2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区五校联盟八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区五校联盟八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共51页。试卷主要包含了 下列各数中，比−2小的数是， 点P在x轴上，则点P坐标为等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区五校联盟八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1. 下列各数中，比−2小的数是(    )
A. −1 B. 0 C. −3 D. 1
2. 某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是(    )
A. 正方体
B. 长方体
C. 圆柱体
D. 圆锥体
3. 点P(m+3,m+1)在x轴上，则点P坐标为(    )
A. (0,−4) B. (4,0) C. (0,−2) D. (2,0)
4. 代数式 x+1x有意义的x的取值范围是(    )
A. x>−1且x≠0 B. x≥−1 C. x<−1 D. x≥−1且x≠0
5. 如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是(    )
A. 2.5
B. 5
C. 2.4
D. 不确定
6. 某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是(    )
A. 30x−30(1+20%)x=5 B. 30x−3020%x=5
C. 3020%x+5=30x D. 30(1+20%)x−30x=5
7. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(    )
A. r=Rcos36°
B. a=2Rsin36°
C. a=2rtan36°
D. R=rsin36°
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=acx+b的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
9. 已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，则a的值为______．
10. 已知点(−4,y1)(6,y2)在反比例函数y=6x的图象上，则y1 ______ y2.(填>，<，=)
11. 素有“天府明珠”“香城宝地”美誉的新都区旅游景点众多，某班计划在“芳华微马公园”，“东湖公园”，“桂湖公园”，“丝绸博物馆”，“百花谷”，“漫花庄园”这6个景点中选取一个开展实践活动，现对班上同学的意向进行问卷调查，选择这6个景点人数依次为：10，6，9，8，10，7，则这组数据的众数为______ ，中位数为______ ．
12. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若AC=4，AB=5，OD⊥BC于点D，则CD的长为______ ．


13. 如图，四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，连接AC，分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连接PQ分别交AD，BC于点E，F，则线段EF的长为______ ．


14. (1)2−1+38−2cos30°+|− 3|；
(2)解不等式组：x−3(x−2)≥4①2x+13>x−12②．
15. 近期新都区某中学准备举行以“青春绽放⋅梦想起航”为主题的艺术节文艺汇演活动，某班组织部分同学以合唱的形式参加本次活动，为了达到更好的表演效果，需根据同学们的音色特征分为不同的声部，音乐教师黄老师随机抽取学生进行试唱，根据试唱情况把学生分成A，B，C，D四个不同的声部，并根据统计结果绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
(1)扇形统计图中D声部对应的圆心角的角度是______ (度)，并补全条形统计图；
(2)已知A声部中只有一位同学是男生，黄老师准备从这4位同学中随机选择两位同学作为领唱，请用列表法或画树状图的方法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．

16. 有着中国食品行业“晴雨表”之称的全国糖酒商品交易会，始于1955年，是中国历史最为悠久的大型专业展会之一.2023年第108届全国糖酒会于4月12日至4月14日，在成都中国西部国际博览城和世纪城新国际会展中心举办.某中学数学小组去测量会场的旗杆高度，过程如下，已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离(AB)是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离(CD)是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°，两人相距5米且位于旗杆同侧.(点B，D，F在同一直线上，结果保留根号)．
(1)求小敏到旗杆的距离DF；
(2)求旗杆EF高度．

17. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB中点，连接OB，OC，OC交AB于点D.过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，延长BO交⊙O于点Q，
连接MQ交⊙O于点P，连接BP．
(1)求证：△MBP∽△MQB；
(2)已知MDMP=32，求MQMO的值．

18. 如图，直线l经过点A(1,0)且与双曲线y=mx(x>0)交于点B(2,1)，经过直线l上一点P(p,p−1)(p>1且p≠2)作x轴的平行线分别交曲线y=mx(x>0)和y=−mx(x<0)于点M，N．
(1)求m的值及直线l的解析式；
(2)求△AMN的面积；
(3)是否存在实数p，使得S△AMN=2S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

19. 已知x1，x2是方程x2+mx−3=0的两个实数根，且x1=−1，则m−2x1x2= ______ ．
20. 若整数a使关于x的分式方程ax−2x−3=2−13−x的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______ ．
21. 青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂.开方除之，即弦也.”，若图中DF=1，CF=2，则AE的长为______ ．

22. 一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m′，并规定F(m)=m−m′11.若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且a≠b，若F(m)45是一个完全平方数，则a−b= ______ ，满足条件的m的最小值为______ ．
23. 如图，在边长为6的等边△ABC中，动点D在AB边上(与点A，B均不重合)，点E在边AC上，且AE=BD，CD与BE相交于点G，连接AG.当点D在AB边上运动时，AG的最小值为______ ．


24. 已知商家购进一批商品，每件的进价10元，拟采取线上和线下两种方式进行销售.在线下销售过程中发现：当12≤x≤20时，该商品的日销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)之间存在一次函数关系，部分数值对应关系如下表：
售价x(元/件)
15
20
日销售量y(件)
150
120
(1)当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的日销量固定为60件.设该商品线上和线下的日销售利润总和为w元，当该商品的售价x (元/件)为多少元时，日销售利润总和最大？最大利润是多少？
25. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．
(1)求出二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
(2)当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
(3)连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使∠CDE=∠PCF？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

