2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二下学期3月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二下学期3月月考数学试题 一、填空题1．圆的半径为_________.【答案】【分析】将圆的方程化为标准式，可得出圆的半径.【详解】圆的标准方程为，故该圆的半径为.故答案为：.2．若，则______.【答案】或【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可；【详解】因为所以或,解得或，经检验成立故答案为：或3．已知某校高一（1）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从该班级中抽取若干人．已知某男生被抽中的概率为，则抽取的女生人数为_______．【答案】3【分析】由某男生被抽中的概率可得女生被抽中的概率，根据分层抽样的定义可求抽取的女生人数.【详解】因为某男生被抽中的概率为，所以女生被抽中的概率为，所以抽取的女生人数为.故答案为:3.4．位同学和位老师一起拍照，要求排成一排，位老师相邻但不排在两端，则不同的排法共有_______种．（结果用数字表示）【答案】【分析】首先排位同学到两端、再排其余位同学与位老师，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】首先排位同学到两端，有种排法，再排其余位同学与位老师，其中老师需相邻，故有种排法，按照分步乘法计数原理可得一共有种排法；故答案为：5．焦点在y轴的双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的标准方程为_______．【答案】或.【分析】根据题意，分双曲线的焦点在轴上与双曲线的焦点在轴上讨论，列出方程求出，即可得到结果.【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的渐近线方程为，由于双曲线的一条渐近线经过点，所以，由焦点到该渐近线的距离为2，整理得，解得，则，所以双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的渐近线方程为，由于双曲线的一条渐近线经过点，所以，由焦点到该渐近线的距离为2，整理得，解得，则，所以双曲线的方程为；故答案为: 或.6．对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.【答案】、【分析】将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.【详解】由由得，故，解得或.故填：、.【点睛】本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.7．在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，_____________【答案】【详解】由题意椭圆中． 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义以及正弦定理的应用．其中合理转化椭圆定义进而应用正弦定理是解题的关键8．双曲线与直线无公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为_______．【答案】【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.【详解】双曲线的渐近线方程为，若双曲线与直线无公共点，等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，则，则，，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是.故答案为：.9．某校排球队的12名队员来自高一、高二年级共9个班级，其中高一（1）班2人，高二（1）班3人，其余班级各1人．若从这12人中随机选6人为主力队员，则这6人来自不同班级的概率为_______．（结果用最简分数表示）【答案】【分析】先求基本事件总数，再求6人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这6人来自不同班级的概率．【详解】由题得从12名成员中选6人有种选法，即基本事件总数为，这6人来自不同班级有三种情况：a.两人分别来自高一（1）班和高二（1）班，余下4人来自其它4个不同班级，b. 1人来自高一（1）班或高二（1）班，余下5人来自其它5个班级，c.6人来自除高一（1）班和高二（1）班各的其它6个班级，基本事件个数为，故6人来自不同班级的概率为.故答案为:10．已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的最小值为_______．【答案】【分析】当直线的斜率为，直接求出，直线的斜率不为，取椭圆左焦点，连接，，，，根据对称性可得，设，则，令，利用导数求出函数的最小值，即可得解.【详解】椭圆，则，，所以，若直线的斜率为，此时过原点的直线与椭圆交于左、右顶点，此时，若直线的斜率不为，取椭圆左焦点，连接，，，，易知四边形为平行四边形，即有，设，则，故，令，则，所以当时，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值即最小值，，综上可得的最小值为．故答案为：．11．如图，在圆柱的轴截面中，，，，分别为圆柱上下底面的中心，为的中点，动点在圆柱下底面内（包括圆周）.若，则点形成的轨迹的长度为______.【答案】【分析】由题意，以为坐标原点，以方向为轴，以底面内垂直于的直线为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，设，用向量的方法，确定点形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，以底面内垂直于的直线为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，，设，所以，，又，所以，所以，即点形成的轨迹是，底面上与轴平行，且过靠近点的四等分点的线段（也是底面圆的一条弦）；所以形成的轨迹长度为.故答案为【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，灵活运用空间向量的方法求解即可，属于常考题型.12．设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列共有_______种．（结果用数字表示）【答案】32【分析】先解不等式得出在与之间，然后分类讨论即可.【详解】解不等式对恒成立得出在与之间，其排列方式只能为：“小大小大小”或“大小大小大”的方式，这里的“大”与“小”指相比两旁的数大或小.当排列方式为“小大小大小”时，如：35142，13254，…，①当1、2、3在小，4、5在大的位置时，排列方式有种；②当1、2、4在小，3、5在大的位置时，必须4、5在一边，1、2、3在另一边，排列方式有种，合计16种；当排列方式为“大小大小大”时，同理也有16种，合计有不同的排列方式32种.故答案为：32. 二、单选题13．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合椭圆和抛物线的标准方程定义判断即可.【详解】由，则方程表示焦点在轴上的椭圆，方程化为，由于，则方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线.故选：A.14．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α内的射影不可能是A．两条平行直线 B．两条互相垂直的直线C．同一条直线 D．