BC,
∴∠AMB=∠BOC=90°,∠ABM=90°-∠OBC=∠BCO,∴△AMB∽△BOC,
∴,即,∴OC=(8-x),
Rt△BOC中,BC==,
∵∠ABC=∠BOC=90°,
∴以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,分两种情况:
①若,则.
解得x=4,∴此时OB=4;
②若,则,
解得x1=4+,x2=4-,
∴OB=4+或OB=4-;
综上所述,以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,则OB 的长度为:4或4+或4-.
25.(12分)△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.
【解析】(2)PB=PA+PC,理由如下:
如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,
∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,BF=CP,
∴△BAF≌△CAP(SAS),
∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,
∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,
∴PB=BF+PF=PC+PA;
(3)PC=PA+PB,理由如下:
如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,
同理得:△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,PB=CM,
∴△AMC≌△APB(SAS),
∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,
∴∠BAC=∠PAM=60°,
∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,
∴PC=PM+CM=PA+PB.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-233x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,
∴点A(-1,0),C(0,-3).
∵点A,C都在抛物线上,∴0=a+233+c,-3=c∴a=33,c=-3
∴抛物线的解析式为y=33x2-233x-3.
∴顶点F1,-433;
(2)存在:P1(0,-3),P2(2,-3);
(3)存在.理由:延长BC到点B',使B'C=BC,连接B'F交直线AC于点M,则点M就是所求的点.
过点B'作B'H⊥AB于点H,
∵B点在抛物线y=33x2-233x-3上,
∴B(3,0),在Rt△BOC中,tan ∠OBC=33,
∴∠OBC=30°,BC=23.
在Rt△B'BH中,B'H=12BB'=23,
BH=3B'H=6,∴OH=3,∴B'(-3,-23).
设直线B'F的解析式为y=kx+b,
∴-23=-3k+b,-433=k+b解得k=36,b=-332∴y=36x-332.
联立方程组y=-3x-3,y=36x-332解得x=37,y=-1037,
∴M37,-1037,
∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,
此时M37,-1037.
山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若一个整数12 500…0用科学记数法表示为1.25×1010,则原数中“0”的个数为 ( )
A.5 B.8 C.9 D.10
2.若代数式x+1x-1有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x>-1且 x≠1 B.x≥-1 C.x≠1 D.x≥-1且 x≠1
3.开学前,根据学校防疫要求,小宁同学连续14天进行了体温测量,结果统计如表:
体温(℃)
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数(天)
3
3
4
2
2
这14天中,小宁体温的众数和中位数分别为 (B)
A.36.5 ℃,36.4 ℃ B.36.5 ℃,36.5 ℃ C.36.8 ℃,36.4 ℃ D.36.8 ℃,36.5 ℃
4.下列图形中,是轴对称图形且对称轴条数最多的是 ( )
5.
5.如图,在四边形材料ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20 cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径是 ( )
A.11013 cm B.8 cm C.62 cm D.10 cm
6.某沿海城市作为国际旅游名城,每年吸引着大量游客前来观光.现有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点.行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点,乙大巴全程匀速驶向景点.两辆大巴的行程s(km)随时间t(h)变化的图象(全程)如图所示.依据图中信息,下列说法错误的是 ( )
A.甲大巴比乙大巴先到达景点 B.甲大巴中途停留了0.5 h
C.甲大巴停留后用1.5 h追上乙大巴 D.甲大巴停留前的平均速度是60 km/h
7.如图在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以组成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是 ( )
6. 7. 8.
A.14 B.13 C.38 D.49
8.如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 ( )
A.25 B.42 C.342 D.853
9.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC的长为 ( )
9. 10.
A.6+2 B.32 C.2+3 D.3+2
10.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,对称轴为直线x=-1,直线y=kx+c与抛物线都经过点(-3,0).下列说法:①ab>0;②4a+c>0;③若(-2,y1)与12,y2是抛物线上的两个点,则y1
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分.直接填写最后结果)
11.分解因式:x3-2x2+x= .
12.一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°,则它的边数是 .
13.如图,点A(-4,2)和B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=mx的图象的两个交点,则不等式kx+b
13. 14. 15.
15.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上,点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落在y轴上,得到矩形ODEF,BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx(x<0)的图象交AB于点N,S矩形OABC=32,tan ∠DOE=12,则BN的长为 .
16.如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此作法进行下去,其中的长为 .
三、解答题(本大题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(6分)计算:
18.(6分)解不等式组x-22≤-12x+2①,4-7x<-3 ②,求x的整数值。
19.(6分)如图,已知在▱ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,且BE=DF,AC,EF相交于O,连接AE,CF.
求证:AE=CF;
20.(8分)为更好地开展党史知识进校园活动,了解学生对党史知识的掌握程度,某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试,并将测试结果分为A优秀,B良好,C合格,D不合格4个等级.将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次调查了 名学生;
(2)补全条形统计图(并标注频数);
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 度;
(4)该校共有800名学生,请你估计“良好”以上的学生有 名;
(5)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动,请用列表法或画树状图法,求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
21.(8分)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,3≈1.73)
22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交☉O于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AEDE=23,AF=10,求☉O的半径.
