2023年高考数学题型猜想预测卷分段函数、数列及其应用（题型归纳）含解析

这是一份2023年高考数学题型猜想预测卷分段函数、数列及其应用（题型归纳）含解析，共51页。试卷主要包含了分段数列；二，分段函数，分段数列等内容，欢迎下载使用。
 猜题12 第18-19题 分段函数、数列及其应用（题型归纳）
目录：一、分段数列；二、分段函数；三、分段数列、函数的实际应用
一、 解答题
一、分段数列
1．（2021·上海·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【答案】（1）证明见解析；（2），
【分析】（1）由，可得，，代入，化简整理可得，即可得证.
（2）由（1）可得：，化为：，利用等比数列的通项公式可得，进而得到.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解根据数列的递推公式，通过构造数列是解决本题的关键，运算量大，难度较大，是难题.
2．（2022春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）已知数列的递推公式为.
(1)求证：为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据时，，得到，利用等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）知，先分组求和，利用错位相减法求的前，再利用公式法求的前项和，即可得解.
【解析】（1）因为当时，，
所以，
又，所以
所以数列是一个首项为2公比为2的等比数列，
（2）由（1）得，故，
所以，
先求的前，
，
，
所以，
所以，
又的前项和，
所以数列的前项和为：.
3．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）已知无穷数列的每一项均为正整数，且，记的前项和为．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)证明：数列中存在某一项（为正整数）满足，并由此验证1或3是数列中的项．
【答案】(1)41；
(2).
(3)证明见解析.

【分析】（1）根据给定的递推公式，依次计算出数列的前10项即可计算作答.
（2）根据给定条件，分别讨论是奇数、偶数对应前3项和求解作答.
（3）根据给定条件，利用反证法导出矛盾得证，再验证作答.
（1）
因，，则数列的前10项依次为：10，5，8，4，2，1，4，2，1，4，
所以.
（2）
若是奇数，则是偶数，，，解得，不符合题意，
若是偶数，不妨令，，当为偶数时，，则，无整数解，
当为奇数时，，则，解得，，符合题意，
所以.
（3）
假设数列中不存在某一项（为正整数）满足，即每一个，都有正整数，
当是奇数时，是偶数，，
当是偶数时，，有，或者，
因此，若每一个，都有正整数，则单调递减，因为正整数，则有数列的项数有限，
而数列是无穷数列，则数列必为无穷数列，显然两者矛盾，
即假设是错的，所以数列中存在某一项（为正整数）满足，
当时，，因此当或或或时，数列中出现1，
当时，，因此当或时，数列中出现3，
所以1或3是数列中的项．
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
4．（2016秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前n项和；
（3）若对恒成立，求的最小值.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项性质列式可解得等差数列的公差和等比数列的公比，进而可得所求通项公式；
（2）对分类讨论，结合等差数列与等比数列的求和公式可得所求和；
（3），讨论当为奇数和偶数时，的单调性，可得的最值，结合不等式恒成立可得的范围，进而可得所求最小值.
【解析】（1）设数列的公差为，，
因为数列是等比数列，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，数列的公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
当时，，
当时，，
所以.
（3），
，
令，
当为奇数时，，且递减，可得的最大值为，
当为偶数时，，且递增，可得的最小值为，
所以的最小值为，最大值为，
因为对恒成立，所以，
所以，所以的最小值为.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
5．（2021·上海·高三专题练习）在无穷数列中，，且，记的前n项和为.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）证明：中必有一项为1或3.
【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析
【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.
（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.
（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.
【解析】（1），故，故.
（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；
当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；
当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；
当为奇数，为奇数时，，无整数解；
综上所述：.
（3）设中最小的奇数为，则，，
若为奇数，则，解得；
若为偶数，则，，为奇数，解得；
又，∴中必有一项为1或3.
综上所述：，故中必有一项为1或3.
【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中的项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
6．（2016·上海奉贤·统考一模）数列，满足，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，求的通项公式.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）根据所给表达式,求得,再计算,即可证明.
（2）根据数列是递减数列及,即可比较与的大小关系.
（3）根据及（1）求得代入即可求得与的关系,由的表达式可构造,再代入中求得,结合即可求得的通项公式.
【解析】（1）证明：∵
∴
∴
∴是常数列
（2）∵是递减数列
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∴
∴
即
又∵
故数列是以1为首项,2为公比的等比数列
∴
【点睛】本题考查了数列递推公式的综合应用,数列单调性的应用,构造数列法求数列的通项公式,等比数列通项公式的求法,属于中档题.
7．（2022·上海·高三专题练习）已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析.
【分析】（1）利用递推公式直接代入求值.
（2）分类讨论当为奇数和偶数的情况，再讨论为奇数和偶数的情况，求得的值.
（3）先证充分性（易证得），再证必要性，用数学归纳法证明.
【解析】解：（1），，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故．
（2）由题设是整数．
①若为奇数,可设，,则是偶数，得，
则，此时，符合题意
②若为偶数,可设，,则，
当是偶数时，可设，得，，
则，此时不存在．
当是奇数时，可设，得，，
，则，得 ，得．
综合①②可得，或．
（3）充分性：若为奇数，则；
必要性：先利用数学归纳法证：（为奇数）；（为偶数）．
①，，成立；
②假设时，（为奇数）；（为偶数）．
③当时，当是偶数，；当是奇数，，此时是偶数．
综上，由数学归纳法得（为奇数）；（为偶数）．
从而若时，必有是偶数．进而若是偶数，则矛盾，故只能为奇数．
【点睛】本题是递推关系为分段函数类型，注意分析并使用分类讨论，还考查了充要条件的证明，复杂的且关于自然数的递推不等式的证明可用数学归纳法证明.
8．（2016·上海奉贤·统考二模）数列，满足，，；
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由题意可知，故问题得以证明；
（2）根据是递减数列，得到，，得到恒成立，
（3）先判断，再根据，得到，是递减数列，即可得到，求出的取值范围．
【解析】解：（1），
，，
，
，
，
是常数列；
（2）是递减数列，，

