2022-2023学年四川省遂宁中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省遂宁中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．设命题，,则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：，.

故选：D.

【点睛】本题考查命题的否定，考查特称命题和全称命题，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

2．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】D

【分析】根据导数的定义即可得到答案.

【详解】由题意，，所以.

故选：D.

3．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ）

A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121

【答案】A

【解析】根据平均变化率的公式求解即可.

【详解】，

所以函数在区间上的平均变化率为.

故选：A

4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将椭圆方程化为标准形式，然后利用焦点在轴上列出不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由方程，可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：D

5．函数的单调减区间是（         ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导得到，取解得答案.

【详解】，则，取，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力.

6．已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

7．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（    ）

A．3 B．5 C． D．13

【答案】B

【分析】由，结合图形即得.

【详解】因为椭圆，

所以，，

则椭圆的右焦点为，

由椭圆的定义得：，

当点P在点处，取等号，

所以的最大值为5，

故选：B.

8．已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.

【详解】因为，所以，

由双曲线的定义可得，

所以，解得，

故的面积为．

故选：B.

9．抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )（参考数据：）       

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵，又，所以点P在以AF为直径的圆上，

设点P的横坐标为m，联立与得.

∵，∴，∴

故所求弦长为.

故选:A

10．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.

【详解】因为命题“，”是真命题，

所以，恒成立，

所以，

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，

故选：B

11．已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，点为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（  ）

A．3 B．2

C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的对称性可知,所以，进而根据即可求解，根据离心率公式即可求解.

【详解】抛物线的准线为，代入双曲线方程得，

为直角三角形,由知，,所以，由等腰直角三角形进而可得,故有，所以.

故选：A

12．若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导函数的图象为直线，且，得到函数为过原点的二次函数，设，利用导函数图象，通过原函数的单调性得到，，再去绝对值分别求得，再比较大小.

【详解】因为导函数的图象为直线，且，

所以函数为过原点的二次函数，

设，

所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，

则，

又由，得，

则，

，

所以，，

所以，

故选：C

【点睛】本题主要考查导数与原函数的关系，还考查了数形结合的思想和转化求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．抛物线的焦点坐标是______.

【答案】

【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.

【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，

所以焦点坐标为，

故答案为：.

14．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为______.

【答案】3

【分析】首先求出函数的导数，根据直线平行得到，即可求出参数的值；

【详解】解：因为，所以，所以，

因为在点处的切线与直线平行，所以，所以，

故答案为：

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

15．有限集S中的元素个数记作，设A、B是有限集合，给出下列命题：

（1）的充分不必要条件是；

（2）的必要不充分条件是；

（3）的充要条件是

其中假命题是（写题号）________________.

【答案】(1)(3)

【分析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.

(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可.

(3)根据集合相等的定义判断即可.

【详解】(1)当时,即为集合的元素个数之和,即为.

又当时,中的元素个数和等于中的元素个数,故.

故是的充要条件.故(1)错误.

(2)当时,中的元素个数小于等于中的元素个数,故,

但当时也可能有不属于的元素.

故是的充分不必要条件,即的必要不充分条件是.

故(2)正确.

(3)当意为中的元素个数相等,并不一定有.故(3)错误.

故答案为：(1)(3)

【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.

16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.

【答案】

【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.

【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.

在中，由正弦定理得.

因为，所以，所以.

因为点在双曲线右支上，所以，

所以，得.

由双曲线的性质可得，

所以，化简得，

所以，解得.

因为，

所以.

即双曲线离心率的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由导数的几何意义得出函数在点处的切线方程；

（2）由在上恒成立，得出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，所以，所以，

所以切线方程为，即

（2）因为在上为增函数，所以在上恒成立，

所以，即，

所以实数a的取值范围为

18．已知命题：关于的方程有实数根， 命题．

(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；

（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．

所以方程无实根，

所以．

即，即，解得或，

所以实数a的取值范围是．

（2）解：由（1）可知：，

记，，

因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），

解得，所以实数的取值范围是．

19．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆上，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.

【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：

（2）由得

设，则，，所以

则中点坐标为，代入圆

得，所以.

20．已知圆过三点，，．

(1)求圆的方程；

(2)设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.

【详解】（1）设圆G的方程为，

因为圆过三点，，，

所以 ，解得,

圆G的方程为.

（2）由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆，

（i）若直线的斜率不存在，

则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切;

（ii）若直线的斜率存在，

则设直线方程为 即，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，

解得,所以切线方程为.

综上，切线方程为或.

21．设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线的倾斜角为锐角；

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【分析】（1）求得命题、为真时，实数的范围，再为真命题，求得的取值范围；

（2）要使为假命题，则为真命题，为假命题，可判断是否存在m.

【详解】（1）命题：实数使曲线表示一个圆，即表示圆，

则需，解得或，设集合，

命题：直线的倾斜角为锐角，则，解得或，设集合；

因为为真命题，所以，所以的取值范围为；

（2）要使为假命题，则需都为假命题，即为真命题，为假命题，由（1）得，而，

所以不存在使得为假命题.

22．已知点A的坐标为，点B的坐标为，且动点M到点A的距离是8，线段MB的垂直平分线交线段MA于点P.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)已知，过原点且斜率为k()的直线l与曲线C交于E、F两点，求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据椭圆的定义判断的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、c、，即可求C的方程；

(2)设，，，，将直线方程与椭圆方程联立消得二次方程，利用弦长公式表示出，求出D到l的距离d，根据表示出的面积，利用基本不等式求解最值即可．

【详解】（1）由题可知，

∴>，

∴根据椭圆的定义可知P的轨迹是以、为焦点的椭圆，

则，，

∴C的方程为：；

（2）设，，，，

将直线方程与椭圆方程联立消得，

∴，

点D(2，-1)到直线：kx-y=0的距离，

故

当时，，当且仅当时取等号，

故的面积有最大值﹒