2022-2023学年江西省景德镇一中高二（19班）下学期期中考试数学试题含解析

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2022-2023学年江西省景德镇一中高二（19班）下学期期中考试数学试题

一、单选题
1．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数运算法则、共轭复数定义即可求得结果.
【详解】由得：，
，.
故选：B.
2．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又，所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：A
3．春节期间，小胡、小张、小陈、小常四个人计划到北京、重庆、成都三地旅游，每个人只去一个地方，每个地方至少有一个人去，且小胡不去北京，则不同的旅游方案共有（    ）
A．18种 B．12种 C．36种 D．24种
【答案】D
【分析】分为小胡单独一个人旅游以及小胡和小张、小陈、小常中的1人一起旅游两种情况讨论即可.
【详解】由题意，可分为两种情况：
①小胡单独一个人旅游，在重庆，成都中任选1个，有2种选法，
再将其他3人分成两组，对应剩下的2个地方，有种情况，
所以此时共有种；
②小胡和小张、小陈、小常中的1人一起旅游，先在小张、小陈、小常中任选1人，与小胡一起在重庆，成都中任选1个，有种情况，
将剩下的2人全排列，对应剩下的2个地方，有种情况，
所以此时共有种，
综上，不同的旅游方案共有种.
故选：D.
4．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设的坐标为，由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性，则圆心在直线方程上，得到，利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
5．将函数图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若对于满足的，，都有，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由伸缩变换结合余弦函数的图像的特点得出和必然一个为极大值点，一个为极小值点，进而由周期得出的值.
【详解】解：由题可得，若满足，
则和必然一个为极大值点，一个为极小值点，
又，则，即，所以，所以．
故选：A．
6．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在抛物线上及抛物线的定义，利用圆的弦长及勾股定理即可求解
【详解】由题意可知，如图所示，

在抛物线上，则
易知，，由，
因为被直线截得的弦长为，则，
由，于是在中，

由解得：，所以．
故选：C.
7．空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可．
【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形，

则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，
由题意可得，过作平面于，
直线与平面所成的角为，，，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大，
所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大，

设的中点为，连接，则，，
又，，
所以，，
，
三棱锥的外接球体积最大为.
故选：C．
8．已知，，（其中是自然对数的底数），则下列大小关系正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，，构造函数，，，利用导数判断函数的单调性，从而可得出结论.
【详解】由题意可得，，，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
则，从而，即，故，即，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
则，即，即，
从而，即，故，即，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，
则，即，从而，
即，故，即.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构造函数，，是解决本题的关键.

二、多选题
9．定义在上的函数满足，，若，则（    ）
A．是周期函数 B．
C．的图象关于对称 D．
【答案】ACD
【分析】根据，可得，进而可得，从而可得函数的周期性，即可判断A；结合，可得函数的对称性，即可判断C；根据函数的周期性及对称性计算即可判断BD.
【详解】因为，，所以，
所以，即，
所以是周期为4的周期函数，则A正确；
在中，令，得，则，
因为，
所以的图象关于直线对称，则C正确；
因为，所以，所以，则B错误；
由函数的对称性与周期性可得，
因为，即，
所以，
则

，则D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据，可得，进而可得，从而可得是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.
10．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）
A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．
【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；
由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；
，C正确；
事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．
故选：ACD．
11．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（    ）
A．双曲线的方程为 B．
C． D．点到轴的距离为
【答案】ACD
【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；由可求出判断B；结合双曲线定义可求得，求出，即可求出，判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D.
【详解】到的距离为，，解得，
又渐近线方程为，则，结合可解得，，
则双曲线的方程为，故A正确；
为的平分线，，故B错误；
由双曲线定义可得，则可得，，
则在中，，
则，
则，即，故C正确；
在中，，
设点到轴的距离为d，则，
即，解得，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.
12．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ）

A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.
【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确；
对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，
四面体CDEF的体积，B错误；
对于C，过作于，如图，而，则，

又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则，
又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误；
对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接，
当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立，
因此，，
则，
令，则，而，即，
因此，解得，所以的取值范围为，D正确.
故选：AD
【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.

三、填空题
13．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）
【答案】
【分析】展开式中的系数是由两部分组成，求得系数相加即可得出结果.
【详解】的展开式中有两项：，
则系数为.
故答案：.
14．已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则__________．
【答案】/
【分析】由题意可求，，再根据条件概率的计算公式求解即可．
【详解】因为甲罐中有个红球、个黑球，所以，
因为，所以．
故答案为：．

四、双空题
15．已知数列的各项都是正数，若数列各项单调递增，则首项的取值范围是__________当时，记，若，则整数__________．
【答案】
【分析】根据正项数列各项单调递增，可得出，化简求出，由此可得首项的取值范围；再由裂项相消法求出的表达式，然后求其范围，即可得出答案.
【详解】由题意，正数数列是单调递增数列，且，

且，解得，
，
又由，
可得：．
，


．
，且数列是递增数列，，即，
整数．
故答案为：；.