，
，
，
，
，
猜想，
，
恒成立，
，
时，是递减数列．
（3）整理得，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
是递减数列，
，
，
【点睛】本题考查了递推数列的，常数列，数列的函数特征，以及的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．
9．（2016秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）已知数列的前n项和为，且，；
（1）若，求证：；
（2）若，求；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）分当时和当时,分别求出的范围,得到要证的不等式.
（2）根据递推公式得到,数列,从2项起,以3为周期的数列,即可求出答案.
（3）通过解不等式判断出项的取值范围,从而判断出项之间的关系,选择合适的求和方法求出和.
【解析】解：（1）当时,则,
当时,则,
故,
所以当时,总有.
（2）时,,
∴数列,
∴从2项起,以3为周期的数列,其和为,

（3）由,可得,故,
当时,.
故且.又,
所以.
故

.
【点睛】本题主要考查了数列递推式；数列的求和.属于中等题型.
10．（2016·上海奉贤·统考二模）数列，满足，，.
（1）求证：是常数列；
（2）若是递减数列，求与的关系；
（3）设，，当时，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意可知，故问题得以证明；
（2）根据数列是递减数列，得到，，得到恒成立；
（3）先判断，再根据，得到，数列是递减数列，即可得到，求出的取值范围．
【解析】（1），，，，
，，因此，数列是常数列；
（2）数列是递减数列，，
，，
，，，，
猜想，恒成立，
，
时，数列是递减数列；
（3）整理得，，，
，
当时，，，
，
，，数列单调递减，，，
因此，当时，的取值范围是.
【点睛】本题考查了递推数列，常数列，数列的函数特征，以及的取值范围，培养了学生的运算能力，转化能力，属于难题．
11．（2022·上海·高三专题练习）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且(nÎN*)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列满足，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn；
(3)设*(为正整数)，问是否存在正整数，使得当任意正整数n>N时恒有Cn>2015成立？若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．（2）（3）不存在见解析
【分析】(1) ，计算得到，，利用公式化简得到，故数列为等差数列，计算得到答案.
(2)讨论为偶数和为奇数两种情况，利用分组求和法计算得到答案.
(3) 不存在，当为奇数时，计算得到，数列单调性递减，得到证明.
【解析】（1）时，，且，解得
时，，两式相减得：
即，，
，为等差数列，．
（2），．
当为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn–1)+(b2+b4+…+bn) ,
当为奇数时，Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn–1)


(3),
当n为奇数时，，
∴Cn+2