2023年高考数学题型猜想预测卷集合的综合应用含解析

这是一份2023年高考数学题型猜想预测卷集合的综合应用含解析，共41页。试卷主要包含了填空题，单选题等内容，欢迎下载使用。

 猜题26 第12、16题 集合的综合应用（上海精选归纳）
一、填空题
1．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______.
【答案】
【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.
【解析】，即，，故集合表示双曲线上支的点，
集合表示直线上的点，
，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.

双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，
平行线的距离，故或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.
2．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）对开区间，定义，当实数集合为段（为正整数）互不相交的开区间的并集时，定义，若对任意上述形式的的子集，总存在，使得，其中，则的最大值为___________.
【答案】##0.25
【分析】利用三角函数的公式和性质解不等式，再结合任意和存在把不等式问题转化成最值问题，求出最值即可得解.
【解析】不等式平方可得
解得
设集合，发现对任意，，
根据题意知，当，恒成立；
当时，因为对任意的的子集不等式都成立，所以让大于等于的最大值，即，又因为总存在，使，所以让的最大值大于等于，即；正好取最大值时，也取得最大值，所以，解得；
综上所述，最大值为.
故答案为：.
【点睛】恒成立和存在问题的解题思路：
①恒成立，则；存在，则；
②恒成立，则；存在，则.
3．（2022·上海青浦·统考二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【解析】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3
故答案为：或3.
4．（2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知平面上两个点集，，若，则实数的取值集合是___________．
【答案】
【分析】结合点到直线距离公式可知表示到直线与的距离之和大于的所有点的集合，又两平行线间距离为，可得可行域；是以为中心，为边长的正方形及其内部的点集，采用数形结合的方式可确定的取值.
【解析】由得：，
则表示到直线与的距离之和大于的所有点的集合；
直线与之间的距离，
则集合，
则其表示区域如阴影部分所示（不包含与上的点）；
集合是以为中心，为边长的正方形及其内部的点集，
若，则位置关系需如图所示，

由图形可知：当且仅当时，，
实数的取值集合为.
【点睛】思路点睛：本题考查集合与不等式的综合应用问题，解题基本思路是能够确定集合所表示的点构成的区域图形，进而采用数形结合的方式来进行分析求解.
5．（2023春·上海·高三统考开学考试）设集合中，至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.若有4个元素，则有___________个元素.
【答案】
【分析】由题可知有4个元素，根据集合的新定义，设集合，且，，分类讨论和两种情况，并结合题意和并集的运算求出，进而可得出答案.
【解析】解：由题可知，，有4个元素，
若取，则，此时，包含7个元素，
具体如下：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，
若，则，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍去；
若，则，故，所以，
又，故，所以，
故，此时，
若，则，故，故，
即，故，
此时，即中有7个元素.
故答案为：7.
6．（2017·上海浦东新·统考模拟预测）已知集合，，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为_______．
【答案】
【解析】先根据是一个单元素集合,得到直线和抛物线相切,得到,结合图象得到集合对应图形的面积为半径为1小圆的面积与半径为2大圆的面积的的和,问题得以解决.
【解析】解:集合,,且是一个单元素集合, 
直线和抛物线相切, 
由，即，有相等的实根,
所以，即, 
,,, 
圆心在以原点为圆心,以1为半径的圆上的一部分(第三象限) ，如图所示,

