2022-2023学年辽宁省营口开发区第一高级中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省营口开发区第一高级中学高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把直线方程化为斜截式即可得．

【详解】由，得，斜率为．

故选：C.

2．椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆定义可直接求得结果.

【详解】由椭圆方程知：；

根据椭圆定义可知：椭圆上一点到两个焦点的距离和为.

故选：D.

3．已知，，，则（    ）

A．-15 B．-13 C．-9 D．1

【答案】B

【分析】求出，，然后求解数量积即可.

【详解】由已知得，，，

所以，.

故选：B.

4．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ）

A．5 B．1 C．1或17 D．17

【答案】D

【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离，要注意双曲线上点到焦点距离的最小值为.

【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，

则，故，故或.

由双曲线性质知，到焦点距离的最小值为，

所以舍去.

故选：D.

5．圆M：与圆N：的公切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】B

【分析】判断出两圆的位置关系即可得到答案.

【详解】由题意，两圆的标准式分别为，，

则圆心和半径分别为，，

所以，，

则，故两圆相交，一共有2条公切线.

故选：B.

6．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）

A． B．4 C． D．6

【答案】A

【分析】根据题意，结合焦半径公式得，再计算即可.

【详解】解：由题知抛物线的焦点为，

因为，所以，

因为点在上，

所以，由焦半径公式得，解得，

所以，，.

故选：A

7．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.

【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.

故选：A

8．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.

【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，

由题意知：，，，

作，垂足为，则为中点，

，，，

城市处于危险地区内的时长为.

故选：D.

二、多选题

9．已知双曲线，则（    ）

A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为

C．的虚轴长为 D．的离心率为

【答案】CD

【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为双曲线，则

则焦点坐标为，故A错误；

焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误；

双曲线虚轴长为，故C正确；

离心率为，故D正确.

故选:CD.

10．如图，正四面体的棱长为是的中点，，，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量的运算对四个选项一一计算后，即可得到答案.

【详解】因为是的中点，所以.

又，所以，所以.

所以

.

故A错误，B正确；

因为，所以，

所以，

所以.故C正确；

.故D错误.

故选：BC

11．已知直线，圆（为圆心），则（    ）

A．直线恒过点

B．到直线的最大距离为

C．直线与圆一定相交

D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4

【答案】ABD

【分析】直线方程整理为关于的恒等式，由此可求得定点坐标判断A，由圆心与定点连线和直线垂直时距离达到最大值计算后判断B，由定点与圆的位置关系判断C，由直线的斜率小于0，可设出截距式方程，然后得出三角形面积，利用基本不等式求得最小值判断D．

【详解】直线，令得则直线恒过点，A正确；

因为，所以点在圆上，则直线与圆相切或相交，C错误；

，当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确；

当时，直线的斜率为，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，D正确.

故选：ABD．

12．如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且分别为的中点，则下列选项中不正确的有（    ）

A． B．平面

C． D．平面

【答案】ABC

【分析】首先求出底面积，再根据棱柱的体积求出棱柱的高，依题意可得在底面的投影在上，设在底面的投影为，即可说明为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.

【详解】解：因为底面为边长为的菱形，且，所以四边形的面积为，

又平行六面体的体积为，所以平行六面体的高为，

因为，所以在底面的投影在上，设在底面的投影为，

则，又，所以，又，

所以为的中点，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

所以，，，

，，

因为，所以、不平行，故A错误；

又，所以与不垂直，故B错误；

因为，所以与不垂直，故C错误；

设平面的法向量为，则，即，

不妨取，

所以，所以，

又平面，所以平面，故D正确；

故选：ABC

三、填空题

13．古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆离心率的一个可能值为___________.

【答案】，，，（任选一个即可）

【分析】根据“逼近法”可得，由此可确定所有可能的取值，由椭圆离心率的求法可求得所有可能的取值.

【详解】由题意知：，，，

由“逼近法”原理可知，，

又，则或或或或或或或；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率；

当或时，椭圆离心率.

综上所述：椭圆离心率所有可能的取值为，，，.

故答案为：，，，（任选一个即可）.

14．在直三棱柱中，，，，，，则异面直线与夹角的余弦值为______．

【答案】

【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出与的坐标，利用向量法解决.