26. 将下列三幅图中的△ABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD．
(1)如图1，将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE，求证：△ABC≌△ADE；
(2)如图2，连接BD，点F在BD上，且满足BC=DF，连接AF，点G为AB上一点，连接DG交AF于点M，若∠ACB=∠BDG，∠ADB+∠ABC=180°，求证：AM=FM．
(3)如图3，连接CD，若∠BAD=120°，△ABC是等边三角形，P，Q两点分别在AB，BD上，且满足∠PCQ=∠ABD，请探究线段DQ，BP，CD之间的数量关系，并证明你的结论．

27. 下列运算正确的是(    )
A. (a3)2=a6 B. a2+a3=a5
C. (a−b)2=a2−b2 D. x6÷x3=x2
28. 分式13+x有意义的条件是(    )
A. x=−3 B. x≠−3 C. x≠3 D. x≠0
29. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是(    )
A. B. C. D.
30. 下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )
A. 4，5，6 B. 1，1， 2 C. 6，8，11 D. 5，12，23
31. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是(    )
A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°
32. 下列叙述错误的是(    )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形
33. 如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为(    )

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
34. 如图，在△ABC中，AB=AC=8.点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF//AC，GF//AB，则四边形AEFG的周长是(    )

A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
35. 如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线与AD、BC交于点M、N，若△CON的面积是3，△DOM的面积是5，则四边形ABNM的面积是(    )
A. 13 B. 16 C. 24 D. 32
36. 观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为1)，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是(    )
A. B. C. D.
37. 已知某种新型感冒病毒的直径为0.0000823米，将0.0000823用科学记数法表示为______ ．
38. 计算 3+3 13的结果是______．
39. 因式分解：x3−6x2+9x=______．
40. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m(如图)，则A，B两点的距离是          m.

41. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A=20度，则∠BCD=______度．





42. 一个圆锥的高AO=2.4cm，底面半径OB=0.7cm，则AB的长是______ ．


43. 在△ABC中，AB=AC=BC，高AD=h，则AB= ______ .(用含h的式子表示)．
44. 如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=8cm，BC=10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段DE的长为______cm．


45. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，且AC+BD=36，AB=10，则线段AC的长为______ ．


46. 平行四边形ABCD，∠D=102°，连接AC，点E在AC上，AD=AE，连接EB，△AEB是以AE为腰的等腰三角形，则∠BAC的度数为______ ．
47. 先化简，再求值：(1+1a)÷a2−1a，其中a= 2+1．
48. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出△ABC，使∠ABC=90°，AB=BC(点C在小正方形的顶点上)；
(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH(点G，点H均在小正方形的顶点上)，且平行四边形EFGH的面积为4．
(3)连接CH，请直接写出线段CH的长．

49. 在△ABC中，AC=4，∠A=30°．

(1)如图1，当∠C=90°时，求BC；
(2)如图2，当∠C=105°时，求BC．
50. 如图1，平行四边形ABCD，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，点F在BD上且DF=BE，连接CF，过点A作AG⊥CF交CF的延长线于点G．

(1)求证：四边形AEFG是矩形；
(2)如图2，连接AF、CE、GD，当∠AFG=∠FEC时，在不添加辅助线和字母的情况下，直接写出图中的所有等腰三角形．
51. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．
(1)绳子和实心球的单价各是多少元？
(2)如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？
52. 如图1，四边形ABCD，连接AC，AB=AC=AD．

(1)求证：12∠BAD+∠BCD=180°；
(2)如图2，作∠CAD的平分线交BC的延长线于点E，交CD于点H，连接DE，当∠BAD=90°时，求证：BC+2DE= 2AE；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点A作AF⊥BC于F，连接FD，若AB= 5DE，△AFD的面积是10，求线段DF的长．
53. 如图1，平面直角坐标中，O为坐标原点，点A、C都在坐标轴上，D(−2,0)，连接AD，AD=2 10，矩形AOCB的面积是60．

(1)求点B坐标；
(2)如图2，点E、F分别在线段AB、OC上，CF=2BE，连接EF，当四边形ADFE是平行四边形时，求点F坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点Q在OA的延长线上，连接CQ，点M是CQ的中点，连接AM、QF、QE，点N在QF上，连接EN，∠AEN=∠MAE，连接MN并延长交y轴于点P，连接PD，当QE=2PD时，求点N坐标．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知−3<−2．
故选：C．
先根据正数都大于0，负数都小于0，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比−2小的数是−3．
本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：(1)负数<0<正数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．

2.【答案】C 
【解析】解：俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
故选：C．
俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．
考查简单几何体的三视图及其画法，简单几何体的主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面的正投影所得到的图形．

3.【答案】D 
【解析】解：∵点P(m+3,m+1)在x轴上，
∴y=0，
∴m+1=0，
解得：m=−1，
∴m+3=−1+3=2，
∴点P的坐标为(2,0)．
故选：D．
根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．

4.【答案】D 
【解析】解：根据题意，得
x+1≥0x≠0，
解得：x≥−1且x≠0．
故选：D．
根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x的值．

5.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=12AC，BO=12BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD=12×8×6=24，
∴AB= 42+32=5，S△AOB=6，
∵12⋅AB⋅EO=12⋅AO⋅BO，
∴5EO=4×3，
EO=125，
故选：C．
根据菱形的性质可得AC⊥DB，AO=12AC，BO=12BD，然后利用勾股定理计算出AB长，再根据菱形的面积公式得到S菱形ABCD=12×8×6=24，进而得到△AOB的长，然后根据直角三角形的面积计算出EO长即可．
此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