集合P对应图形的面积=半径为1小圆的面积+半径为2大圆的面积的, 
即.
故答案为:.
【点睛】本题考查由对集合的理解，考查一次函数与二次函数相交的关系，属于中档题.
7．（2020·上海松江·统考模拟预测）已知函数（且a为常数）和（且k为常数），有以下命题:①当时，函数没有零点；②当时，若恰有3个不同的零点，则；③对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点，且成等比数列.其中的真命题是_____（写出所有真命题的序号）
【答案】②
【分析】①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数图像的交点个数问题，分别判断，两种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果；
②根据题意，先令，画出函数的图像，结合函数零点个数以及函数图像，判断方程根的分布情况，以及方程根的个数情况，即可判断出结果；
③根据题意，只需判断出时，函数零点个数不一定是个，即可得出结果.
【解析】①因为，，由得，函数的零点，即是函数图像与直线交点的横坐标，
当时，恒成立，因为，所以时，函数显然没有零点；
当时，由得，即，即，
因为，所以恒成立，若时，函数可能有零点；若，函数没有零点；故①错；
②当时，因为恰有个不同零点，令，则关于的方程有两个不同的实数解，记作，不妨令；
做出函数的图像如下：

由图像可得：当时，与有个交点；
当时，与有个交点；
因为函数恰有个不同零点，
则有个根，记作；有个根，记作（不妨令）；
所以只需，，因此，，
所以；，，因此；故②正确；
③由，得；
所以函数与图像交点个数，即为函数的零点个数；
由②中图像可知：当时，与在上有个交点，即函数在上有个零点；
当时，若，则函数在上单调递增，因此函数与在上最多只有个交点，即函数在上最多只有个零点；不满足存在实数，使得有4个不同的零点；
若，由基本不等式可得：，即时，；
若，则函数与在上最多只有个交点，也不满足对任意的，总存在实数，使得有4个不同的零点.故③错.
故答案为：②.
【点睛】本题主要考查判断命题的真假，考查分段函数的应用，考查函数零点的应用，灵活运用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.
8．（2020·上海·高三专题练习）向量集合,对于任意,以及任意,都有,则称为“类集”,现有四个命题:
①若为“类集”,则集合也是“类集”;
②若,都是“类集”,则集合也是“类集”;
③若都是“类集”,则也是“类集”;
④若都是“类集”,且交集非空,则也是“类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
【答案】①②④
【解析】因为集合,对于任意,且任意,都有,可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线,逐项判断,即可求得答案.
【解析】集合,对于任意,
且任意,都有
可以把这个“类集”理解成,任意两个中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在上,因此可以理解它的图象成直线
对于①,,向量整体倍,还是表示的是直线,故①正确;
对于②,因为,都是“类集”,故还是表示的是直线,故②正确;
对于③,因为都是“类集”,可得是表示两条直线,故③错误;
对于④,都是“类集”,且交集非空,可得表示一个点或者两直线共线时还是一条直线.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了集合的新定义,解题关键是要充分理解新定义,结合向量和集合知识求解,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
9．（2016秋·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）设、、是集合，称为有序三元组，如果集合、、满足，且，则称有序三元组为最小相交（其中表示集合中的元素个数），如集合，，就是最小相交有序三元组，则由集合的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________
【答案】7680
【分析】令S={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，而要确定x，y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数．
【解析】令S={1，2，3，4，5，6}，如果（A，B，C）是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B={x}，B∩C={y}，C∩A={z}，（如图），要确定x，y，z共有6×5×4种方法；

对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A，B，C中的某一个或不属于任何一个，则有43种确定方法．
所以最小相交的有序三元组（A，B，C）的个数6×5×4×43=7680．
故答案为：7680
【点睛】本题主要考查了集合的新定义，在新定义下计算集合间的交、并、补运算，属于中档题．
10．（2018秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）在直角坐标平面中,已知两定点与位于动直线的同侧,设集合点与点到直线的距离之差等于，,记,,则由中的所有点所组成的图形的面积是________
【答案】
【分析】根据条件确定集合对应的轨迹,利用集合的定义,确定对应图形,即可求得中的所有点组成的图形的面积.
【解析】 两定点与位于动直线的同侧,如图:

