2022-2023学年山东省聊城第一中学高二下学期期中考试数学试题含答案

  2022～2023学年第二学期期中考试

高二数学试题

时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷（60分）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．已知函数在处的导数，则（    ）．

A． B．1 C． D．

2．学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（    ）．

A．种 B．种 C．种 D．种

3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为（    ）．

A． B． C． D．

4．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（    ）．

A．90 B． C．180 D．

5．函数的图像大致为（    ）

A．B．C．D．

6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（    ）．

A．120种 B．156种 C．188种 D．240种

7．在的展开式中，的系数为（    ）．

A．120 B．84 C．210 D．126

8．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）．

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知函数，若函数有3个零点，则实数a可能的取值有（    ）．

A．3 B．2 C．1 D．0

10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（    ）．

A．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为

B．两份报告表都是男士的概率为

C．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

D．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

11．设，则下列结论正确的是（    ）．

A．  B．

C． D．

12．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）．

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（15题第一个空3分，第二个空2分）

13．若函数满足，则__________．

14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为__________．

15．已知对任意恒成立，且，，则__________；__________．

16．下列说法不正确的有__________．

（1）曲线在点处的切线方程为．

（2）函数在上存在极值点，则a的取值范围是．

（3）已知函数在处有极值10，则或．

（4）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．

四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；

条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；

条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若__________，求：

（1）展开式中二项式系数最大的项；

（2）展开式中所有的有理项．

18．（8分）一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．

（1）求白球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．

19．（8分）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：

（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？

（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？

（3）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？

20．（10分）已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求在区间上的最值．

21．（12分）某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．

（1）求男生甲被选中的概率；

（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．

22．（12分）已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：．

23．（12分）已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，记函数在上的最大值为，证明：．

2022～2023学年第二学期期中考试

高二数学试题参考答案

一、单选题：1．D   2．B   3．B   4．C   5．B   6．A   7．C   8．B

二、多选题：9．CD    10．BC    11．ACD    12．BC

三、填空题：

13．1      14．150      15．①1    ②2304      16．（3）（4）

四、解答题

17．解：选①，由，得（负值舍去）．（3分）

选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．

由，得．（3分）

选③，设第项为常数项，，

由，得．（3分）

由得展开式的二项式系数最大为，

则展开式中二项式系数最大的项为．（4分）

（2）解：设第项为有理项，，（5分）

因为，，，所以，2，4，6，

则有理项为，，，．（8分）

（错1个减1分，最多减3分）

18．解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，

设袋中白球的个数为x，

则，得到．故白球有5个．（4分）

（2），，1，2，3．

于是可得其分布列为

（8分）（对1个给1分）

19．解：（1）根据题意，分2步进行分析：

①将3个男生全排列，有种排法，排好后有4个空位，

②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有种排法，

则一共有种排法．（2分）

（2）根据题意，分2种情况讨论：

①男生甲在最右边，有，

②男生甲不站最左边也不在最右边，有，

则有种排法．（5分）

（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：

①将4名女生全排列，有种情况，排好后有5个空位，

②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有种情况，

则有种排法．（8分）

20．解：（1）由题意知：．

令，解得．（2分）

把定义域划分成两个区间，在各区间上的正负，

以及的单调性如下表所示．

（4分）

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．（5分）

（2）结合（1）的结论，列表如下：

所以在区间上的最小值是，最大值是1．（10分）

21．解：（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，

记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为种，

故．（4分）

（2）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，

由（1），则，且由（1）知，

故．（8分）

（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C，事件C所包含的基本事件数为种，

由（1），则，

“女生乙被选中”为事件B，则，

故．（12分）

22．（1）解：函数的定义域为，（1分）

．（2分）

①当时，对任意的，，

此时，函数在上单调递增；（4分）

②当时，令，可得；令，可得．

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（6分）

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（6分）

（2）证明：由（1）可知，当时，，

要证，只需证，即证．（8分）

构造函数，其中，

则．（10分）

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增，

所以，，所以恒成立，

因此，．（12分）

23．（1）解：由题意可得，

所以，（1分）

又知，（2分）

所以曲线在点处的切线方程为，

即．（4分）

（2）证明：由题意，

则，

当时，，

令，则，

所以在上单调递增，（6分）

因为，，

所以存在，使得，即，即，（8分）

故当时，，又，故此时；

当时，，又，故此时，

即在单调递增，在上单调递减，

则

，（10分）

令，，则，

所以在上单调递增，则，

所以．（12分）