6.【答案】A 
【解析】解：设原计划每天植树x万棵，可列方程是：
30x−30(1+20%)x=5．
故选：A．
直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=15×360°=72°，
∴∠1=12∠BOC=12×72°=36°，
R2−r2=(12a)2=14a2，
12a=Rsin36°，故B不符合题意；
a=2Rsin36°，
12a=rtan36°，
a=2rtan36°，故C不符合题意；
cos36°=rR，
r=Rcos36°，故A不符合题意；
故选：D．
根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
本题考查了圆内接五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：A、由抛物线可知，a>0，b<0，c<0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a>0，b>0，c>0，则ac>0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a<0，b>0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac<0，b<0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a<0，b<0，c>0，则ac<0，由直线可知，ac>0，b>0，故本选项不合题意．
故选：B．
先由二次函数y=ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=acx+b的图象相比较看是否一致．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．

9.【答案】12 
【解析】
【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b，c是解题关键．
直接利用已知比例式设出a=6x，b=5x，c=4x，将a、b、c的值代入a+b−2c=6中，即可求出x，进而得出答案．
【解答】
解：∵a6=b5=c4，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b−2c=6，
∴6x+5x−8x=6，
∴3x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
  
10.【答案】< 
【解析】解：∵点(−4,y1)，(6,y2)在反比例函数y=6x的图象上，
∴y1=−64=−32，y2=66=1，
∴y1 故答案为：<．
利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出y1和y2的值，然后比较它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．

11.【答案】10  8.5 
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是10，共出现2次，因此众数是10，
将这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10，
处在中间位置的两个数是8和9，因此中位数是：8+92=8.5．
故答案为：10，8.5．
根据众数和中位数的定义解答即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

12.【答案】1.5 
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= 52−42=3，
∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
而OB=OC，
∴OD为△OBC的中位线，
∴CD=12AC=12×3=1.5．
故答案为：1.5．
先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．

13.【答案】152 
【解析】解：连接AF，
由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，EF⊥AC，AO=CO，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
设AF=CF=x，
则BF=8−x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，x2=62+(8−x)2，
解得x=254，
∴CF=254，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC= 62+82=10，
∴CO=5，
在Rt△COF中，由勾股定理得，OF= CF2−OC2=154，
∴EF=2OF=152．
故答案为：152．
连接AF，由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，根据矩形的性质以及线段垂直平分线的性质可证明△AOE≌△COF，则OE=OF，设AF=CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求得x的值，由已知条件及勾股定理可求得AC，即可得CO的值，再由勾股定理可求得OF，进而可得答案．
本题考查作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．

14.【答案】解：(1)2−1+38−2cos30°+|− 3|；
=12+2−2× 32+ 3
=12+2− 3+ 3
=212；
(2)解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x>−5，
∴该不等式组的解集为−5 【解析】(1)先计算开立方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；
(2)分别求解两个不等式的解集，再求解此题．
此题考查了实数的混合运算与不等式组的求解能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．

15.【答案】43.2 
【解析】解：(1)班级的总人数为：10÷40%=25(人)，
D等级的人数有：25−4−10−8=3(人)，
则扇形统计图中D等对应的圆心角的度数是360°×325=43.2°，
补图如下：

故答案为：43.2；
(2)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是一男一女的有6种，
则选中的两名同学恰好是一男一女的概率是612=12．
(1)根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出D等级的人数，再用360°乘以D等级所占的百分比，即可求出扇形统计图中D等对应的圆心角的度数；
(2)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和其中选中的两名同学恰好是一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查了统计图以及列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

16.【答案】解：(1)过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，

由题意得：AB=HF=1.7米，CD=GF=0.7米，BD=5米，AH=BF，CG=DF，
设CG=DF=x米，
∴AH=BF=BD+DF=(x+5)米，
在Rt△ECG中，∠ECG=45°，
∴EG=CG⋅tan45°=x(米)，
∴EF=EG+GF=(x+0.7)米，
在Rt△AEH中，∠EAH=30°，
∴EH=AH⋅tan30°= 33(x+5)米，
∴EF=EH+HF= 33(x+5)+1.7=( 33x+5 33+1.7)米，
∴ 33x+5 33+1.7=x+0.7，
解得：x=(4+3 3)米，
∴CG=DF=EG=(4+3 3)米，
∴小敏到旗杆的距离DF为(4+3 3)米；
(2)由(1)得：EF=EG+GF=4+3 3+0.7=(4.7+3 3)米，
∴旗杆EF高度为(4.7+3 3)米． 
【解析】(1)过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：AB=HF=1.7米，CD=GF=0.7米，BD=5米，AH=BF，CG=DF，
设CG=DF=x米，则AH=BF=(x+5)米，然后在Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出EF的长，再在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，从而求出EF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；
(2)利用(1)的结论和线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵MB切⊙O于B，
∴直径QB⊥MB，
∴∠MBQ=90°，
∵BQ是圆的直径，
∴∠BPQ=90°，
∴∠BPM=90°，
∴∠MBQ=∠BPM，
∵∠BMP=∠BMQ，
∴△MBP∽△MQB；
(2)连接OA，
∵C是AB中点，
∴∠BOD=∠AOD，
∵OB=OA，
∴BD⊥OM，
∴∠MDB=90°，
∴∠MDB=∠MBO，
∵∠BMD=∠BMO，
∴△MBD∽△MOB，
∴MD：MB=MB：MO，
∴MB2=MD⋅MO，
由(1)知△MBP∽△MQB，
∴MB：MQ=MP：MB，
∴MB2=MP⋅MQ，
∴MD⋅MO=MP⋅MQ，
∴MQMO=MDMP=32． 
【解析】(1)由切线的性质，圆周角定理得到∠MBQ=∠BPM=90°，又∠BMP=∠BMQ，即可证明问题；
(2)由△MBD∽△MOB，得到MB2=MD⋅MO，由△MBP∽△MQB，得到MB2=MP⋅MQ，因此MD⋅MO=MP⋅MQ，于是得到MQMO=MDMP=32．
本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由△MBP∽△MQB，△MBD∽△MOB，得到MQMO=MDMP．