过与分别作直线的垂线,垂足分别为
由题意得,即
在中,
可得
.集合对应的轨迹为线段的上方部分,对应的区域为半径为的单位圆内部
根据的定义可知,中的所有点组成的图形为图形阴影部分
阴影部分的面积为:
故答案为:.
【点睛】本题考查了集合的新定义的理解,解题关键是能够通过已知条件画出阴影面积的几何图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力.
11．（2021秋·上海虹口·高三上外附中校考阶段练习）若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意对的值进行讨论，求出对应的集合，再分析集合中元素的个数，从而得出元素最少的情况，
【解析】由题知：
①当时，，
此时集合中的元素个数为无限个，故舍去.
②当时，，
等价于：或
即：或.
因为
所以或.
或
此时集合中的元素个数为无限个，故舍去.
③当时，，
等价于：或.
因为，所以.
即.
此时集合中的元素个数为有限个，并且的值越大，
集合中的元素就越少.
因为，且
所以当时，
即：时，集合中的元素个数最少.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用，同时也考查了分类讨论的思想，其中对的值讨论是本题的关键，属于难题.
12．（2022·上海·高三专题练习）下列命题:
①关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的必要非充分条件;
②已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件;
③“”是“对任意的实数,恒成立”的充要条件;
④“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的充要条件;
其中,真命题序号是________
【答案】②
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断,即可得出答案.
【解析】对于①, 系数行列式,关于、的二元一次方程组有唯一解,
是该方程组有解的非充分条件
又系数行列式,或
关于、的二元一次方程组无解
系数行列式,
关于、的二元一次方程组有无穷组解
关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的非必要非充分条件;
故①不正确;
对于②,已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交.
命题甲可以推出命题乙,甲成立是乙成立的充分条件
又直线和不相交,当,即、、、四点共面,
命题乙不能推出命题甲,甲成立是乙成立的非必要条件
甲成立是乙成立的充分非必要条件.
故②正确;
对于③,设
当时,;
当时,;
当时,.
故
能推出任意的实数,
又对任意的实数,不能推出
故“”是“对任意的实数,恒成立”的充分不必要条件
故③不成立;
对于④,由关于的实系数方程有且仅有一个实数根,得:,
由得:或
当时,得,检验知:不是方程的实根,故此时方程无解
当时,,解得,检验知:是方程的实根.
故此时关于的方程有且仅有一个实数根
“或”不能推出“关于的方程有且仅有一个实根”
又关于的方程有且仅有一个实根也不能推出“或”
“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的既不充分也不必要条件.
故④错误.
故答案为:②.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档题.
13．（2021·上海浦东新·上海市建平中学校考模拟预测）已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____
【答案】
【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积．
【解析】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和
令，


故答案为
【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题．
14．（2015秋·上海普陀·高三统考阶段练习）已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为_____________．
【答案】
【解析】试题分析：等比数列的首项为,公比为,其前项和记为,,当时, 的所有非空子集为：；当时, ；当时, 当最小值为时, 每个元素都有有或无两种情况, 共有个元素, 共有个非空子集,；当最小值为，共个元素, 有个非空子集, ,…，
，，，,故答案为.
考点：1、等比数列与等差数列的前项和公式；2、集合的子集与子集个数问题.
【思路点晴】本题主要考查等比数列与等差数列的前项和公式，以及集合的子集与子集个数问题，属于难题.要解答本题，首先等比数列的前项和，然后根据子集个数和化归思想将“的所有非空子集中的最小元素的和为”转化为“个，个，....个（为最大元素）的和等于”，最后再根据整数不等式“试根法”可解答本题.
15．（2014秋·上海浦东新·高三统考期末）用表示集合S中的元素的个数，设为集合，称为有序三元组．如果集合满足，且，则称有序三元组为最小相交．由集合的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为____________．
【答案】96
【解析】试题分析：三个集合不可能有一元集，否则不能满足，又因为中只有4个元素，则中不可能有两个集合都有3个元素，否则不能满足，但中可以三个集合都含有2个元素，也可能是一个集合有3个元素，其它两个集合含有2个元素，情形如下：
如三个集合都含有2个元素这种情形，，，这种类型有种可能，另外第4个元素可任意加入上述4种可能中的每一个集合，又形成不同的情形，这样就又有种，于是就共有了种情形，在每一种情形中，它们的顺序可以打乱，每种可形成个，因此共有个有序三元组．
考点：集合的交集．
16．（2018秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末）已知集合｛或，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为__________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意可得集合｛或，中，共有个元素，记为，的共有个，的共有个，
．
故答案为．
考点：推理与证明．
17．（2020·上海·高三专题练习）设集合，,若，则实数m的取值范围是______________
【答案】
【解析】由题意，



