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2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷
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这是一份2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷
一、单选题（共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（4分）“爱我中华”，如图所示，用KT板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播放篮球比赛
B．机选一注彩票，中百万大奖
C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球
D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面
4．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？“大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？“设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（ ）
A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等
B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等
C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等
D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等
6．（4分）在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走a个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
7．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（4分）小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
10
13
13
13
12
对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12 B．众数是13
C．中位数是12.5 D．方差是
9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
10．（4分）矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，则OE的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
二、填空题（共24分）
11．（4分）计算：（）2＝ ．
12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，则a＝ ．
13．（4分）北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为9块，那么中国队获得奖牌总数是 块．
14．（4分）五巧板是七巧板的变形，也是由一个正方形分割而成的，图中与∠α互余的角有 个．
15．（4分）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D，若点D的横坐标为1，BE＝3DE．则k的值为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解不等式：．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于点D，且DE交AB于点E；并求出的值．（要求：尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
20．（8分）我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
22．（10分）为了了解中学生对父母的关心程度，某校九年级兴趣小组利用课外活动时间随机调查了某市若干名学生对父母关心程度的情况（A．给父母送自制的生日礼物；B．陪父母聊天；C．主动帮父母做家务；D．知道母亲或父亲某个人的生日；E．知道母亲和父亲的生日），并将调查结果绘制成条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）（不完整）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生有 人；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有多少人？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
24．（12分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，△COD为等边三角形，求证：△AOB与△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合）连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP与△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．
25．（14分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、单选题（共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解答】解：﹣3的相反数就是3．
故选：A．
2．（4分）“爱我中华”，如图所示，用KT板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
3．（4分）下列是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播放篮球比赛
B．机选一注彩票，中百万大奖
C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球
D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面
【解答】解：A、打开电视机，它正在播放篮球比赛，是随机事件，故A不符合题意；
B、机选一注彩票，中百万大奖，是随机事件，故B不符合题意；
C、从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？“大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？“设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有：．
故选：B．
5．（4分）在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（ ）
A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等
B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等
C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等
D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等
【解答】解：由分析可得在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，
它们共同具有的特征是图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等．
故选：D．
6．（4分）在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走a个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
【解答】解：由已知得到：OA＝2，∠COA＝60°，
过A作AB⊥x轴于B，
∴∠BOA＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝1，
由勾股定理得：OB＝，
∴A的坐标是（﹣，﹣1）．
故选：C．
7．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝2，
解得：BC＝，
故选：C．
8．（4分）小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
10
13
13
13
12
对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12 B．众数是13
C．中位数是12.5 D．方差是
【解答】解：将这组数据重新排列为10、11、12、12、13、13、13，
∴这组数据的平均数为×（10+11+12+12+13+13+13）＝12，众数为13，中位数为12，
方差为×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+2×（12﹣12）2+3×（13﹣12）2]＝，
故选：C．
9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
【解答】解：方法1：利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的，
所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10：16＝5：8；
方法2：＝，（）2：42＝10：16＝5：8．