23.(10分)某市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”,某实验学校计划购买A,B两种型号教学设备,已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台.
(1)求A,B型设备的单价分别是多少元;
(2)该校计划购买两种设备共50台,要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出最少购买费用.
24.(10分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B在直线l:y=x上,
过点B作AB的垂线,过原点O作直线l的垂线,两垂线相交于点C.
(1)如图,点B,C分别在第三、二象限内,BC与AO相交于点D.
①若BA=BO,求证:CD=CO.
②若∠CBO=45°,求四边形ABOC的面积.
(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求OB的长;若不存在,请说明理由.
25.(12分)△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-233x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
山东省济南市莱芜区2023年初中数学中考模拟冲刺卷(三)
(120分钟 150分)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
D
B
C
D
C
A
A
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,满分24分.直接填写最后结果)
11. x(x-1)2 12. 8 13. x>2或-4
三、解答题(本大题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(6分)计算:
解：
当时,?
18.(6分)解不等式组x-22≤-12x+2①,4-7x<-3 ②,求x的整数值。
解不等式①,得:x≤3,
解不等式②,得:x>1,
则不等式组的解集为1
19.(6分)如图,已知在▱ABCD中,E,F分别在边BC,AD上,且BE=DF,AC,EF相交于O,连接AE,CF.
求证:AE=CF;
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵BE=DF,∴AF=CE,AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF.
20.(8分)为更好地开展党史知识进校园活动,了解学生对党史知识的掌握程度,某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试,并将测试结果分为A优秀,B良好,C合格,D不合格4个等级.将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图,请根据图中信息回答下列问题:
(1)本次调查了 名学生;
(2)补全条形统计图(并标注频数);
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为 度;
(4)该校共有800名学生,请你估计“良好”以上的学生有 名;
(5)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生会干部,他们中有3名男生和1名女生,学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动,请用列表法或画树状图法,求出被选中的两人恰好是一男一女的概率.
【解析】(1)本次调查的学生人数为15÷30%=50(名);
答案:50
(2)C合格的人数为50-15-10-5=20(名),
补全条形统计图如图:
(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为360°×1050=72°;
答案:72
(4)该校共有800名学生,估计“良好”以上的学生有
800×15+1050=400(名);
答案:400
(5)画树状图如图:
共有12种等可能的结果,其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种,
∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为612=12.
21.(8分)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,3≈1.73)
【解析】延长DC交AB于点E,
则DE⊥AB,设CE=x m,
在Rt△AEC中,∠ACE=60°,
∴AE=EC·tan 60°=3x(m),
在Rt△BEC中,∠BCE=40°,
∴BE=EC·tan 40°≈0.84x(m),
在Rt△AED中,∠D=30°,
∴DE=AEtan30°=3x33=3x(m),
∵CD=80 m,DE-CE=CD,
∴3x-x=80,∴x=40,
∴AB=AE+BE≈40×(1.73+0.84)
=102.8≈103(m).
答:桥墩AB的高度为103 m.
22.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交☉O于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AEDE=23,AF=10,求☉O的半径.
【解析】(1)如图1,
连接OD,则OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,
∵AB=AC,∴∠B=∠OCD,∴∠B=∠ODC,
∴OD∥AB,
∵DE⊥AB,∴OD⊥DE,
∵OD为☉O的半径,∴DE是☉O的切线;
(2)如图2,连接AD,
∵AEDE=23,∴设AE=2m,DE=3m,
∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°,
在Rt△ADE中,根据勾股定理得,
AD=AE2+DE2=13m,
∵AC为直径,∴∠ADB=∠ADC=90°=∠AED,
∵∠BAD=∠EAD,∴△ABD∽△ADE,
∴ABAD=ADAE=BDDE,∴AB13m=13m2m=BD3m,
∴AB=132m,BD=3132m,∵AB=AC,∠ADC=90°,
∴DC=3132m,BC=2BD=313m,
连接FC,则∠ADB=∠F,
∵∠B=∠B,∴△ADB∽△CFB,∴ABBC=BDBF,
∵AF=10,∴BF=AB+AF=132m+10,
∴132m313m=3132m132m+10,∴m=4,
∴AD=413,CD=613,
在Rt△ADC中,根据勾股定理得,AC=AD2+CD2=26,∴☉O的半径为12AC=13.
23.(10分)某市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”,某实验学校计划购买A,B两种型号教学设备,已知A型设备价格比B型设备价格每台高20%,用30 000元购买A型设备的数量比用15 000元购买B型设备的数量多4台.
(1)求A,B型设备的单价分别是多少元;
(2)该校计划购买两种设备共50台,要求A型设备数量不少于B型设备数量的13.设购买a台A型设备,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出最少购买费用.
【解析】(1)设每台B型设备的价格为x万元,则每台A型设备的价格为1.2x万元,
根据题意得,30 0001.2x=15 000x+4,
解得x=2 500.
经检验,x=2 500是原方程的解.