18.【答案】解：(1)把点B(2,1)代入y=mx得m=2×1=2，
设直线l的解析式是y=kx+b，
把A(1,0)，B(2,1)代入y=kx+b中，
得k+b=02k+b=1，
解得k=1b=−1，
∴直线l的解析式是y=x−1；
(2)∵P点坐标为(p,p−1)，
∴点P在直线l上，
而MN//x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p−1，
∴M(2p−1,p−1)，N(−2p−1,p−1)，
∴MN=4p−1，
∴S△AMN=12⋅4p−1⋅(p−1)=2，
(2)存在．理由如下：
①当p=2时，p−1=1，此时P与B重合，△APM不存在；
②当1 ∵S△AMN=2S△APM，
∴2⋅12(−p2+p+1)=2，
整理得，p2−p+1=0，无解，
当p>2时，如图，
S△APM=12(p−1p−1)(p−1)=12(p2−p−1)．
∵S△AMN=2S△APM，
∴2⋅12(p2−p−1)=2，
整理得，p2−p−3=0，
解得p1=1− 132(不合题意，舍去)，p2=1+ 132．
∴满足条件的p的值为1+ 132． 
【解析】(1)把B(2,1)代入y=mx即可得到m的值；然后利用待定系数法求出直线l的解析式；
(2)由于P点坐标为(p,p−1)得到点P在直线l上，则点M、N的纵坐标都为p−1，得到M(2p−1,p−1)，N(−2p−1,p−1)，可得MN=4p−1，计算出S△AMN=12⋅4p−1⋅(p−1)=2；
(3)利用S△AMN=2S△APM，得到2⋅12(p2−p−2)=2，然后解方程即可．
本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积．

19.【答案】4 
【解析】解：根据题意得x1+x2=−m，x1x2=−3，
∵x1=−1，x1x2=−3，
∴x2=3，
∴−1+3=−m，
∴m=−2，
∴m−2x1x2=−2−2×(−1)×3=4．
故答案为：4．
先根据根与系数的关系得到x1+x2=−m，x1x2=−3，再利用x1=−1可求出x2=3，则可计算出m=−2，然后计算代数式的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．

20.【答案】7 
【解析】解：两边都乘以x−3，得
ax−2=2(x−3)+1，
解得x=−3a−2，
当a=−1时，x=−3−1−2=1；
当a=1时，x=−31−2=3；
当a=3时，x=−33−2=−3；
当a=5时，x=−35−2=−1，
∵当x=3时，x−3=0，
∴x=3不是原方程的解，
∴a=−1、3或5，
∴a≠1，
∴−1+3+5=7，
故答案为：7．
先化分式方程为整式方程并求解，再进行讨论求得所有a的值，最后将所有符合条件a的值相加即可．
此题考查了分式方程求解的能力，关键是能准确运用数形结合思想和数学讨论思想进行求解．

21.【答案】3 10 
【解析】解∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，
∵DF=1，FC=2，
∴AD=DC=DF+FC=3，
∴AF= AD2+DF2= 32+12= 10，
∵AD//BE，
∴△ADF∽△ECF，
∴AF：FE=DF：FC=1：2，
∴FE=2AF=2 10，
∴AE=AF+FE=3 10．
故答案为：3 10．
由勾股定理求出AF的长，由△ADF∽△ECF，得到AF：FE=DF：FC=1：2，求出FE的长，即可求出AE的长．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．

22.【答案】6  7117 
【解析】解：m=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，m′=1000b+100a+10a+b=110a+1001b，
F(m)=m−m′11=1001a+110b−(110a+1001b)11=81a−81b=81(a−b)，
F(m)54=81(a−b)54=9×a−b6，
∵F(m)54是一个完全平方数，
∴a−b6是一个完全平方数，
∵a≠b，且a、b均不为0，
∴a−b=6，
∴a=7，b=1或a=8，b=2或a=9，b=3，
∴m的最小值为7117．
故答案为：7117．
本题通过定义新运算“双胞蛋数”，用a、b来表示m和m′，并代入F(m)=m−m′11中，用a、b表示，然后代入F(m)54中，用a、b表示，根据为完全平方数，且a−b≤8，来得出a−b的值，从而求出m值．
本题主要考查新定义的双胞蛋数，通过给出的关系式，运用整式的运算，得出对应的式子，通过平方数来得到对应的关系，从而判断出最小值．

23.【答案】2 3 
【解析】解：如图，过点A作AD//BC，过点C作CD//AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠BAD=120°，BC=AD，∠DAC=60°，
∴∠DAF=∠CBE，
∵BE=AF，
∴△ADF≌△BCE(SAS)，
∴DF=CE，∠BCE=∠ADF，
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠BCE，
∴∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB)=180°−∠CBE=120°，
如图，作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
连接AO，交⊙O于G，交BC于M，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∴BM=CM=3，
∴OM=CM 3= 3，
∴OC=2 3，
∵OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠BCO=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠OAC=30°，
∵cos30°=ACAO=6AO= 32，
∴AO=4 3，
∴AG的最小值为AO−OC=4 3−2 3=2 3．
故答案为：2 3．
作辅助线，建立全等三角形，证明△ADF≌△BCE和△BAF≌△DAF(SAS)，证明∠BGC=120°，再作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，计算AO和OG的长，计算其差可得结论．
本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的全等的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识，正确作辅助线证明∠BGC=120°是解本题的关键．

