2023年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安市肥城市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，，中，负数共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是米．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  对称轴为直线的抛物线为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，为任意实数，其中结论正确的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  如图，在中，，通过尺规作图得到的直线分别交，于，，连接若，则______．
 

15.  将从开始的连续自然数按以下规律排列：

若有序数对表示第行，从左到右第个数，如表示自然数，这个自然数可以用有序数对表示，则表示的有序数对是______ ．

16.  如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，当点的对应点恰好落在边上时，图中阴影部分的面积是______．

17.  如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接若的面积是，则的值是______．

18.  如图，，，，是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则点的横坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．
计算：．

20.  本小题分
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次调查的样本容量是______，圆心角______度；
补全条形统计图；
已知红星中学共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
若在这次竞赛中有，，，四人成绩均为满分，现从中抽取人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到，两人同时参赛的概率．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
为轴上的一动点，当的面积为时，求的值．
 

22.  本小题分
为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低，水果店用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为元千克和元千克．
求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
若水果店购进这两种水果共千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
______ 直接写出结果不写解答过程；
求证：四边形是正方形．
若，求的长．
如图，在中，，高，，则的长度是______ 直接写出结果不写解答过程．
 

24.  本小题分
如图，在中，，，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
求证：；
当点在线段上点不与点，重合时，求的值；
过点作交于点，若，请直接写出的值．
 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，，，直线是抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一动点，连接，，，．
求抛物线的函数表达式；
若点在轴的下方，当的面积是时，求的面积；
在的条件下，点是轴上一点，点是抛物线上一动点，是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在，，，，，中，负数有：，共计个．
故选：．
利用有理数的乘方、相反数定义、绝对值的定义计算，再判断负数．
本题考查了正数、负数，有理数的乘方，相反数，绝对值，解题的关键是掌握正数、负数，有理数的乘方，相反数定义，绝对值定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，原计算正确，故本选项符合题意；
B.，原计算错误，故本选项不符合题意；
C.，原计算错误，故本选项不符合题意；
D.，原计算错误，故本选项不符合题意．
故选：．
根据幂的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，以及完全平方公式逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方以及完全平方公式，熟记相关公式和运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方的两个实数根，
，
是一元二次方程的实数根，
，
，
故选：．
由根与系数的关系，根据一元二次方程根的定义得，，整体代入求解即可．
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

6.【答案】 

【解析】解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
由三角形外角的性质即可求得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，即，，，
，
的最大值是，
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出的范围即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：

连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得．
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理求得，根据含度角的直角三角形的性质得到，在中，根据求出的半径即可得出答案．
本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求得是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可知：，，
，
，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
当时，，故错误；
当时，取到值最小，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故正确，
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
 

12.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图：

动点在边长为的正方形内，且，
点在以为直径的圆上，，
正方形的边长为，
，，
是的中点，
，
点与点关于对称，
，，
，
在中，，
线段的最小值为：




．
故选：．
作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
本题考查了轴对称最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式的综合运用，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，，
而根据作图可知为的垂直平分线，
，
在中，，
，
为直角三角形斜边上的中线，
．
故答案为：．
如图，连接，根据作图可知为的垂直平分线，从而得到，然后利用勾股定理求出，，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，同时也利用勾股定理进行计算．
 

15.【答案】 

【解析】解：第行个，最右边是，
第行有个，最右边是，，
第行有个，最右边是，，
，
第行有个，最右边是；
，
在第行，左数第个，
故答案为：．
根据每行的个数及最右边数的特点求解．
本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
由旋转的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求的长，分别求出扇形和四边形的面积，即可求解．
本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，矩形的性质，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，由勾股定理得，，
的面积是，
点到的距离为，
在中，点到的距离为，
点到的距离为，
，
∽，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先由勾股定理求出的长，由面积法得点到的距离为，点到的距离为，从而得出，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，从而解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图：

直线，令，则，
令，则，
解得，
，，
，，
，
，，，是等边三角形，
、，，

C、C、是含角的直角三角形，
，，，
，，
，，

，
点的横坐标是，
故答案为：．
求出直线与轴、轴的交点坐标，由题意可得，，则C、C、是含角的直角三角形，可得出，，，可得，，由此得出规律，即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式；
原式

． 

【解析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可；
先算负整数指数幂，零指数幂，把特殊角三角函数值代入，化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查分式化简求值和实数混合运算，解题的关键是掌握分式性质和实数相关运算的法则．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是：，
则圆心角，
故答案为：，；
成绩优秀的人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为人；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，
恰好抽到，两人同时参赛的概率为．
由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到，两人同时参赛的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

在中，当时，，
，
为轴上的动点，
，
，，
，
，
或． 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
根据，构建方程求解即可．
 

22.【答案】解：设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则元，
答：甲种水果的进价为元，则乙种水果的进价为元；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，
由题意得：，
甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，
，
解得：，
，则随的增大而减小，
当时，最大，最大值，
则，
答：购进甲种水果千克，乙种水果千克才能获得最大利润，最大利润为元． 

【解析】设乙种水果的进价为元，则甲种水果的进价为元，由题意：用元购进甲种水果比用元购进乙种水果的重量多千克，列出分式方程，解方程即可；
设购进甲种水果千克，则乙种水果千克，利润为元，由题意得，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的倍，得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】； 
证明：作于，如图所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
设，
，
，
由得四边形是正方形，
，
在与中，
，
≌，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为；
． 

【解析】解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案；
解：如图所示：

把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
故答案为：．
根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形；
设，根据已知条件得到，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质得到，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
 

24.【答案】证明：如图，

作于，
，
，，
，
，
；
解：，
，
由得，
，
同理可得，
，，
，，
，
，
∽，
；
解：如图，

当点在线段上时，
作，交的延长线于，作于，
设，则，
由得，，
在中，，，
，，
在中，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，

当点在的延长线上时，
设，则，
由得，
，
作，交的延长线于，作于，
同理可得，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：或． 

【解析】作于，可得，，进而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
当点在线段上时，作，交的延长线于，作于，设，则，解直角三角形，求得的长，根据∽求得，进而求得，进一步得出结果；当点在的延长线上时，设，则，同样方法求得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力．
 

25.【答案】解：，，
，，
把，代入抛物线中得：，
解得，
抛物线的解析式为：；
如图，过作轴于，交于，

当时，，
，
设的解析式为：，
则，解得：，
的解析式为：，
设，则，
，
的面积是，
，
，
解得：或，
由易得抛物线的对称轴为，
点在直线右侧的抛物线上，
，
的面积；
存在．
分两种情况：
如图，在轴的上方时，四边形是平行四边形，

，，且在轴上，
的纵坐标为，
当时，即，
解得：或，
或；
如图，点在轴的下方时，四边形是平行四边形，此时与重合，

；
综上，点的坐标为：或或 

【解析】根据，确定点和的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；
如图，过作轴于，交于，利用待定系数法求直线的解析式，设，则，表示的长，根据的面积是，列方程可得的值，因为在对称轴的右侧，所以不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；
分两种情况：在轴的上方和下方，根据确定的坐标，并正确画图．
此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．