精品解析：江西省景德镇一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

景德镇一中2022-2023学年下学期期中考试高二数学试卷

命题人：胡皓轩    审题人：邱金龙

一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可

【详解】都是正线性相关，

所以，

并且相关性最强，

所以；

都是负线性相关并，

所以，

且相关性强，

所以，

所以；

所以；

故选：A

2. 设随机变量，若，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布及求出期望与方差即可判断作答.

【详解】因为随机变量，且，

所以由对称性知，由正态分布知方差，A正确，BCD错误.

故选：A

3. 展开式中的常数项为（    ）

A. 8 B. 12 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.

【详解】因为的二项展开式为，

令，可得；

令，可得；

所以展开式中的常数项为.

故选：B.

4. 南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第10项为（    ）

A. 84 B. 83 C. 82 D. 81

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意利用累加法结合等差数列运算求解.

【详解】设二阶等差数列为，令，

则，

由题意可得：数列是以首项为1，公差为2等差数列，

则，即，

所以.

故选：B.

5. 已知数列中，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列并求出通项作答.

【详解】由，得，而，

因此数列是首项为，公比为4的等比数列，则，即，

所以.

故选：C

6. 现有6名同学，其中有甲、乙、丙、丁四人，要求甲、乙两人相邻，且丙和甲不相邻，同时丁需排在甲前面（两人不一定相邻），则总共的排列种数为（    ）

A. 96 B. 98 C. 192 D. 196

【答案】A

【解析】

【分析】把甲乙视为一个整体且两者间有前后之分，再与除丙外的另外3人作全排列，由定序确定排列数，然后将丙插入除与甲相邻外的4个间隙中，即可列式计算作答.

【详解】把甲乙视为一个整体，且甲乙间的排列为，把这个整体与除丙外的另外3人作全排列，有，

而丁需排在甲前面，则除丙外的5人的不排列数为种，

上述每个排列形成有5个间隙（甲乙间的间隙除外），把丙插入与甲相邻的间隙除外的4个间隙中，有种，

所以不同排列种数为.

故选：A

7. 现做如下定义：对一个三位数来说，如果其中间一位数比首尾的数字小，则称它为“凹数”，如果其中间一位数比首尾的数字大，则称其为“凸数”．现从1至7共7个数中，选取3个不同的数排成三位数，记其中“凹数”有个，“凸数”有个，则（    ）

A. 135 B. 140 C. 150 D. 160

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，按“凹数”、 “凸数”的中间数分类分别求出、即可计算作答.

【详解】依题意，符合条件的“凹数”的中间数不可能是6和7，中间数为5的“凹数”个数为，

中间数为4的“凹数”个数为，中间数为3的“凹数”个数为，中间数为2的“凹数”个数为，

中间数为1的“凹数”个数为，于是；

符合条件的“凸数”的中间数不可能是1和2，中间数为3的“凸数”个数为，

中间数为4的“凸数”个数为，中间数为5的“凸数”个数为，中间数为6的“凸数”个数为，

中间数为7的“凸数”个数为，于是，

所以.

故选：B

8. 递增数列中，，，，若，则正整数的最大值为（    ）

A. 1010 B. 1011 C. 2021 D. 2023

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意整理可得，利用裂项相消法结合数列单调性分析运算.

【详解】因为，可得，

整理得，可得，

所以

，

又因为，即，

注意到数列为递增数列，则，则，

可得，即，

所以正整数的最大值为2023.

故选：D.

二、多选题：本大题共4小题，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的为（    ）

A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有种不同的分法；

B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法；

C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；

D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.

【详解】对于A，6本不同的书中，先取本给甲，再从剩余的本中取本给乙，

最后本给丙，共有种不同的分法，故A正确；

对于B，6本不同的书中，先取本作为一组，再从剩余的本中取作为一组，

最后本作为一组，共有种，再将分给甲、乙、丙三人，

共有种，故B不正确；

对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法种；

对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分种情况讨论：

①一人本，其他两人各本，共有；

②一人1本，一人2本，一人3本，共有种，

③每人2本，共有，

故共有种.

故选：ACD

【点睛】本题考查了平均分组、不平均分组问题，挡板法，考查了组合数在生活中的应用，属于基础题.

10. 下列说法中正确的有（    ）

A. 若随机变量服从正态分布，，则．

B. 随机变量，若，，则．

C. 将一组数据的每个数据都乘以一个数，再加上一个数后，这组数据的方差变为原来的倍．

D. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布．

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A利用正态分布的对称性即可，对B根据二项分布的均值与方差公式即可判断，对C利用方差的定义和性质即可判断，对D根据二项分布的特点即可判断.

【详解】对于A，根据正态分布的对称性知，故A正确；

对于B，对于二项分布的均值与方差公式得，解得，故B正确；

对于C，将一组数据的每个数据都乘以一个数，则这组数据的方差变为原来的倍，再加上一个常数后，则方差不变，故最终这组数据的方差变为原来的倍，故C错误；

对于D，根据二项分布的概念可知随机变量,

故选：ABD.

11. 下列说法中正确的有（    ）

A. 若数列为等差数列，数列的前项和为，则，，成等差数列．

B. 若数列为等比数列，且，则为递增数列．

C. 若数列的前项和，那么这个数列的通项公式为．

D. 数列的前项和为．

【答案】AB

【解析】

【分析】利用等差数列的定义判断A；求出首项及公比范围判断B；举例说明判断CD作答.