24.【答案】解：(1)∵当12≤x≤20时，y与x满足一次函数的关系，
∴设y= kx+b(k≠0)，
将x=15，y=150；x=20，y=120代入得：
15k+b=15020k+b=120，
解得k=−6b=240，
∴y=−6x+240，
∴当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式为y=−6x+240；
(2)根据题意得：w=60(x−10−2)+(x−10)y
=60(x−12)+(x−10)(−6x+240)
=60x−720−6x2+300x−2400
=−6x2+360x−3120
=−6(x−30)2+2280，
∵−6<0，
∴当x=30时，w有最大值，最大值为2280，
∴当该商品的售价x (元/件)为30元时，日销售利润总和最大，最大利润是2280元． 
【解析】(1)设y= kx+b(k≠0)，用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)根据日销售利润总和=线上和线下销售利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出最值．
本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．

25.【答案】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)，
∴a−b+c=016a+4b+c=0c=4，
解得a=−1b=3c=4，
∴二次函数的表达式为：y=−x2+3x+4；
(2)设BC所在直线的表达式为：y=mx+n，
将C(0,4)、B(4,0)代入y=mx+n，
得4m+n=0n=4，
解得m=−1n=4，
∴BC所在直线的表达式为：y=−x+4；
∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE//PF，
只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y=−x2+3x+4=−(x−32)2+254，
∴点D的坐标为：(32,254)，
将x=32代入y=−x+4，即y=−32+4=52，
∴点E的坐标为：(32,52)，
∴DE=254−52=154，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：(t,−t2+3t+4)，F的坐标为：(t,−t+4)，
∴PF=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t，
由DE=PF得：−t2+4t=154，
解得：t1=32(不合题意舍去)，t2=52，
当t=52时，−t2+3t+4=−(52)2+3×52+4=214，
∴点P的坐标为(52,214)；
(3)存在，理由如下：
由(2)得：PF//DE，
∴∠CED=∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴PFCE=CFDE，
∵C(0,4)、E(32,52)，
∴CE= (32)2+(4−52)2=3 22，
由(2)得：DE=154，PF=−t2+4t，F的坐标为：(t,−t+4)，
∴CF= t2+[4−(−t+4)]2= 2t，
∴−t2+4t3 22= 2t154，
∵t≠0，
∴154(−t+4)=3，
解得：t=165，
当t=165时，−t2+3t+4=−(165)2+3×165+4=8425，
∴点P的坐标为：(165,8425). 
【解析】(1)由题意得出方程组，即可求出二次函数的解析式为y=−x2+3x+4；
(2)由待定系数法求出直线BC的解析式，证DE//PF，只要DE=PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=154，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：(t,−t2+3t+4)，F的坐标为：(t,−t+4)，由DE=PF得出方程，解方程进而得出答案；
(3)由平行线的性质得出∠CED=∠CFP，当∠PCF=∠CDE时，△PCF∽△CDE，则PFCE=CFDE，得出方程，解方程即可．
本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：∵边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∵将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，
∴AC=AE，∠CAE=α，
∴∠BAD−∠CAD=∠CAE−∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)证明：延长BD到N，使DN=BC，连接AN，则∠ADB+∠ADN=180°，

∵∠ADB+∠ABC=180°，
∴∠ABC=∠ADN，
由旋转可知AB=AD，
在△ABC和△ADN中，
AB=AD∠ABC=∠ADNBC=DN，
∴△ABC≌△ADN(SAS)，
∴∠ACB=∠N，
∵∠ACB=∠BDG，
∴∠N=∠BDG，
∴AN//GD，
∴DFDN=FMAM，
∵BC=DF，BC=DN，
∴DF=DN，
∴FMAM=1，
∴AM=FM；
(3)解： 3DQ+BP=2CD．
证明：过点C作∠QCK=∠PCQ交AD于点K，过点B作BL//CK交DA的延长线于点L，

∵△ABC是等边三角形，∠BAD=120°，
又△ACD是等边三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠PCQ=∠QCK=∠ABD=30°，
∴∠ACP+∠ACQ=∠KCD+∠ACQ=30°，
∴∠ACP=∠KCD，
又∵AC=CD，∠PAC=∠KDC=60°，
∴△ACP≌△DCK(ASA)，
∴AP=DK，
∵BL//CK，
∴∠L=∠CKD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAL=60°，
∴∠BAL=∠CDK=60°，
∵AB=DC，
∴△ABL≌△DCK(AAS)，
∴∠DCK=∠ABL，AL=DK，
∴AL=AP，
∵∠ABD=∠QCK=30°，
∴∠ABD+∠ABL=∠QCK+∠DCK，
即∠DBL=∠DCQ，
∵∠BDL=∠CDQ=30°，
∴△BDL∽△CDQ，
∴DLDQ=BDCD= 3，
∴DL= 3DQ，
∵DL=AD+AL，
∴DL=CD+DK=CD+AP=CD+AB−BP=2CD−BP，
∴ 3DQ=2CD−BP，
∴ 3DQ+BP=2CD． 
【解析】(1)由旋转的性质证出∠BAC=∠DAE，根据SAS可证明△ABC≌△ADE；
(2)延长BD到N，使DN=BC，连接AN，则∠ADB+∠ADN=180°，证明△ABC≌△ADN(SAS)，由全等三角形的性质得出∠ACB=∠N，证出DFDN=FMAM，DF=DN，则可得出结论；
(3)过点C作∠QCK=∠PCQ交AD于点K，过点B作BL//CK交DA的延长线于点L，证明△ACP≌△DCK(ASA)，由全等三角形的性质得出AP=DK，证明△ABL≌△DCK(AAS)，由全等三角形的性质得出∠DCK=∠ABL，AL=DK，证明△BDL∽△CDQ，由相似三角形的性质得出DLDQ=BDCD= 3，证出DL= 3DQ，则可得出结论．
本题是几何变综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．