故选：A．
10．（4分）矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，则OE的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
【解答】解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
∴BC＝AB＝4，
过点O作OF⊥BC于F，
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴OF＝AB＝×4＝2，
BF＝BC＝×4＝2，
在Rt△OEF中，OE＝＝＝＝＝2﹣2．
故选：A．
二、填空题（共24分）
11．（4分）计算：（）2＝ 10 ．
【解答】解：（）2＝10．
故答案为：10．
12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，则a＝ ．
【解答】解：根据题意，得
2（a﹣1）＝1，
解得，a＝．
故答案是：．
13．（4分）北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为9块，那么中国队获得奖牌总数是 15 块．
【解答】解：由图知，金牌对应百分比为1﹣（26.7%+13.3%）＝60%，
所以中国队获得奖牌总数是9÷60%＝15（块），
故答案为：15．
14．（4分）五巧板是七巧板的变形，也是由一个正方形分割而成的，图中与∠α互余的角有 4 个．
【解答】解；如图所示，∠α与∠1、∠2、∠3、∠4均为余角．
故答案为：4．
15．（4分）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 4 ．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2＝，
解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D，若点D的横坐标为1，BE＝3DE．则k的值为 ．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，
∵AD⊥y轴，四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，DC＝BC，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE，BF＝DE＝1，
∵BE＝3DE，
∴DF＝BE＝3，
设CD＝CB＝a，
∴CF＝a﹣1，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴a2＝32+（a﹣1）2，
∴a＝5，
设点C（5，m），点D（1，m+3），
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×（m+3），
∴m＝，
∴点C（5，），
∴k＝5×＝，
故答案．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解不等式：．
【解答】解：，
去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3，
去括号得：9+3x﹣6＜4x+3，
移项合并得：﹣x＜0，
系数化为1得：x＞0．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
【解答】解：方法一、把2+代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1；
所以原方程是x2﹣4x+1＝0，
解得方程的解是x＝2±；
∴另一解是2﹣．
方法二、设另一个根为x，
∴2++x＝4，（2+）x＝c，
∴x＝2﹣，c＝1．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于点D，且DE交AB于点E；并求出的值．（要求：尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：AC的垂线如图所示．
∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵CD＝2AD，
∴AC＝3AD，即＝，
∴＝．
20．（8分）我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 7 元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按 5 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式．
【解答】解：（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）；
若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），
∴停车场按5小时计时收费的．
故答案为：7；5；
（2）当停车计时x（单位：小时）取整数且x≥1时，此时需缴停车费为y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．
答：停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式为y＝2x+1．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
22．（10分）为了了解中学生对父母的关心程度，某校九年级兴趣小组利用课外活动时间随机调查了某市若干名学生对父母关心程度的情况（A．给父母送自制的生日礼物；B．陪父母聊天；C．主动帮父母做家务；D．知道母亲或父亲某个人的生日；E．知道母亲和父亲的生日），并将调查结果绘制成条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）（不完整）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生有 2000 人；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有多少人？
【解答】解：（1）此次调查的学生有：500÷25%＝2000（人）；
故答案为：2000；
（2）C类人数有：2000﹣100﹣300﹣500﹣300＝800（人），补全统计图如下：
（3）90000×＝36000（人），
答：估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有36000人．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，
∴点C在∠BAF的平分线上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF经过⊙O的半径OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，＝，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝×10＝5，
∴BE＝BC＝×5＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2×＝5，
∴CD的长是5．
24．（12分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，△COD为等边三角形，求证：△AOB与△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合）连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP与△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．
【解答】（1）证明：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠OCD＝60°，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
∵AB⊥BD，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OCD＝2∠BAO，
∴△AOB与△COD为倍优三角形；
（2）由题意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．
①若∠BCO＝2∠PAO，如图③﹣1，过点P作PH⊥AC于H，
则∠DAO＝2∠PAO，
∴AP平分∠DAC，
又PH⊥AC，∠D＝90°，
∴PD＝PH，
设PD＝PH＝m，
则PC＝2﹣m．
则PC＝PH，
∴2﹣m＝m，
∴m＝2﹣2，
∴tan∠DAP＝＝﹣1；
②若∠APO＝2∠CBO，如图③﹣2，过点P作PI∥BC交AB于I，
则∠BPI＝∠CBO，
∵∠APO＝2∠CBO，
∴∠APO＝2∠BPI，
则∠DAP＝∠API＝∠BPI＝∠CBP，
故DP＝CP＝1，
∴tan∠DAP＝＝．
综上，∠DAP的正切值为﹣1或；
25．（14分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），
∴B（5，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
（3）∵∠BOC＝90°，
∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，
由题意得：OB＝5，OC＝5，
由勾股定理得；BC＝＝5，
S＝π•＝π，
答：过O，B，C三点的圆的面积为π．
2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷
一、单选题（共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
2．（4分）“爱我中华”，如图所示，用KT板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）下列是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播放篮球比赛