18．（2022春·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.
【答案】1010
【分析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和，由此即可计算得到答案.
【解析】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集，积数和
当时，，成立；
假设时，
当时，


综上可得，，
则数集的所有非空子集的“积数”的和为：


故答案为：1010.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“积数”的理解和运用，以及“积数”的和的求法，求证对于有限非空数集，积数和是解题的关键，考查学生的逻辑推理与运算求解能力，属于难题.
19．（2021春·上海宝山·高二上海交大附中校考期末）对任意集合，定义，已知集合、，则对任意的，下列命题中真命题的序号是________.（1）若，则；（2）；（3）；（4）（其中符合表示不大于的最大正数）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】根据给定条件对4个命题逐一分析并判断作答.
【解析】对于(1)，因，时，，，时，，而或，则，(1)正确；
对于(2)，时，，则，时，，即，
，从而有，(2)正确；
对于(3)，，则，，即，
，则，此时与至少有一个成立，即与中至少一个成立，从而成立，
综上知(3)正确；
对于(4)，时，，若，则，，
若，则，，
若，同理可得，
若，则，，，
综上得，(4)正确.
故答案为：（1）（2）（3）（4）
20．（2017秋·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知有两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是_________________（写出所有真命题的序号）
①有5个不同的值；
②若，则与无关；
③若，则与无关；
④若，则；
⑤若，，则与的夹角为.
【答案】②④
【分析】排列出所有三种情况得到，根据向量的性质和运算依次判断每个选项得到答案.
【解析】可能有三个结果：
；
；
；
易知：，故
故①③错误，②正确；
，则④正确；
，⑤错误；
故答案为：②④
【点睛】本题考查了向量的运算，性质，意在考查学生对于向量知识的综合应用.
21．（2022春·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期中）从集合的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①､U都要选出；②对选出的任意两个子集A和B，必有或.则选法有___________种.
【答案】
【分析】分析出当一个子集只含有m个元素时，另外一个子集可以包含，，个元素，所以共有种选法；再进行求和即可.
【解析】因为､U都要选出；故再选出两个不同的子集，即为M，N，
因为选出的任意两个子集A和B，必有或，
故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数多的子集包含元素个数少的子集，
当一个子集只含有1个元素时，另外一个子集可以包含2，3，4个元素，所以共有种选法；
当一个子集只含有2个元素时，另外一个子集可以包含3，4，个元素，所以共有种选法；
当一个子集只含有3个元素时，另外一个子集包含4，5，个元素，所以共有种选法；
……
当一个子集只含有m个元素时，另外一个子集可以包含，，个元素，所以共有种选法；
……
当一个子集有个元素时，另外一个子集包含个元素，所以共有种选法；
当一个子集有个元素时，另外一个子集包含有个元素，即为U，不合题意，舍去；
故共有

.
故答案为：
【点睛】对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解.
22．（2019春·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合___________________；
【答案】或
【分析】根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析．
【解析】解：集合中任意两数之积仍是中的元素
所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况
即其中有一项为或者
（1）当时，或
若，则或
所以，或
又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素
所以，剩下的一个数必为-1，所以集合
当时，则必须
又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素
则，
解得，或，，
所以，集合．
（2）当时，三个等式相乘则得到
所以得到或
若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合．
若，则得到，
当时，则可以得到且，则不成立；
当时，则，不成立．
故集合M为或
【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充．

二、单选题
23．（2022秋·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）已知集合且且，O为坐标原点，当时，定义：，若，则“存在使”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由存在使得 ，根据绝对值的运算性质有：，同理对纵坐标也如此运算可证得充分性成立；必要性可举例说明不成立.
【解析】充分性：若存在，使，
即，
则，
故.