27.【答案】A 
【解析】A.(a3)2=a6，正确，符合题意；
B.a2与a3不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意；
C.(a−b)2=a2−2ab+b2，故不正确，不符合题意；
D.x6÷x3=x3，故不正确，不符合题意；
故选：A．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则和完全平方公式逐项分析即可．
本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则和完全平方公式是解答本题的关键．

28.【答案】B 
【解析】解：由题意得：
3+x≠0，
∴x≠−3，
故选：B．
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．

29.【答案】D 
【解析】解：A、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；
B、80°+110°≠180°，故B选项不符合条件；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

30.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题考查勾股定理的逆定理，要求学生熟练掌握这个逆定理．
根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】
解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= 22，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．  
31.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠B=13×180°=60°，
故选C．
根据平行四边形的性质得出AB//CD，推出∠B+∠C=180°，根据∠B：∠C=1：2，求出∠B即可．
本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．

32.【答案】D 
【解析】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．

33.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．
根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=(180°−40°)÷2=70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=∠C=70°．
故选D．  
34.【答案】C 
【解析】解：∵EF//AC，GF//AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B=∠GFC，∠C=∠EFB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EFB，∠GFC=∠C，
∴EB=EF，FG=GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG=AB+AC，
∵AB=AC=8，
∴四边形AEFG的周长是AG+AC=8+8=16，
故选：C．
根据EF//AC，GF//AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B=∠GFC，∠C=∠EFB，再根据AB=AC=8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．

35.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠MAO=∠NCO，
在△AOM和△CON中，
∠MAO=∠NCOOA=OC∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON(ASA)，
∴S△AOM=S△CON=3，
∴S△AOD=S△AOM+S△DOM=3+5=8，
∵OB=OD，
∴S△AOB=S△AOD=8，
同理可求S△BON=S△DOM=5，
∴S四边形ABNM=3+8+5=16．
故选：B．
先根据ASA证明△AOM≌△CON，得S△AOM=S△CON=3，则S△OD=S△AOM+S△DOM=8，再由OB=OD，得S△AOB=S△AOD=8，进而可求四边形ABNM的面积．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

36.【答案】A 
【解析】解：由方格的特点可知，选项A阴影部分的面积为6，选项B、C、D阴影部分的面积均为5，
如果能拼成正方形，那么选项A拼接成的正方形的边长为 6，选项B、C、D拼接成的正方形的边长为 5，
观察图形可知，选项B、C、D阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为 5的正方形，

而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项A阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为 6的正方形．
故选：A．
先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．
本题考查了学生的动手操作能力、正方形的面积和正方形的有关画图、勾股定理，以拼接前后图形的面积不变为着手点是解题关键．

37.【答案】8.23×10−5 
【解析】解：0.0000823=8.23×10−5．
故答案为：8.23×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

38.【答案】2 3 
【解析】解：原式= 3+3× 33
= 3+ 3
=2 3．
故答案为：2 3．
先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．

39.【答案】x(x−3)2 
【解析】解：原式=x(x2−6x+9)=x(x−3)2，
故答案为：x(x−3)2
原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

40.【答案】20 
【解析】解：∵CD=AD，CE=EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=10m，
∴AB=20m，
故答案为：20．
利用三角形中位线定理解决问题即可．
本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，属于常考题型．

41.【答案】70 
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=90°−20°=70°，
故答案为：70．
在Rt△ABC中，根据CD是斜边AB上的中线，得CD=AD，可求出∠ACD=20°，再根据角的和差即可解决问题．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键．

42.【答案】2.5cm 
【解析】解：在Rt△AOB中，
∵AO=2.4cm，底面半径OB=0.7cm，
∴AB= AO2+OB2= 2.42+0.72=2.5cm，
故答案为：2.5cm．
根据母线、底面半径和高构成直角三角形利用勾股定理求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解母线、底面半径和高构成直角三角形．

43.【答案】2 3h3 
【解析】解：∵AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
∴BD=12AB，
∴AD= AB2−BD2= 32AB，
∵AD=h，
∴AB=2 3h3，
故答案为：2 3h3．
根据题意可得△ABC为等边三角形，由AD=h，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
本题考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

44.【答案】5 
【解析】解：∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，
∴AB=AB′=8cm，BC=B′C′=10cm，CE=C′E，
∴B′D= AD2−AB′2= 100−64=6(cm)，
∴C′D=B′C′−B′D=4(cm)，
∵DE2=C′D2+C′E2，
∴DE2=16+(8−DE)2，
∴DE=5cm，
故答案为5．
由折叠的性质可得AB=AB′=8cm，BC=B′C′=10cm，CE=C′E，由勾股定理可求B′D的长，由勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．

45.【答案】1129 
【解析】解：设AC=x，则BD=36−x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=12AC=12x,OB=12BD=36−x2，
∵AC⊥AB，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AO2+AB2=OB2，
∴14x2+102=(36−x)24，
∴x=1129，
∴线段AC的长为1129，
故答案为：1129．
设AC=x，则BD=36−x，由平行四边形的性质得到OA=12x,OB=36−x2，在Rt△ABO中，由勾股定理建立方程14x2+102=(36−x)42，解方程即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．