B．机选一注彩票，中百万大奖
C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球
D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面
4．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？“大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？“设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（ ）
A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等
B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等
C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等
D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等
6．（4分）在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走a个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
7．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
8．（4分）小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
10
13
13
13
12
对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12 B．众数是13
C．中位数是12.5 D．方差是
9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
10．（4分）矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，则OE的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
二、填空题（共24分）
11．（4分）计算：（）2＝ ．
12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，则a＝ ．
13．（4分）北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为9块，那么中国队获得奖牌总数是 块．
14．（4分）五巧板是七巧板的变形，也是由一个正方形分割而成的，图中与∠α互余的角有 个．
15．（4分）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D，若点D的横坐标为1，BE＝3DE．则k的值为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解不等式：．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于点D，且DE交AB于点E；并求出的值．（要求：尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
20．（8分）我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
22．（10分）为了了解中学生对父母的关心程度，某校九年级兴趣小组利用课外活动时间随机调查了某市若干名学生对父母关心程度的情况（A．给父母送自制的生日礼物；B．陪父母聊天；C．主动帮父母做家务；D．知道母亲或父亲某个人的生日；E．知道母亲和父亲的生日），并将调查结果绘制成条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）（不完整）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生有 人；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有多少人？
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
24．（12分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，△COD为等边三角形，求证：△AOB与△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合）连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP与△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．
25．（14分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
2023年福建省龙岩市漳平市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、单选题（共40分）
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
【解答】解：﹣3的相反数就是3．
故选：A．
2．（4分）“爱我中华”，如图所示，用KT板制作的“中”字的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故选：C．
3．（4分）下列是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，它正在播放篮球比赛
B．机选一注彩票，中百万大奖
C．从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球
D．抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面
【解答】解：A、打开电视机，它正在播放篮球比赛，是随机事件，故A不符合题意；
B、机选一注彩票，中百万大奖，是随机事件，故B不符合题意；
C、从一个全部装有黑球的不透明袋子中摸出一个球恰好是黑球，是必然事件，故C符合题意；
D、抛掷一枚普通硬币10次，有9次正面朝上，第10次是正面，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？“大致意思是：“用根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？“设绳子长为x尺，木条长为y尺，则根据题意所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有：．
故选：B．
5．（4分）在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（ ）
A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等
B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等
C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等
D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等
【解答】解：由分析可得在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，
它们共同具有的特征是图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等．
故选：D．
6．（4分）在直角坐标平面内的机器人接受指令“[a，A]”（a≥0，0°＜A＜180°）后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走a个单位长度．若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°]后位置的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（，1）
【解答】解：由已知得到：OA＝2，∠COA＝60°，
过A作AB⊥x轴于B，
∴∠BOA＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝1，
由勾股定理得：OB＝，
∴A的坐标是（﹣，﹣1）．
故选：C．
7．（4分）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝2，
解得：BC＝，
故选：C．
8．（4分）小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．
星期
日
一
二
三
四
五
六
个数
11
12
10
13
13
13
12
对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（ ）
A．平均数是12 B．众数是13
C．中位数是12.5 D．方差是
【解答】解：将这组数据重新排列为10、11、12、12、13、13、13，
∴这组数据的平均数为×（10+11+12+12+13+13+13）＝12，众数为13，中位数为12，
方差为×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+2×（12﹣12）2+3×（13﹣12）2]＝，
故选：C．
9．（4分）如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A．5：8 B．3：4 C．9：16 D．1：2
【解答】解：方法1：利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的，