故充分性成立；
必要性：取，
则，

则，但是，
所以，则不共线，
所以必要性不成立.
故选：A.
24．（2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（    ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.
【解析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即，
同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾，
再证满足要求，当时，，
可以分成2个破晓集的并集，
事实上，只要取，，
则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外，
剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分为下列2个破晓集的并：，
最后，集合中的数的分母都是无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，
则和是不相交的破晓集，且．
综上，的最大值为14.
故选：B．
【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..
25．（2021·上海闵行·统考一模）设函数，对于实数a､b，给出以下命题：命题；命题；命题.下列选项中正确的是（    ）
A．中仅是的充分条件
B．中仅是的充分条件
C．都不是的充分条件
D．都是的充分条件
【答案】D
【分析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0，根据这些信息即可判断.
【解析】令，g(x)是奇函数，在R上单调递增，h(x)是偶函数，在(－∞，0)单调增，在(0，＋∞)单调减，且h(x)＞0.
，
即g(a)＋h(a)≥－g(b)－h(b)，
即g(a)＋h(a)≥g(－b)＋[－h(b)]，
①当a＋b≥0时，a≥－b，故g(a)≥g(－b)，又h(x)＞0，故h(a)＞－h(b)，∴此时，即是q的充分条件；
②当时，a≥0，，，
(i)当a≥1时，a≥，则－b≤a，故g(a)≥g(－b)；
此时，h(a)＞0，－h(b)＜0，∴h(a)＞－h(b)，∴成立；
(ii)当a＝0时，b＝0，f(0)＋f(0)＝6≥0成立，即成立；
(iii)∵g(x)在R上单调递增，h(x)在(－∞，0)单调递增，
∴在(－∞，0)单调递增，
∵f(－1)＝0，∴f(x)＞0在(－1，0)上恒成立；
又∵x≥0时，g(x)≥0，h(x)＞0，∴f(x)＞0在[0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)＞0在(－1，＋∞)恒成立，
故当0＜a＜1时，a＜＜1，，
∴f(a)＞0，f(b)＞0，
∴成立.
综上所述，时，均有成立，∴是q的充分条件.
故选：D.
【点睛】本题的关键是将函数f(x)拆成一个奇函数和一个函数值始终为正数的偶函数之和，考察对函数基本性质的掌握与熟练运用.
26．（2022·上海·高三专题练习）已知命题：“存在正整数，使得当正整数时，有成立”，命题：“对任意的，关于的不等式都有解”，则下列命题中不正确的是（    ）
A．为真命题 B．为真命题
C．为真命题 D．为真命题
【答案】D
【分析】直接利用放缩法证得命题是真命题；利用指数函数和幂函数的性质，分类讨论可知命题Q为真．进而利用复合命题的真假性判定.
【解析】解：对于任意,
，
，
为使，只需要
只需要,，故取时，只要成立，便成立.
故命题是真命题；
对于命题：∵，∴当时，只要，则成立；
当时，只要，成立，所以对于,关于x的不等式都有解，故命题Q为真命题.
从而为真命题，为真命题，
为真命题，为假命题．
故选：D．
27．（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考期中）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ）
A．若有2个元素，则有3个元素
B．若有2个元素，则有4个元素
C．存在3个元素的集合，满足有5个元素
D．存在3个元素的集合，满足有4个元素
【答案】A
【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.
【解析】若有2个元素，不妨设，
以为中至少有两个元素，不妨设，
由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，
由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，
当集合有个元素时，由②得：，则或.
当集合有多于个元素时，不妨设，
其中，
由于，所以，
若，则，但此时，
即集合中至少有这三个元素，
若，则集合中至少有这三个元素，
这都与集合中只有2个运算矛盾，
综上，，故A正确；
当集合有个元素，不妨设，
其中，则，所以，
集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.
故选：A.
【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
28．（2020·上海·高三专题练习）对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是(    )
A．若则 B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据,逐项分析,即可求得答案.
【解析】
对于A,,
分类讨论：
①当,则此时
②当且,即,此时，
③当且,
即时,,此时
综合所述,有,故A正确;
对于B , ,故(2)正确；
对于C ,