46.【答案】39°或26° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=102°，AD=BC，∠ABC+∠DAC=180°，
∴∠DAC=180°−102°=78°，
当AE=BE时，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB，
∵∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠ACB=2∠CAB，
∴∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°−∠ABC=180°−102°，
∴∠BAC=26°，

当AE=AB时，
∵AD=AE，
∴AD=AE=AB，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AD平分∠BAD∠BAC=12∠BAD=12×78°=39°，

综上所述∠BAC的度数为26°或39°．
故答案为：39°或26°．
根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=102°，AD=BC，∠ABC+∠DAC=180°，根据等腰三角的性质，分当AE=BE和AE=AB两种情况进行讨论即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的分类讨论是解题的关键．

47.【答案】解：原式=a+1a÷(a+1)(a−1)a
=a+1a⋅a(a+1)(a−1)
=1a−1，
当a= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22． 
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

48.【答案】解：(1)如图所示．△ABC即为所求作的三角形；
(2)如图所示；

(3)由勾股定理可得：HC= 52+52=5 2． 
【解析】(1)取格点C，满足AB=BC= 13，AC= 26，从而可得答案；
(2)取格点G，H，满足HE=GF=1，HE//GF，此时平行四边形的面积为4，从而可得答案；
(3)直接利用勾股定理进行计算即可．
本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，平行四边形的判定，熟练的利用勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质进行作图是解本题的关键．

49.【答案】解：(1)∵∠C=90°，∠A=30°，设BC=x，则AB=2BC=2x，
∴AC= AB2−BC2= 3x，
∵AC=4，
∴ 3x=4，
∴x=4 33，
∴BC=4 33．
(2)作CD⊥AB于D，

∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠1=90°−∠A=90°−30°=60°，∠2=∠BCA−∠1=105°−∠1=105°−60°=45°，
∴∠B=90°−∠2=90°−45°=45°，
在Rt△CDA中，
∵∠A=30°，CA=4，
∴CD=12CA=2，
∵∠B=∠2，
∴BD=CD=2，
∴BC= BD2+CD2= 22+22=2 2． 
【解析】(1)由∠C=90°，∠A=30°，可设BC=x，则AB=2BC=2x，由勾股定理得到AC= 3x，由AC=4，求得x=4 33，即可得到BC的长度；
(2)作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，得到∠1=60°，∠2=45°，即可得到∠B=45°，在Rt△CDA中，由∠A=30°，CA=4得到CD=12CA=2，由∠B=∠2，得到BD=CD=2，勾股定理即可得到BC的长度．
此题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形性质、等角对等边等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．

50.【答案】(1)证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠1=∠2．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠CFD=∠AEB．
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∴∠GFE=∠CFD=90°．
∵AG⊥CF，
∴∠G=90°．
∵∠AEF=∠G=∠EFG=90°
∴四边形AEFG是矩形．


(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//GF，
∴AE//CF．
又∵△ABE≌△CDF，
∴AE=FC，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∴∠AFG=∠FAE=∠FEC=∠FCE=∠AFE=∠GAF，
∴△EAF，△FEC，△GAF是等腰三角形，
∴∠DFC=90°，AE=GF=FC，
∴DF垂直平分CG，
∴DG=DC，
∴△DGC是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有：△AGF，△AEF，△EFC，△DGC． 
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，进而得出△ABE≌△CDF，最后利用∠AEF=∠G=∠EFG=90°得出结论；
(2)先利用四边形ABCD是矩形，得出AE∖user2//CF，再得出四边形AFCE是平行四边形，最后利用等腰三角形的判断得出结果．
本题考查了矩形和平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质及判定是解题的关键．

51.【答案】解：(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，
根据题意，得84x=360x+23，
解得x=7，
经检验可知x=7是所列分式方程的解，且满足实际意义，
∴x+23=30，
答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，
根据题意，得7×3m+30m=510，
解得m=10，
∴3m=30，
答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个． 
【解析】(1)设绳子的单价为x元，则实心球的单价为(x+23)元，根据数量=总价÷单价且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同，列出分式方程并解答即可；
(2)设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据费用等于单价×数量列出方程解答即可．
本题考查了分式方程和一元一次方程．，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程．

52.【答案】(1)证明：设∠BAC=2α，∠CAD=2β，

则∠BAD=2a+2β，
∴α+β=12∠BAD，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB=180°−∠BAC2=90°−α，∠D=∠ACD=180°−∠DAC2=90°−β，
∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=180°−(a+β)=180°−12∠BAD，
∴12∠BAD+∠BCD=180°；
(2)证明：由(1)得∠BCD=180°−12∠BAD=180°−12×90°=135°，
∴∠ECD=180°−∠BCD=45°，
∵AE平分∠CAD，AC=AD，
∴AE垂直平分CD，
∴CE=DE，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
∴∠CED=180°−∠ECD−∠EDC=90°，
∴∠ABC+∠ADE=360°−∠BAD−∠BED=180°．
过点A作AQ⊥AE交EB的延长线于点Q，

