2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第69讲运用类比思想和方法求解推广性问题第70讲用不完全归纳法猜想以完全归纳法证明猜想含解析

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运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象,但是很多待解决的问题没有现成的类比物,这就需要我们通过观察、提炼,凭借结构上的相似性寻找类比对象,类比的基础是联想的发生,而联想的发生是以与问题相关的丰富的知识为基础的,高中阶段所学的基本上属于古典数学范畴,但是随着时代的进展,我们要改变对原有知识的认识方式.
典型例题
【例1】(1)函数对于任何,恒有,若,求;
(2)定义在上的函数满足:(1);(2)对任意实数.
①求及满足的值;
②求证:对任意实数;
③求证:是上的增函数.
【分析】第(1)问,从给出的抽象函数的条件着手进行类比,其形式正是对数函数具有的性质:;第(2)问,由条件易知本题的模型函数为,则各小题的求解或证明思路豁然开朗,完全可以借助函数的特有性质进行求解或证明.
【解析】(1)类比对数函数的性质,若设,则满足,因此,.
(2)①由题意可知本题的模型函数为,
,解得.
②证明
故当时,.
③证明:当
设,则,即.
'知②,
是上的增函数.
【例2】(1)若函数满足:,且是非零常数,问是否是周期函数?若是,求出它的一个周期,若不是,请说明理由.
(2)如图所示,是椭圆的两个焦点,在椭圆上,若设,则的面积为;相应地,如图所示,是双曲线的两个焦点,在双曲线上,若设,则的面积的表达式是什么?并对两个命题加以证明.
【分析】类比推广通常有两种基本题型,一种是由所给的问题或关系式类比联想它的背景或原型,找到一种清晰简捷的解法,此类题要求学生具备一定的数学基础,以及猜想能力与模仿能力,比如第(1)问;另一种是两种相近知识之间的类比推广,比如第(2)问,椭圆焦点三角形的面积公式已经给出,可通过解三角形以及三角恒等变形加认证明,而双曲线与椭圆之间有差异也有联系,关键是寻找出“似曾相识”的因素,类比迁移,借石攻玉.
【解析】
(1),联想到三角公式.
不难得知其结构模型与类同,若视式中的为时,则可把看成是的一个原型实例,而是周期为的周期函数且是的4倍,由此可类比猜测是周期为的周期函数.
事实上
故是周期为的周期函数.
（2对于双曲线相应的的面积表达式是
两个命题明如下：
从而
相应地，由双曲线的定义,
【例3】设是函数图像上的两点,
(1)若点的横坐标为,求证点的纵坐标为定值,并求出这个定值.
(2)若,求
(3)记为数列的前项和,若对一切都成立,试求的取值范围.
【分析】类比迁移的关键在于先弄清问题中给出的原命题的运算原理或结构,再在新的条件环境下类比出新命题,或依照高考命题的原则“源于课本,高于课本”,根据课本中介绍的数学方法推广出一些新的方法,如课本中用“逆序相加法”推导等差数列前项和的方法可以迁移到本例第问、第(2)问的解答中,第问中需要运用“裂项相消法”,这也是课本中相关方法的类比推广.
【解析】(1)证明：
（2由知,
【例4】若椭圆和椭圆满足,则称这两个椭圆相似,称为其相似比.
(1)求经过点,且与椭圆相似的椭圆方程;
(2)设过原点的一条射线分别与(1)中的两个椭圆交于两点(其中点在线段上),求的最大值和最小值;
(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于两点,为线段上的一点,若成等比数列,则点的轨迹方程为”,请用类比法提出类似的一个真命题,并给予证明.
【分析】本题是一道新情景题,由比与比例以及两个相似三角形的相似比加以引申,给出椭圆相似比的概念,进而引出一个值得探究的问题,从而考查学生理解新概念的能力和掌握椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线关系、弦长、最值等基础知识以及基本解题技能,引发学生提出新问题,解决新问题,从而更深入地考查学生对函数与方程思想、类比推广思想掌握的深度与广度,是一道具有挑战性、开放性特点,且有助于开展研究性学习的题目.
【解析】
(1)设与椭圆相似的椭圆方程为,
则有解得所以所求的椭圆方程为.
(2)当射线与轴重合时,;
当射线不与轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考查在第一象限的情形,设其方程为,设.
由得则,同理得,
所以,
即.
综上所述,的最大值为8,最小值为
(3)过原点的一条射线分别与两双曲线和交于两点,为线段上一点,若,成等比数列,则点的轨迹方程为.
证明:因为射线与双曲线有交点,不妨设其斜率为,显然.
设射线的方程为,点.
由,解得,
由解得
由点在射线上,且得,即
消去即得点的轨迹方程为.