,故C正确;
对于D ,,故D错误.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
29．（2017秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）设函数,设集合，设，则为（    ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【分析】根据题意得到，利用韦达定理得到
，得到，计算得到答案.
【解析】，满足两根之和为，且
故，根据韦达定理得到
，故
故选：
【点睛】本题考查了方程解的问题，韦达定理，集合知识，意在考查学生的综合应用能力.
30．（2016秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）在元数集中，设，若的非空子集满足，则称是集合的一个“平均子集”，并记数集的元“平均子集”的个数为．已知集合，，则下列说法错误的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据新定义求出元平均子集的个数，逐一判断，由此得出正确选项．
【解析】，将中的元素分成5组，，，，．
则，,,；
同理：，将中的元素分成5组，，，，．
则，．
∴，，，．
故选：C．
【点睛】本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.
31．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令，推导出，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断与的关系.
【解析】解对于集合，，
可得当即可得，
即有，可得对任意，是的子集；
当时，，
可得是的子集；
当时，，
可得不是的子集；
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.
故选：
【点睛】本题考查集合间的关系，一元二次不等式的解法，属于中档题.
32．（2018秋·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知函数（），且集合，则集合的元素个数有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】D
【分析】根据函数的几何意义可判断其为偶函数且在时,（为常数）,由此解出的范围,进而判断的元素个数即可
【解析】由题,的几何意义是：数轴上到点的距离之和,则根据绝对值的几何意义可知,即是偶函数
若,则或,
解得或或,
同时,当时,（为常数）,则若,满足即可,则,

的元素个数有无数个,
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查元素的个数,考查运算能力
33．（2020·上海崇明·统考二模）已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.
【解析】都不是空集，设，则；，则.

当时：方程的解为 此时，满足；
当时：的解为或
，则或
，则无解，
综上所述：，
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
34．（2016·上海·统考二模）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】A
【解析】试题分析：对于即有，令k=，有-α＜k＜α，不妨设，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，因此有-α1-α2＜kf+kg＜α1+α2，因此有．故选A．
考点：本题考查了元素与集合关系的判断
点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力
35．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）对于直角坐标平面内的任意两点,定义它们之间的一种“距离”：.给出下列三个命题:
①若点在线段上,则;
②在中,若,则;
③在中,,其中真命题的个数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义，、，之间的“距离”： ，对①②③逐个分析即可判断其正误．
【解析】①，不妨设直线的方程为，令，
点，在线段上，
；
同理可得，，；
；
故①正确；
②，在中，若，取，，则在直线上，不妨取，
，，，
显然，；故②错误；
③，取，，，则，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选：．
点睛：本题考查了新定义下的命题的真假判定及应用，着重考查了学生分析问题和解答问题及构造思想和推理运算能力，对于此类问题的解答中正确把握新定义的内涵是解答的关键，同时注意利用特殊值法进行排除，也是一种重要的解题手段.
36．（2018·上海·统考一模）集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是
A．, B．,
C．, D．,
【答案】B
【解析】试题分析：从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．
考点：不等关系．
37．（2021秋·上海奉贤·高三校考期中）用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【解析】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
38．（2022·上海·高三专题练习）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x 下列命题正确的是（    ）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【解析】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
39．（2021秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）已知是等差数列，，存在正整数，使得，.若集合中只含有4个元素，则的可能取值有（    ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】考虑不符合题意，时，列举出满足条件的集合，再考虑时不成立，得到答案.
【解析】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C