∵∠ABQ+∠ABE=180°，
∴∠ABQ=∠ADE，
∵∠QAE=∠BAD=90°，
∴∠QAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE，
∴∠QAB=∠DAE．
∵AB=AD，
∴△AQB≌△AED(SAS)，
∴CE=DE=BQ，AQ=AE．
∵在Rt△AQE中，AQ2+AE2=QE2，
∴QE= 2AE．
∵QE=QB+BC+CE=DE+BC+DE=BC+2DE，
∴BC+2DE= 2AE；
(3)解：由(2)知∠CEA=∠DEA=12∠DEC=45°．
∵AF⊥BC，
∴∠AFE=90°，
∴∠FAE=90°−∠AEF=45°=∠AEF，
∴AF=EF．
作DN⊥AF于点N，

∵∠DNF=∠NFE=∠FED=90°，
∴四边形NFED是矩形，
∴DN=EF=AF
∵S△AFD=12DN×AF=10，
∴AF2=20，
∴EF=AF=2 5，
∴AE= AF2+EF2=2 10，
∵∠DEH=∠HDE=45°，
设DH=HE=x，则DE= DH2+HE2= 2x，
∴AB=AD= 5DE= 10x．
在Rt△AHD中，
∴AH= AD2−DH2=3x，
∴AE=AH+HE=4x，
∴4x=2 10，
∴x= 102，
∴DE= 2x= 5．
∴在Rt△FDE中，DF= DE2+EF2=5． 
【解析】(1)设∠BAC=2α，∠CAD=2β，可得α+β=12∠BAD，由等腰三角形的性质表示出∠ACB、∠ACD，然后根据∠BCD=∠BCA+∠ACD整理即可；
(2)由(1)的结论可求∠BCD=135°，进而可证AE垂直平分CD，求出∠ABC+∠ADE=180°，过点A作AQ⊥AE交EB的延长线于点Q，根据SAS证明△AQB≌△AED，得出CE=DE=BQ，AQ=AE，由勾股定理可求QE= 2AE，进而可证结论成立；
(3)由(2)知∠CEA=∠DEA=45°，结合AF⊥BC可证AF=EF，作DN⊥AF，证明四边形NFED是矩形，可得DN=EF=AF，由S△AFD=12DN×AF=10，可求EF=AF=2 5，设DH=HE=x，可得AB=AD= 10x，求出AH，根据AE=AH+HE=4x求出x，然后在Rt△FDE中可求出DF的长．
本题考查了四边形的综合应用，掌握等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键．

53.【答案】解：(1)∵D(−2,0)，
∴DO=2，
∵∠AOD=90°，AD=2 10，
∴AO= AD2−DO2=6，
∴S矩形AOCB=AO×CO=60，
∴OC=10，
∴C(10,0)，A(0,6)，
∵矩形ABCO，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∴BA⊥y轴，BC⊥y轴，
∴B(10,6)．
(2)∵CF=2BE，
∴设BE=t，则CF=2t，
又∵AB=OC=10，
∴AE=AB−AE=10−t，OF=OC−CF=10−2t，
∴DF=DO+OF=12−2t，
∵平行四边形ADFE，
∴AE=DF，
∴10−t=12−2t，
∴t=2，
∴OF=10−2t=6，
∴F(6,0)．
(3)延长AM交BC于G，
∵QA//GC，MQ=MC，
∴∠AQM=∠GCM，
又∵∠QMA=∠GMC，
∴△QAM≌△CGM(ASA)，
∴AM=MG，
连接BM，
∵∠ABG=90°，
∴MB=12AG=AM，
∴∠ABM=∠MAB=∠AEN，
取FC中点H，连接BH，
∴EB//FH且EB=FH，
∴平行四边形EBHF，
∴EF=BH，EF//BH，
∴∠AEF=∠ABH．
∴∠AEF−∠AEN=∠ABH−∠ABM，
∴∠NEF=∠MBH．
∵M是QC中点，H是FC的中点，
∴MH//QF，MH=12QF，
∴∠NFO=∠MHO，
∵EF//BH，
∴∠EFD=∠BHD，
∴∠EFD−∠NFO=∠BHD−∠MHO，
∴∠NFE=∠MHB，
又∠NEF=∠MBH，EF=BH，
∴△EFN≌△BHM(ASA)，
∴NF=MH=12QF，
∴MN是△QFC中位线，
∴MP//x轴，
∴∠QPO=∠AOC=90°，
∴NP⊥AO，
连接NO，NO为Rt△QFO斜边中线，
∴NO=12QF=QN，
∴PO=QP
又∵N是QF中点，
∴PN=12OF=3，
在x轴负半轴上取DT=DO，连接QT，
∴QT=2PD=QE，
∴QE2=QT2．
在Rt△QAE和Rt△QTO中，QT2=QO2+TO2，QE2=AE2+AQ2，
∴QO2+TO2=AE2+AQ2
设AQ=m，则QO=6+m，TO=4，AE=8，
∴(m+6)2+42=82+m2，
∴m=1，
∴QO=m+6=7，
∴PO=12QO=72，
∴N(3,72)．
 
【解析】(1)由勾股定理求出AO=6，由矩形面积公式求出OC=10，进而可求出点B坐标；
(2)设BE=t，则CF=2t，表示出AE=10−t，DF=12−2t，根据AE=DF列方程求出t的值即可求解；
(3)延长AM交BC于G，证明△QAM≌△CGM得AM=MG，连接BM，可证∠ABM=∠MAB=∠AEN.取FC中点H，连接BH，可证∠NEF=∠MBH，由三角形中位线的性质可证MH//QF，MH=12QF，进而证明∠NFE=∠MHB，连接NO，NO为Rt△QFO斜边中线，可证PO=QP，在x轴负半轴上取DT=DO，连接QT，得出QE2=QT2，然后利用勾股定理求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线等知识，难度较大，属中考压轴题．