辽宁省葫芦岛市联合体2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

2022~2023下联合体高二第二次考试

数 学 试 题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，等式与不等式，均值不等式。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．命题“分数都是有理数”的否定是（    ）

A．所有的分数都是有理数 B．所有的分数都不是有理数

C．存在一个分数不是有理数 D．存在一个分数是有理数

3．已知函数，则（    ）

A． B．4 C． D．2

4．“”是“”的（    ）

A．充要条件  B．充分不必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

5．设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是（    ）

A． B．2 C．1 D．

7．已知随机事件，满足，，则（    ）

A． B． C． D．

8．甲、乙两人进行了羽毛球比赛，双方约定：先胜两局者获得比赛的胜利．若某局比赛甲先发球，则这局比赛甲获胜的概率是；若某局比赛乙先发球，则这局比赛甲获胜的概率是．已知每局比赛都分出胜负，且各局比赛结果互不影响，若第一局是甲先发球，从第二局开始，每局由上一局的获胜者发球，则这次羽毛球比赛甲获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

10．设区间的长度为．已知一元二次不等式的解集的区间长度为，则（    ）

A．当时，  B．的最小值为4

C．当时，  D．的最小值为5

11．已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则下列说法正确的是（    ）

A．  B．

C．数列中最小 D．数列中最小

12．已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，为奇函数，则（    ）

A．  B．

C．  D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．不等式的解集为__________．

14．已知公比为2的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则__________．

15．在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为__________．

16．已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在等差数列中，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：．

18．（12分）

已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若，且，求的取值范围．

19．（12分）

（1）已知关于的不等式的解集是，求的值；

（2）若正数，满足，求的最小值．

20．（12分）

2023年女足世界杯于7月20日至8月20日在新西兰和澳大利亚两国9个城市举办，有32支球队参赛，规模空前，其中中国队被分在组．某公司专门为该赛事设计了一款产品并进行试销售，统计了不同的售价（单位：元）与销量（单位：千枚）的5组数据：，，，，．以此来作为正式销售时的售价参考．

（1）请根据相关系数的值，判断售价与销量的线性相关强弱程度（计算结果精确到0.01）；

（2）建立关于的经验回归方程，预测当售价为13元时，销量为多少千枚．

参考公式：，，．

参考数据：．

21．（12分）

前进中学某班选派16名学生参加书法、唱歌、朗诵、剪纸、绘画五场（同时进行）比赛，其中3人参加书法比赛，5人参加唱歌比赛，2人参加朗诵比赛，2人参加剪纸比赛，4人参加绘画比赛．

（1）从参加比赛的学生中任选3人，求其中一人参加剪纸比赛，另外2人参加同一项比赛的概率；

（2）如果该中学可以再安排3名教师选择参加上述比赛，假设每名教师选择参加各场比赛是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的，记参加书法或唱歌比赛的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

22．（12分）

已知函数，．

（1）判断和的单调性；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2022～2023下联合体高二第二次考试

数学试题参考答案

1．D  因为，，所以．

2．C  全称量词命题的否定是存在量词命题．

3．A  由题意可得，所以，解得，

则，故．

4．A  若，则．反之亦成立．

故“”是“”的充要条件．

5．B  因为，所以．

6．D  因为，所以，，则，

故所求切线方程为．设直线与轴交于点，与轴交于点，

令，得，令，得，则，，

故切线与坐标轴围成的三角形的面积为．

7．B  因为，所以．

8．C  这次羽毛球比赛甲获胜的情况有三种：

①甲连续获得两局比赛的胜利，其概率；

②甲第一局和第三局比赛获胜，乙第二局比赛获胜，其概率；

③乙第一局比赛获胜，甲第二局和第三局比赛获胜，其概率．

故所求概率．

9．AC  因为，，，所以，故选AC．

10．BC  因为一元二次不等式的解集为，所以．

当时，．因为，所以（当且仅当时，等号成立），所以的最小值为4．

11．BC  因为，，所以，，故A错误．

因为，所以．

因为，所以，所以，，

所以最小，故B，C正确．

因为，所以，所以，故D错误．

12．ACD  因为为奇函数，所以①，的图象关于点对称，则．，则，A正确．

因为为偶函数，所以，则，即，

故的图象关于原点对称，．

因为，所以，，B错误．

因为的图象关于点对称，所以，C正确．

因为的图象关于点对称，所以②．

由①②可得，所以，D正确．

13．  因为，所以，解得，

则原不等式的解集为．

14．62  因为，，成等差数列，所以，即，解得，

所以．

15．0.75  ，所以．

16．  由题意得，在上单调递减，由，

得或得或，即．

17．（1）解：设的公差为，因为所以

化简得解得所以．

（2）证明：因为，

所以．

所以．

18．解：（1）由题意得．

因为，所以．

当时，，得，符合题意．

当时，得．

故的取值范围为．

（2）易得，由（1）可知，得．

当，即时，，

所以，得，所以．

当即时，，

所以，得，所以．

当，即时，，不符合题意．

故的取值范围为．

19．解：（1）可化为，

因为不等式的解集是，所以，即，

由，解得．

（2），

因为，所以．

因为，而，

当且仅当，时，等号成立，

所以，所以，当且仅当，时，等号成立．

20．解：（1）因为，．

，

，

，

所以．

因为相关系数近似为，所以说明与的线性相关性很强．

（2）因为，所以，

所以关于的经验回归方程为．

当时，，故当售价为13元时，预测销量可达到8.4千枚．

21．解：（1）设从参加比赛的学生中任选3人，其中1人参加剪纸比赛，另外2人参加同一项比赛的事件为，

则．

（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3．

每名教师参加书法或唱歌比赛的概率均为，则随机变量，

所以，，

，，

则随机变量的分布列为

所以．

22．解：（1）因为，所以．

当时，恒成立，所以在上单调递减；

当时，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为，所以．

令，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，所以在上单调递减．

（2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，

等价于对任意恒成立．

令，则．

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．

因为，，

所以存在，，使得．

当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．

所以存在两个极小值，．

因为，分别为的两根，所以，，所以，

所以．

同理可得，所以．

故实数的取值范围是．