一条直线及其外一点【答案】C【分析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线，和平面α，然后判断选项的正误．【详解】不妨以正方体为例，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，A错误；AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，B错误；如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，与条件矛盾，C正确．DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D错误．故选：C【点睛】本题考查异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是一种解题方式，是基础题．15．现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）    A．180种 B．192种 C．300种 D．420种【答案】D【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择，若区域与区域同色，此时区域有种选择，若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择，故有种涂色方法.故选：D16．半径不等的两定圆、无公共点，动圆O与、都内切，则圆心O的轨迹是（    ）A．双曲线的一支 B．椭圆C．双曲线的一支或椭圆 D．抛物线或椭圆【答案】C【分析】由两定圆、无公共点，得两圆外离或内含，再分类讨论，根据双曲线和椭圆的定义即可得出结论.【详解】因为两定圆、无公共点，所以两圆外离或内含，设两定圆、的半径分别为，圆O的半径为，当两定圆外离时，由圆O与、都内切，则两定圆、在动圆O里面，得，所以，所以圆心O的轨迹是双曲线的一支；当两定圆内含时，则动圆O在圆里面，圆动圆O里面，得，所以，所以圆心O的轨迹是椭圆，综上所述，圆心O的轨迹是双曲线的一支或椭圆.故选：C. 三、解答题17．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．(1)若从两队中选2人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）(2)若从甲、乙两队各选2人参加值日，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？（结果用数字表示）(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果用数字表示）【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）对选出的2人进行讨论，再由分类加法计数原理得出答案；（2）以男生的选法进行分类，再由分类加法计数原理得出答案；（3）由除序法求解即可.【详解】（1）从甲组中选2人，共有种；从乙组中选2人，共有种；从甲组和乙组中各选1人，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法.（2）当这名男生选自甲组，共有种；当这名男生选自乙组，共有种；则由分类加法计数原理可知，有种不同的选法（3）因为女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，所以有种不同排法.18．如图，在三棱锥中，，，O是BD的中点．  (1)求证：平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理即可证明；（2）分别取，的中点，连接，找出异面直线所成角，然后结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）  证明：在三角形中，因为，且O是BD的中点，所以，且，连接，在等边三角形中易得，所以，所以.因为，且平面，所以平面BCD.（2）  分别取，的中点，连接，因为，且，，且，所以或其补角就是异面直线所成角，连接，因为平面，所以，所以在中，斜边上的中线，又因为，，所以在三角形中，.因为，所以异面直线AB与CD所成角为.19．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路、，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB（点A在上，点B在上），且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示，若曲线段MPN是函数图像的一段，点M到、的距离分别是8千米和1千米，点到的距离为10千米，以、分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的横坐标为p．  (1)求曲线段MNP的函数关系式，并指出其定义域；(2)求出点A、B的坐标（用p表示），若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】(1)曲线段MPN的函数关系式为，定义域为(2)， 【分析】（1）由题意得，则，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围【详解】（1）由题意得，则，故曲线段MPN的函数关系式为， 又得，所以定义域为．（2），设由得，， ，得直线方程为，得，故点P为AB线段的中点，由即.得时，，所以，当时，经点A至P路程最近．20．如图，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M．过点F的直线与抛物线交于A、B两点．  (1)若点A在第一象限，且，求直线AB的倾斜角；(2)若点M在以线段AB为直径的圆周上，求直线AB的方程；(3)设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点，记、的面积分别为、，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由定义得出，再由斜率公式得出倾斜角；（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及得出直线AB的方程；（3）由韦达定理得出P、Q两点的纵坐标，再由面积公式得出的取值范围．【详解】（1）设，则，解得，则.又，所以.所以直线AB的倾斜角为.（2）由题意得，设，所以，又点M在以线段AB为直径的圆周上，所以①设直线的方程为，联立得，.所以，.由①可得，.因此直线的方程为.（3）设直线的方程为，联立得，.所以.的方程为，令，则.同理可得.所以则，即的取值范围.  21．已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上．(1)若为上顶点，，求的值；(2)若，原点到直线的距离为，求直线的方程；(3)对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】（1）由椭圆的性质求解，（2）由平面向量数量积的坐标运算解得点坐标，设出直线方程后由点到直线的距离公式列式求解，（3）联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解，【详解】（1）∵椭圆：∴，，，利用椭圆定义得，∵，∴，∴；（2）由题意得直线斜率存在，设直线方程为，（），设（），则，∵点在椭圆上，∴，代入得，解得：，，即点坐标为，将点坐标代入直线的方程有：①，由原点到直线的距离得到：②，联立①和②得或又因为，所以直线的方程为：，即．（3）设直线方程为（斜率必存在）（），设，，则，，∵，∴，∴，化简得①，联立得，∴，∴，代入①得，，∴②，∴，代入②得：，故，而点，在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，故直线有且只有一条使得．