2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第65讲运用分类讨论法解概率问题第66讲运用分类讨论法解解析几何问题含解析

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典型例题
【例1】袋中有3个伍分硬币,3个贰分硬币和4个壹分硬币,从中任取3个,求总分值超过8分的概率.
【分析】
本题考查学生掌握互斥事件有一个发生的概率的基本概念和基本原理,解题的关键是把“总分值超过8分”这一事件的各种情况罗列清楚.
【解析】
“总分值超过8分”记为事件A,该事件包括下列4种情况:
①取到3个伍分硬币”记为;
②取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”记为;
③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”记为;
④“取到1个伍分硬币和2个贰分硬币”记为.
则
又彼此两两互斥, 故所求概率为
.
【例2】某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门只能在黄山、泰山、九寨沟这3个景区任选1个,假设各部门选择每个景区是等可能的.
(1) 求3个景区都有部门选择的概率;
(2) 求恰有2个景区有部门选择的概率.
【分析】
第(1)问,4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34,由于是任意选择,这些结果出现是等可能的;第(2)问，可以运用对立事件的概率计算，也可以“正面出击”,运用分类讨论的思想方法.
【解析】
(1)由题意,必有2个部门选择同一个景区, 所以3个景区都有部门选择的可能结果为.
记此事件为, 则事件发生的概率为.
记“恰有2个景区有部门选择”为事件个部门都选择1个景区”为事件.
【解法一】
事件的概率为.
事件的概率为.
【解法二】
先从3个景区任意选定2个,共有种选法.
再让4个部门来选择2个景区,分两种情况:第一种情况,从4个部门中任取1个作为一组,另3个部门为一组,共2组,每组选择1个不同的景区, 共有种不同选法;第二种情况,从4个部门中任选2个部门到1个景区, 另外2个部门到另1个景区, 共有种不同选法,
故恰有2个景区有部门选择的可能结果数为
【例3】掷红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,求至少有一颗骰子出现偶数点的概率.
【分析】
即事件至少有一个发生的概率.
在与互斥时, .
在与相互独立时, .
【解析】
设事件为“红骰子出现偶数点”,事件为“蓝骰子出现偶数点”,事件为“至少有一颗骰子出现偶数点”.显然,事件与不是互斥的,设事件为“两颗骰子同时出现偶数点”, 则.
掷两颗骰子出现点数总的结果是,
“红骰子出现偶数点”的结果是;
“蓝骰子出现偶数点”的结果是;
“两颗骰子都出现偶数点”的结果是，
“至少有一颗骰子出现偶数点”的结果是
【例4】某公司计划购买2台机器,该种机器使用340年后即被淘汰,机器有一易损零件，在购进机器时,可以额外购买这种零件作为20备件,每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元,现需.决策在购买机器时应同时购买几个易损.更换的易损零件数零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在3年使用期更换的易损零件数,得到柱状图,如图11- 8所示.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,用X表示2台机器3年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(x≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
【分析】
第(1)问，由柱状图得频率，分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;
第(2)问，由(1)即可求解n的最小值;第(3)问,分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值，再比较选择哪一个较好.
【解析】
（1）由柱状图并以频率代替概率可得1台机器在三年内需更换的易损零件数8,9,10,11的概率分别为,从而
∴的分布列为
(2) 由 (1)知, 故的最小值为 19 .
(3) 记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当时,
当时,
.
可知当时所需费用的期望值小于当时所需费用的期望值, 故应选.
第66讲运用分类讨论法解解析几何问题
含参数的二元二次方程表示曲线类型的判定,求轨迹方程并说明轨迹是什么曲线,从运动变化观点考察图形的变化过程,这些解析几何问题都需要对参数或选择关键节点作为分类标准,运用分类讨论法解题,解决解析几何问题的过程,是不断缩小条件与结论的差异的过程,在由条件向结论不断靠拢的实施过程中,情况的变化不是单一的,必要的分类与整合不可缺少.
典型例题
【例1】已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦
点F的距离为5,则m的值为;抛物线方程为.
【分析】
由于抛物线的开口方向未定,根据点A(m,-3)在抛物线上这一条件,抛物线开口向下、向左、向右均有可能，以此分类讨论求解.
【解析】
①若抛物线开口向下,设抛物线方程为, 此时准线方程为, 由抛物线定义知, 解得.
∴抛物线方程为, 这时将代人方程得.
若抛物线开口向左或向右, 可设抛物线方程为.
从知准线方程为, 由题意知解此方程组得
综合①②得
.
【例2】如图所示, 是等腰直角三角形, , 动直线过点与的斜边、直角边分别交于不同的点.
(1)设直线的斜率为, 求的取值范围, 并用表示点的坐标;
(2)试写出表示的面积的函数解析式, 并求的最大值.
【分析】
由于绕点转动, 则点可落在上,也可落在上, 的计算不一样,所以必须对的斜率的取值范围进行分类讨论.
【解析】
(1) 由已知条件得, 设直线的方程为, 由
得
（2）当时,点在直角边上, .
当时, 点在直角边上, .
当时, 递减, ∴; 当时,
综上所述,
【例3】根据的变化,讨论方程所表示的曲线的形状.
【分析】
必须将这个大区域划分成小区域或用特殊值进行分类讨论,注意不重不漏.
【解析】
且, 从的特殊值入手讨论:
(1) 当时,方程化为,表示两条平行于轴的直线;
(2) 当时, 方程化为,表示两条相交于原点的直线;
(3) 当且时,方程化为.
对两分母的符号再分3小类讨论:
当即时,方程表示焦点在轴上且中心在原点的双曲线;
当即或时,方程表示焦点在轴上且中心在原点的
双曲线;
当即时,
由于,
∴当时, 方程表示圆.
而当或时,方程表示焦点在轴上且中心在原点的椭圆.
【例4】已知椭圆的离心率为, 过右焦点的直线与相交于两点,当的斜率为1时,坐标原点到的距离为.
(1) 求的值;
(2) 上是否存在点, 使得当绕转到某一位置时,有成立? 若存在,求出所有的点的坐标与的方程;若不存在,说明理由.
【分析】
第(1)问,直接运用点到直线的距离公式以及椭圆参数的有关关系式计算即得的值.第问,过右焦点的直线绕旋转,必定会碰到斜率存在及不存在的情况,必须进行分类讨论,防止对斜率不存在这一特殊情决的疏忽,在求解过程中注意利用向量坐标关系及方程思想、韦达定理解答问题.
【解析】
(1)设,当的斜率为1时,其方程为到的距离为
(2)假设上存在点,使得当绕转到某一位置时,有成立.
由知的方程为,设,且.
①当不垂直轴时,设的方程为上的点使成立的充要条件是点的坐标为且.
整理得.
又在上, 即,
故①
将代人,并化简整理得
于是,
,
代人(1)式解得,此时,
于是,即,
因此,当时,的方程为;
当时,的方程为.
②当垂直于轴时,由知,上不存在点使成立.
综上所述,上存在点使成立,此时的方程为
.