所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10：16＝5：8；
方法2：＝，（）2：42＝10：16＝5：8．
故选：A．
10．（4分）矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若AB＝4，∠CAE＝15°，则OE的长为（ ）
A．2﹣2 B．4﹣4 C．2﹣2 D．4﹣4
【解答】解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝4，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，
∴BC＝AB＝4，
过点O作OF⊥BC于F，
∵O是矩形ABCD的对角线的交点，
∴OF＝AB＝×4＝2，
BF＝BC＝×4＝2，
在Rt△OEF中，OE＝＝＝＝＝2﹣2．
故选：A．
二、填空题（共24分）
11．（4分）计算：（）2＝ 10 ．
【解答】解：（）2＝10．
故答案为：10．
12．（4分）若x＝1是方程2（a﹣x）＝x的解，则a＝ ．
【解答】解：根据题意，得
2（a﹣1）＝1，
解得，a＝．
故答案是：．
13．（4分）北京冬奥会上中国队获得奖牌情况如图所示，其中金牌为9块，那么中国队获得奖牌总数是 15 块．
【解答】解：由图知，金牌对应百分比为1﹣（26.7%+13.3%）＝60%，
所以中国队获得奖牌总数是9÷60%＝15（块），
故答案为：15．
14．（4分）五巧板是七巧板的变形，也是由一个正方形分割而成的，图中与∠α互余的角有 4 个．
【解答】解；如图所示，∠α与∠1、∠2、∠3、∠4均为余角．
故答案为：4．
15．（4分）若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 4 ．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2＝，
解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
16．（4分）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D，若点D的横坐标为1，BE＝3DE．则k的值为 ．
【解答】解：过点D作DF⊥BC于F，
∵AD⊥y轴，四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，DC＝BC，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE，BF＝DE＝1，
∵BE＝3DE，
∴DF＝BE＝3，
设CD＝CB＝a，
∴CF＝a﹣1，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴a2＝32+（a﹣1）2，
∴a＝5，
设点C（5，m），点D（1，m+3），
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×（m+3），
∴m＝，
∴点C（5，），
∴k＝5×＝，
故答案．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解不等式：．
【解答】解：，
去分母得：3（3+x）﹣6＜4x+3，
去括号得：9+3x﹣6＜4x+3，
移项合并得：﹣x＜0，
系数化为1得：x＞0．
18．（8分）已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根及c的值．
【解答】解：方法一、把2+代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2+）2﹣4（2+）+c＝0，
解得c＝1；
所以原方程是x2﹣4x+1＝0，
解得方程的解是x＝2±；
∴另一解是2﹣．
方法二、设另一个根为x，
∴2++x＝4，（2+）x＝c，
∴x＝2﹣，c＝1．
19．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且CD＝2AD．求作DE⊥AC于点D，且DE交AB于点E；并求出的值．（要求：尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：AC的垂线如图所示．
∵∠ADE＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∵CD＝2AD，
∴AC＝3AD，即＝，
∴＝．
20．（8分）我市通过“互联网+”“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是停车不超过30分钟，不收费；超过30分钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 7 元；若李先生也在该停车场停车，并支付了11元停车费，则该停车场是按 5 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式．
【解答】解：（1）若张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2＝7（元）；
若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），
∴停车场按5小时计时收费的．
故答案为：7；5；
（2）当停车计时x（单位：小时）取整数且x≥1时，此时需缴停车费为y＝3+2（x﹣1）＝2x+1．
答：停车场停车费y（元）关于停车计时x（小时）的函数解析式为y＝2x+1．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
22．（10分）为了了解中学生对父母的关心程度，某校九年级兴趣小组利用课外活动时间随机调查了某市若干名学生对父母关心程度的情况（A．给父母送自制的生日礼物；B．陪父母聊天；C．主动帮父母做家务；D．知道母亲或父亲某个人的生日；E．知道母亲和父亲的生日），并将调查结果绘制成条形统计图（如图1）和扇形统计图（如图2）（不完整）请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的学生有 2000 人；
（2）将图1补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有多少人？
【解答】解：（1）此次调查的学生有：500÷25%＝2000（人）；
故答案为：2000；
（2）C类人数有：2000﹣100﹣300﹣500﹣300＝800（人），补全统计图如下：
（3）90000×＝36000（人），
答：估计该市90000名中学生中，主动帮父母做家务的有36000人．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，则OC＝OA，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE，
∴点C在∠BAF的平分线上，
∴AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF，
∴∠OCA＝∠CAF，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∵CF经过⊙O的半径OC的外端，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE＝DE，＝，∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠D＝30°，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝×10＝5，
∴BE＝BC＝×5＝，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝2×＝5，
∴CD的长是5．
24．（12分）如图①，线段AB，CD交于点O，若∠A与∠B，∠C与∠D中有一组内错角成两倍关系，则称△AOC与△BOD为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
（1）如图②，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥BD，△COD为等边三角形，求证：△AOB与△COD为倍优三角形．
（2）如图③，正方形ABCD边长为2，点P为边CD上一动点（不与点C，D重合）连接AP和BP，对角线AC和BP交于点O，当△AOP与△BOC为倍优三角形时，求∠DAP的正切值．
【解答】（1）证明：∵△COD是等边三角形，
∴∠COD＝∠OCD＝60°，
∴∠AOB＝∠COD＝60°，
∵AB⊥BD，
∴∠BAO＝30°，
∴∠OCD＝2∠BAO，
∴△AOB与△COD为倍优三角形；
（2）由题意，∠BCO＞∠PAO，∠APO＞∠CBO．
①若∠BCO＝2∠PAO，如图③﹣1，过点P作PH⊥AC于H，
则∠DAO＝2∠PAO，
∴AP平分∠DAC，
又PH⊥AC，∠D＝90°，
∴PD＝PH，
设PD＝PH＝m，
则PC＝2﹣m．
则PC＝PH，
∴2﹣m＝m，
∴m＝2﹣2，
∴tan∠DAP＝＝﹣1；
②若∠APO＝2∠CBO，如图③﹣2，过点P作PI∥BC交AB于I，
则∠BPI＝∠CBO，
∵∠APO＝2∠CBO，
∴∠APO＝2∠BPI，
则∠DAP＝∠API＝∠BPI＝∠CBP，
故DP＝CP＝1，
∴tan∠DAP＝＝．
综上，∠DAP的正切值为﹣1或；
25．（14分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），
∴B（5，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
（3）∵∠BOC＝90°，
∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，
由题意得：OB＝5，OC＝5，
由勾股定理得；BC＝＝5，
S＝π•＝π，
答：过O，B，C三点的圆的面积为π．
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