五、填空题
16．函数．若，使得成立，则整数a的最大值为________．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】根据题意，构造函数，利用导数与函数的单调性得到为函数的最大值．将问题等价转化为，再次构造函数和，利用导数与函数的单调性即可求解.
【详解】，易知是周期为的周期函数．
，当时，在单调递增，单调递減，单调递增，单调递減，又，且．
构造函数，求得，
由基本不等式可得，当时，恒成立，所以函数在单调递增，且，故，所以有，
即为函数的最大值．
若，使得成立，
即，
亦即，
构造函数，可知在单调递减，在单调递增．
又，所以，，所以，
令，则，构造函数，可知在单调递减，
在单调递增．又，，
，，所以满足条件的整数，
故整数，所以整数a的最大值为．
故答案为：.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

六、解答题
17．已知的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用诱导公式、和差公式和辅助角公式化简得到，即可得到；
（2）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式和二倍角公式得到，最后求范围即可.
【详解】（1），，
，，
，，可得，
，又，.
（2）

为锐角三角形，，解得，则，
，，.
的取值范围是
18．已知数列的前项和满足，
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据求出为等比和首项均为的等比数列，利用等比数列通项公式求出答案；
（2）变形得到，利用裂项相消法求和得到，结合恒成立，从而得到，求出实数的取值范围.
【详解】（1）整理为，
当时，，即，解得：，
当时，，
与相减得：，
即，
故为等比和首项均为的等比数列，
所以；
（2），
故
，
因为对任意的满足，
故只需，
解得：或，
故实数的取值范围是.
19．如图，已知AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将B'DH沿边DH翻折至BDH.

(1)在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积.
【答案】(1)存在，；
(2)

【分析】（1）根据等边三角形的三线合一及线线垂直的性质定理，利用平行线分线段成比例定理及线面平行的判定定理，结合面面平行的判定定理及面面平行的性质定理即可求解；
（2）根据已知条件及线面垂直的判定定理，建立空间直线坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面BHC与平面BDA的法向量，利用向量的夹角公式及棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）存在点F满足题意，且，理由如下:
在图甲中，取B′C的中点M，连接AM，如图所示

因为AB'C是等边三角形， B′C的中点为M，
所以,
因为DH⊥B′C，
所以AM∥DH，
在图乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示

因为，
所以MF∥BH，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以MF∥平面BDH，
又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，
所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，
所以AF∥平面BDH.
（2）在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB⊂平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H为原点建立的空间直角坐标系，如图所示

则H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为则
，即，
令，则，，
所以，
易知平面BHC的一个法向量
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，
所以，
化简整理得:，
所以，，，
所以B（，0，），
所以三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.
20．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．

当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
【答案】(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析

【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,
21．已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意得，将点代入椭圆即可；
（2）设，，直线，则，
联立得到韦达定理，要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，
即证，代入求解计算即可.
【详解】（1）设椭圆上下顶点分别为，左焦点为，
则是等边三角形，所以，则椭圆方程为，
将代入椭圆方程，可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，则.
将直线代入椭圆方程，得，
其判别式，即，
.
所以要证直线MR与直线MB的斜率互为相反数，即证，


，所以.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22．已知函数，其中，是自然对数的底数.
(1)若，证明：当时，；当时，.
(2)设函数，若是的极大值点，求实数的取值范围.
（参考数据： ）
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先求出函数的导函数，再由导函数的导数的单调性和最值判断出的符号，从而得到函数的单调性与最值，可证命题；
（2）本题需对进行多次求导，从而确定函数的单调性与极值，求得实数的取值范围.
【详解】（1）证明：当时，，所以.
令，则.
由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减.
因为，所以当时，，即，
则在上单调递减.
因为，所以当时，，当时，.
（2）由题意可得，
则，且.
令，则.
令，则.
当时，，，所以，即.
所以在上是增函数，则.
①当，即时，在上恒成立，即在上是增函数.
因为，所以，所以在上单调递增.
与是极大值点矛盾，即不符合题意.
所以当，即时，因为在上是增函数，且，

，
所以，
则当时，，即在上是减函数，从而，
故在上单调递减.
当时，对，，，
即，，所以，
则当时，.
故在上是增函数.
因为，即当时，在上是减函数，
所以，则在上单调递增，符合是极大值点.
故所求实数的取值范围为.