第70讲用不完全归纳法猜想,以完全归纳法证明猜想
从观察一些特殊的简单的问题人手,根据它们所体现的共同性质,运用不完全归纳法作出一般命题的猜想,由于这个猜想是通过试验、观察、分析、综合、抽象概括出来的,其缺点是探索得到的猜想不一定正确,需要加以证明,而数学归纳法只能对所发现的结论正确与否加以论证,不能直接发现结论,因此,将不完全归纳法与数学归纳法并举是一种探讨数学问题的好方法,从而就有了“归纳一猜想一证明”题型,它是一个完整的思维过程,是人们从事科学研究,认识发现规律的有效途径,归纳是“猜想”的前提,它体现了由“特殊”到“一般”的转化,为了增强“猜想”结论的可靠性,在“归纳”阶段,一般应多演算几种特殊情形,然后通过对特殊的情形的分析去研究其一般规律,最后结论的正确性必须用数学归纳法证明.当然,有些题也可以由特殊到一般进行分析论证.
典型例题
【例1】（1）观察下表:
推测由上表各行所提示的一般规律,用适当的数学记号表达并加以证明
.(2)观察下列各式:
①
②
③
④
根据以上信息,猜想一般规律,并加以证明.
【分析】不完全归纳法是从对个别命题或特殊论断的探讨与分析中,猜测普遍命题或一般结论的方法,猜测所得的结论可能正确也可能不正确,需要加以证明,可以运用数学归纳法证明(与自然数相关的命题也可以利用合情推理作出猜想,用演绎推理进行证明.本例两小题侧重于讨论发现过程,运用演绎推理证明,第(1)问,观察给出的一系列等式,不难发现右边为为第个等式),左边是公差为2的等差数列之和,解题关键是探究出其首项与的关系,得出猜想,然后证明.第(2)问,猜想结果并不困难,应用归纳推理需要进行三角恒等变形,并按奇偶分类证明.
【解析】
(1)由观察可知,各等式右侧的数依次为,可猜测第行等式右侧的数为.
对于左侧,第行应是个奇数之和,各行的第一个奇数依次为,进一步可写成,即,
故可猜想第行左侧第一个奇数为,
进而后续奇数依次为,
于是第行等式可猜想为:
即.
该等式的证明如下：
右边.
(2)根据题目给出的信息,猜想一般规律为:
证明:
据此可得
当为偶数时,则有
注意到以下这些角互补,即
同理可得当为奇数时结论亦成立.
【例2】已知函数与函数的图像关于对称,
在数列中。
求的值:
(2)在的条件下,过点作倾斜角为的直线在轴上的截距为1),
求数列的通项公式.
【分析】本例是一道以数列为载体的能力题,结合函数与解析几何的一些知识,其解题核心是“观察、猜测、抽象、概括、证明”,这是发现问题和解决问题的重要途径.实际上,数学中的难点一般都是在观察归纳、猜测证明的过程中得以突破的.
【解析】
(1)因为函数是的反函数,所以.
.①
(2)由(1)得,①式可化为. ②
直线的方程为.
因为在轴上截距为,所以.
.③
两式作差得,结合③式得
.④
在④式中,令,结合,可解得或2,
又因为当时,,所以.
同理,在④式中,依次令,可解得.
由此猜想,然后用数学归纳法证明如下:
①当时,已证成立;
②假设当时命题成立,即,且)，
当时,由④式可得,
把代人,解得或.
由于,则,所以不符合题意,应舍去,
故只有,则当时命题也成立.
综上可知,数列的通项公式为.
【例3】
已知数列分别满足.
(1)求,猜想并证明的通项公式;
(2)若,证明:
【分析】解决“归纳一猜想一证明”类问题以及不等式的证明时,容易有以下几点误区.
(1)在运用不完全归纳法猜想时,由于归纳整理不到位或中间某环节出现运算错误从而给猜想造成困难.
(2)证明到这一步时,忽略了假设条件去证明,造成不是“纯正”的数学归纳法或者可以说是完全归纳法过程中有缺失.
(3)不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证,或者当直接用数学归纳法证明不等式有困难时,不会通过先证明加强不等式(可能找不到)来达到证明原不等式的目的.
【解析】
(1)由得,
猜想,下面用数学归纳法证明：
①
②假设当时猜想成立,即,
由①② ,
【证法一】
②
则当时,
由上及数学归纳法可得,时,
故有,所以得证.
【证法二】
②假设时不等式成立,即,
则当时,
故当时,结论成立.
由数学归纳法可得,
故有,所以得证.
【例4】如图所示,已知动圆与直线相切,并与定圆相内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过原点作斜率为1的直线交曲线于为第一象限点),又过作斜率为的直线交曲线于,再过作斜率为的直线交曲线于,如此继续,过作斜率为的直线交曲线于,设.
①令,求证:数列是等比数列;
②数列的前项和为,试比较与的大小.
【分析】
本例以解析几何为载体,重点突出数学归纳法的应用,感知“观察→归纳→猜想→证明”的思考与解决的过程,体验其中所呈现的数学之美.
【解析】(1)由题意知,点到原点的距离等于点到直线的距离,由抛物线定义知,点轨迹是以原点为焦点,直线为准线的抛物线,其轨迹方程为
(2)①设,则.
因为直线的斜率为,有,
所以,即,
所以
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
②由①知,所以.所以,下面只要比较与的大小；
当时,,有;当时,,有;
当时,,有;猜测当时,.
证法一用数学归纳法证明,当时,.
(i)当时,已成立;
(ii)假设当时,.
则当时,,
即当时,也成立.
由(i)(ii)知,当时,都成立.
证法二利用二项式定理,得