【详解】

由已知可得，两两垂直，可如图建立空间直角坐标系.

则，，，，，

由可得，，

则，

，，，，

所以，.

所以，异面直线与夹角的余弦值为.

故答案为：.

15．过抛物线的焦点作直线，与抛物线C分别交于点A，B和M，N，若直线与互相垂直，则的最小值为______．

【答案】10

【分析】设出直线方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理，结合抛物线的性质，表示出线段长度，即可得到.

【详解】由已知可得，，，抛物线方程为.

设直线方程为，则方程为，

，，，，

联立直线方程与抛物线方程得，.

则，，，

同理.

所以，，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：10.

四、双空题

16．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为______，______.

【答案】         

【分析】令，可求出直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的关系可求出，再由可求得的值.

【详解】令，得，则直线在轴上的截距为，

依题意可得，

因为

所以，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知圆经过点，，.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点向圆作切线，求切线方程.

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）设圆的一般方程，由题意列出方程组，求得一般方程，即可化为标准方程；

（2）讨论切线斜率是否存在，存在时，设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可求得答案.

【详解】（1）设圆的方程为，

则 ,

解得，，，

所以圆的方程为，

故圆的标准方程为.

（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.

当切线斜率存在时，设切线方程为，即,

由，解得，

所以切线方程为，即.

综上所述，所求切线方程为或.

18．已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线C上的点，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且的中点为，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出即可.

（2）用横截式设出直线的方程以及的坐标，联立直线与抛物线方程，得到及韦达定理，再利用线段的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段的长度，用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而可求出的面积.

【详解】（1）由抛物线的定义知，解得，则抛物线的方程为

故：答案为.

（2）由线段的中点为知直线的斜率存在且不为0，

设直线，，联立直线与抛物线方程，

有，即，所以有，

且，则

所以，即

所以直线，，

点到直线的距离.

所以.

故：答案为.

19．如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，且，底面，．

(1)求点到平面的距离；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）连结交于点，可以以点为坐标原点，建系，得出各点的坐标，求出平面的一个法向量，根据即可求得点到平面的距离；

（2）求出平面的一个法向量，根据求出，转化为直线与平面所成角的正弦值即可.

【详解】（1）连结交于点，则，又底面ABCD，

则以点为坐标原点，分别以为轴的正方向，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系.

因为，，所以，，.

所以，,，，，，，，.

设是平面的一个法向量，则

，即有，

令，则是平面的一个法向量.

又，所以点到平面的距离为.

（2）由（1）知，，，

设是平面的一个法向量，

则有，即有，

取，则是平面的一个法向量.

.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

20．如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，，，

设平面的法向量为，则，即，令则，

设平面的法向量为，则，即，令则，

因为，所以，

所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面的法向量为，

显然平面的法向量可以为，

所以，

所以，所以二面角的正弦值为.

21．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为6.

(1)求椭圆的方程；

(2)为第一象限内椭圆上一点，直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为，若，求的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用离心率和弦长公式即可联立求解；(2)利用的坐标，根据三点共线求出两点的坐标，根据面积公式即可求出点的坐标.

【详解】（1）因为离心率为,所以，即，

又因为，所以，

联立，解得，

所以过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长为，

所以由 解得，所以椭圆的方程为.

（2）设

由（1）可知，,

因为共线，所以,即，解得，

又因为共线，所以,即，解得，

所以，

，

所以，

整理得，解得或（舍），

将代入椭圆方程得或（舍），

所以的坐标为.

22．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为.

(1)求的标准方程；

(2)直线与交于两点，点是的平分线上一动点，且，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由椭圆方程可得焦点坐标；利用点到直线距离公式可求得，结合椭圆之间关系即可求得双曲线方程；

（2）设中点为，由向量线性运算，结合等腰三角形三线合一性质可知，将直线方程与双曲线方程联立后，得到韦达定理的形式；由可构造方程求得，从而求得和；利用两点间距离公式表示出，，由，结合韦达定理可证得结论.

【详解】（1）由椭圆方程知：，则，，

到直线的距离，

，，

双曲线的标准方程为：.

（2）由（1）知：，

，与双曲线的左右半支各交于一点，

设，

设中点为，则，，

又为的角平分线，；

由得：，

，，

，，

，即，解得：，

，；

，

，

，，

.