∴1.2x=3 000,
∴每台B型设备的价格为2 500元,则每台A型设备的价格为3 000元;
(2)设购买a台A型设备,则购买(50-a)台B型设备,
∴w=3 000a+2 500(50-a)=500a+125 000,
由实际意义可知,a≥0,50-a≥0,a≥13(50-a),
∴12.5≤a≤50且a为整数,
∵500>0,
∴w随a的增大而增大,
∴当a=13时,w的最小值为500×13+125 000=131 500(元).
∴w=500a+125 000,且最少购买费用为131 500元.
24.(10分)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(,0),点B在直线l:y=x上,
过点B作AB的垂线,过原点O作直线l的垂线,两垂线相交于点C.
(1)如图,点B,C分别在第三、二象限内,BC与AO相交于点D.
①若BA=BO,求证:CD=CO.
②若∠CBO=45°,求四边形ABOC的面积.
(2)是否存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似?若存在,求OB的长;若不存在,请说明理由.
解析】(1)①∵BC⊥AB,CO⊥BO,
∴∠ABC=∠BOC=90°,
∴∠BAD+∠ADB=∠COD+∠DOB=90°,
∵BA=BO,
∴∠BAD=∠DOB,
∴∠ADB=∠COD,
∵∠ADB=∠CDO,
∴∠COD=∠CDO,
∴CD=CO;
②过A作AM⊥OB于M,过M作MN⊥y轴于N,如图:
∵M在直线l:y=x上,
设M(m,m),∴MN=|m|=-m,
ON=|m|=m,
Rt△MON中,tan ∠OMN=ON/MN=,
而OA∥MN,
∴∠AOM=∠OMN,
∴tan ∠AOM=,即AM/OM=,
设AM=3n,则OM=8n,Rt△AOM中,AM2+OM2=OA2,
又A的坐标为(,0),∴OA=,
∴(3n)2+(8n)2=()2,解得n=1(n=-1舍去),∴AM=3,OM=8,
∵∠CBO=45°,CO⊥BO,∴△BOC是等腰直角三角形,
∵BC⊥AB,∠CBO=45°,∴∠ABM=45°,
∵AM⊥OB,∴△ABM是等腰直角三角形,
∴AM=BM=3,BO=CO=OM-BM=5,
∴等腰直角三角形△ABM中,AB=AM=3,等腰直角三角形△BOC中,BC=
BO=5,∴S△ABC=AB·BC=15,S△BOC=BO·CO=,∴S四边形ABOC=S△ABC+S△BOC=;
(2)存在点B,使得以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,理由如下:
过A作AM⊥OB于M,如图:
由(1)②可知:AM=3,OM=8,设OB=x,则BM=8-x,AB=,
∵CO⊥BO,AM⊥BO,AB⊥BC,
∴∠AMB=∠BOC=90°,∠ABM=90°-∠OBC=∠BCO,∴△AMB∽△BOC,
∴,即,∴OC=(8-x),
Rt△BOC中,BC==,
∵∠ABC=∠BOC=90°,
∴以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,分两种情况:
①若,则.
解得x=4,∴此时OB=4;
②若,则,
解得x1=4+,x2=4-,
∴OB=4+或OB=4-;
综上所述,以A,B,C为顶点的三角形与△BCO相似,则OB 的长度为:4或4+或4-.
25.(12分)△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明);
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?并加以证明;
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA,PB,PC之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明.
【解析】(2)PB=PA+PC,理由如下:
如图②,在BP上截取BF=PC,连接AF,
∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,BF=CP,
∴△BAF≌△CAP(SAS),
∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,
∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,
∴PB=BF+PF=PC+PA;
(3)PC=PA+PB,理由如下:
如图③,在PC上截取CM=PB,连接AM,
同理得:△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,
∵AB=AC,PB=CM,
∴△AMC≌△APB(SAS),
∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,
∴∠BAC=∠PAM=60°,
∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,
∴PC=PM+CM=PA+PB.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-233x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点的抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,
∴点A(-1,0),C(0,-3).
∵点A,C都在抛物线上,∴0=a+233+c,-3=c∴a=33,c=-3
∴抛物线的解析式为y=33x2-233x-3.
∴顶点F1,-433;
(2)存在:P1(0,-3),P2(2,-3);
(3)存在.理由:延长BC到点B',使B'C=BC,连接B'F交直线AC于点M,则点M就是所求的点.
过点B'作B'H⊥AB于点H,
∵B点在抛物线y=33x2-233x-3上,
∴B(3,0),在Rt△BOC中,tan ∠OBC=33,
∴∠OBC=30°,BC=23.
在Rt△B'BH中,B'H=12BB'=23,
BH=3B'H=6,∴OH=3,∴B'(-3,-23).
设直线B'F的解析式为y=kx+b,
∴-23=-3k+b,-433=k+b解得k=36,b=-332∴y=36x-332.
联立方程组y=-3x-3,y=36x-332解得x=37,y=-1037,
∴M37,-1037,
∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,
此时M37,-1037.
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