【详解】对于A，等差数列的前项和为，设其公差为，，

，即，，成等差数列，A正确；

对于B，等比数列的公比为，由，得，解得或，

当时，，即，则为递增数列，

当，，有，则为递增数列，所以为递增数列，B正确；

对于C，因为，不满足，C错误；

对于D，当时，数列的前项和为，而无意义，D错误.

故选：AB

12. 现有甲、乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（    ）

A. ，，两两独立．

B. 根据上述抽法，从乙取出的球是红球的概率为．

C. 以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则．

D. 在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为．

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用利用事件独立性的意义判断A；利用全概率公式求出概率判断B；利用条件概率公式计算判断C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式计算判断D作答.

【详解】依题意，，

对于A，事件，，中，任意两个都不可能同时发生，即，

因此事件，不独立，同理事件，，事件，都不相互独立，A错误；

对于B，从乙箱中取出的是红球的事件为，则，

因此，B正确；

对于C，由选项B知，，C正确；

对于D，取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，

甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件，，

甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件，

所以所求概率为，D错误.

故选：BC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 为了判断某高中学生选修文科与性别的关系，现随机抽取名学生，得到如图所示的列联表：已知，．则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为______．

（参考公式：，）

【答案】

【解析】

【分析】计算出的观测值，结合题中信息可得出结果.

【详解】因为，则，

所以，认为选修文科与性别有关系出错的概率约为.

故答案为：.

14. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二项展开式可求得，再通过赋值运算求解.

【详解】的展开式为；

的展开式为；

令，可得，，

所以，即；

对于，

令，可得；

令，可得；

即，

所以.

故答案为：.

15. 已知等差数列的公差为d，随机变量满足，，则d的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据概率的性质结合等差数列运算求解.

【详解】由题意可知：，

因为数列为等差数列，则，即，

可得，解得，

所以d的取值范围为.

故答案为：.

16. 已知数列中，则______．

【答案】340

【解析】

【分析】根据余弦函数结合并项求和以及等差数列求和运算求解.

【详解】因为，

注意到，

可得，

所以.

故答案为：340.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．

17. 已知的前项和．

（1）求数列通项公式

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据前项和与通项之间的关系分析运算；

（2）结合（1）中结果，利用裂项相消法分析运算

【小问1详解】

因为，则有：

当时，则；

当时，则，

可得；

综上所述：.

【小问2详解】

由（1）可得：，

当时，则；

当时，则

，

综上所述：.

18. 随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费（亿元）和沙漠治理面积（万亩）的相关数据如表所示：

（1）若可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程．

（2）若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．

参考公式：回归直线方程，，．

【答案】（1）   

（2）预测到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．

【解析】

【分析】（1）根据题中数据和公式运算求解；

（2）根据（1）中的回归方程，运算求解即可.

【小问1详解】

由题意可得：，

则，

，

可得，，

所以关于的回归方程为.

【小问2详解】

由（1）可得：，

令，解得，

因为，所以，

预测到2023年沙漠治理面积可突破80万亩．

19. 为了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨（t）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；

（2）若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数；

（3）以直方图中的频率估计概率，在所有田地中随机抽取4亩，设这4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数为，求随机变量的期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）；   

（2）万亩；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图，求出亩产量在各分组区间内的频率，再估计平均亩产量作答.

（2）利用（1）的结论，利用正态分布的对称性求出亩产量不低于0.6t的概率，再估计亩数作答.

（3）用频率估计概率，求出亩产量不低于1.0吨的概率，利用二项分布的期望公式计算作答.

【小问1详解】

由频率分布直方图知，亩产量区间

的频率依次为，

由，得，

，

所以这100亩水稻平均亩产量的估计值为.

【小问2详解】

由（1）知，，而，则，

，

所以估计亩产量不低于0.6t的亩数是（万亩）.

【小问3详解】

由频率分布直方图及（1）知，亩产量不低于1.0吨的频率为，由频率估计概率，

则亩产量不低于1.0吨的概率为，

因此4亩中亩产量不低于1.0吨的亩数，

所以随机变量的期望.

20. 已知数列中，，当时，．

（1）求数列的通项公式．

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）变形给定的递推公式，构造等比数列并利用等比数列通项公式求解作答.

（2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.

【小问1详解】

当时，，即有，而，

因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则，

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

由（1）知，，

则，

于是，

两式相减得，

因此，

所以数列的前n项和为.

21. 某工厂生产的10件产品中含有件次品，从中一次任取5件，其中次品恰有件．

（1）若，求取出的产品中次品数量不超过1件的概率．

（2）记，求当为何值时，取得最大值．

【答案】（1）；   

（2）4.

【解析】

【分析】（1）利用古典概率求出的概率，再利用互斥事件的概率公式求解作答.

（2）根据给定条件，求出的表达式，再解不等式即可作答.

【小问1详解】

依题意，当时，10件产品中含有5件次品，

则，，

所以取出的产品中次品数量不超过1件的概率.

【小问2详解】

依题意，，，

于是，

由，得，解得，

因此当或时，，当时，，

所以当时，取得最大值．

22. 已知数列满足，．

（1）证明：数列为递增数列．

（2）证明：

（3）证明：

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用单调递增数列定义判断作答.

（2）对给定的递推公式变形，取倒数并裂项，借助裂项相消法和及不等式的放缩法推理作答.

（3）利用（2）的信息及结论，借助不等式的放缩法推理作答.

【小问1详解】

数列满足，则，由，知，

因此，即，

所以数列递增数列.

【小问2详解】

由，得，由（1）知，，

因此，则有，

，当且仅当时取等号，

取，于是，则，

所以.

【小问3详解】

由（2）知，，

当时，，

因此，而，于是，

所以.

【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.