2022年河南省中考数学真题变式题库附答案

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2022年河南省中考数学真题变式题库
【原卷 1 题】 知识点 相反数的定义

【正确答案】
D
【试题解析】


1-1（基础） 的相反数的倒数是（ ）
A.2 B. C. D.-2
【正确答案】 B

1-2（基础） 负数是表示生活中互为相反的两个方向上数量发生改变而产生的一种计数方式．－2022的相反数是（　　）
A.－2022 B.2022 C. D.
【正确答案】 B

1-3（巩固） 若m与互为相反数，则m的值为（ ）
A. B. C. D.3
【正确答案】 B

1-4（巩固） 的相反数为（ ）
A.-4 B. C.2 D.4
【正确答案】 D

1-5（提升） 下列说法正确的是（ ）
A.互为相反数的两个数一定不相等 B.绝对值等于它相反数的数是负数
C.一个有理数不是整数就是分数 D. 是分数
【正确答案】 C

1-6（提升） a、b是互为相反数，则下列式子错误的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A

【原卷 2 题】 知识点 正方体相对两面上的字

【正确答案】
D
【试题解析】


2-1（基础） 如图是一个正方体纸盒的表面展开图，当它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形中与“中、国、好”相对应的三个数依次为（ ）

A.1，-2，0 B.0，-2，1 C.-2，0，1 D.-2，1，0
【正确答案】 A

2-2（基础） 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A.发 B.展 C.飞 D.速
【正确答案】 D

2-3（巩固） 如图所示是一个正方体的表面展形图，则在原来正方体中与“2”所在面相对的面上的数是（ ）

A.1 B.4 C.5 D.6
【正确答案】 C

2-4（巩固） 如图是一个正方体纸盒的平面展开图，已知纸盒相对两个面上的数相等．则a、b、c的值分别是（ ）

A.，， B.，，
C.，， D.，，
【正确答案】 B

2-5（提升） 如图，某正方体三组相对的两个面的颜色相同，分别为红，黄，蓝三色，其展开图不可能是（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】 C

2-6（提升） 如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数，则字母A所标注的代数式的值等于( )

A.8 B.-12 C.24 D.-8
【正确答案】 B

【原卷 3 题】 知识点 垂线的定义理解

【正确答案】
B
【试题解析】


3-1（基础） 如图，直线相交于点O，，垂足为O，．则的度数为( )

A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-2（基础） 如图，直线AB，CD相交于点O，于，平分，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

3-3（巩固） 如图，直线相交于点O，下列条件中能说明的有（ ）

①；②；③；④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【正确答案】 B

3-4（巩固） 如图，直线AB与直线CD相交于点O，，且，则的度数为（ ）

A.60° B.120° C.135° D.150°
【正确答案】 B

3-5（提升） 如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，亮亮总结出了如下结论：
①线段AC的长，表示点A到直线BC的距离；
②线段CD的长，表示点C到直线AB的距离；
③线段AD的长，表示点A到直线CD的距离；
④∠ACD是∠BCD的余角．

亮亮总结的结论正确的有（ ）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】 C

3-6（提升） 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号代表的内容：
如图：已知直线b∥c，，求证：．
证明：∵（已知），
∴（☆）（垂直的定义）
又∵（已知），
∴（◎），
∴（@）
∴（※）．

则下列回答错误的是（ ）
A.☆代表90° B.◎代表同位角相等，两直线平行
C.@代表等量代换 D.※代表垂直的定义
【正确答案】 B

【原卷 4 题】 知识点 幂的乘方运算,计算单项式乘单项式,运用完全平方公式进行运算,二次根式的加减运算

【正确答案】
D
【试题解析】


4-1（基础） 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

4-2（基础） 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D

4-3（巩固） 下列运算中，正确的是（　　）
A.2a+3a＝5a B.a6÷a3＝a2
C.（a﹣b）2＝a2﹣b2 D.
【正确答案】 A

4-4（巩固） 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

4-5（提升） 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”，揭示了（为非负整数）展开式各项系数的有关规律：





……………………
请你猜想的展开式中所有系数的和是（ ）
A.2022 B.512 C.128 D.64
【正确答案】 B

4-6（提升） 今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案:
计算：
① ；② ；③ ； ④
则小刚做对的题数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【正确答案】 A

【原卷 5 题】 知识点 与三角形中位线有关的求解问题,根据菱形的性质与判定求线段长

【正确答案】
C
【试题解析】


5-1（基础） 如图，在中，D，E，F分别为三边的中点，，则四边形AEDF的周长为（ ）

A.40 B.30 C.20 D.10
【正确答案】 D

5-2（基础） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，连接OE．若BD＝6，AC＝8，则线段OE的长为（　　）

A. B.3 C.4 D.5
【正确答案】 A

5-3（巩固） 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（ ）

A.在四边形ABCD中，若对角线AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B.在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C.在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形
D.在四边形EFGH中，若对角线EG=HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形
【正确答案】 D

5-4（巩固） 如下图所示，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点若，，则的周长为（ ）

A.10 B. C. D.8
【正确答案】 C

5-5（提升） 如图，是菱形的对角线，分别是边的中点，连接，，则下列结论错误的是（ ）

A. B. C.四边形是菱形 D.四边形是菱形
【正确答案】 D

5-6（提升） 如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点，点E为AB的中点，连接OE，若，，则BD的长度为（ ）

A. B.6 C. D.3
【正确答案】 A

【原卷 6 题】 知识点 根据判别式判断一元二次方程根的情况

【正确答案】
A
【试题解析】


6-1（基础） 关于x的方程的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
【正确答案】 A

6-2（基础） 一次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是( )

A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
【正确答案】 C

6-3（巩固） 二次函数的图象与x轴交点的情况是（ ）
A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.与m的值有关
【正确答案】 C

6-4（巩固） 已知当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而增大，则关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根 D.跟k的取值有关
【正确答案】 B

6-5（提升） 将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（ ）
A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
【正确答案】 C

6-6（提升） 定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有．例：．则方程的根的情况为（ ）
A.无实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根
【正确答案】 A

【原卷 7 题】 知识点 由扇形统计图推断结论,求众数

【正确答案】
B
【试题解析】
【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可；
【详解】解：由扇形统计图可知：
1分所占百分比：5%；
2分所占百分比：10%；
3分所占百分比：25%；
4分所占百分比：45%；
5分所占百分比：15%；
可知，4分所占百分比最大，故4分出现的次数最多，
∴所打分数的众数为4；故选：B．
【点睛】本题主要考查众数的概念，扇形统计图，理解扇形统计图中最大百分比是所打分数的众数，这是解本题的关键．

7-1（基础） 一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】 A

7-2（基础） 某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示，则该超市应多进的冷饮品牌是（　　）

A.A品牌 B.B品牌 C.C品牌 D.D品牌
【正确答案】 C

7-3（巩固） “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖．
视力
4.6以下
4.6
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
■
■
7
9
14
11
下列关于视力的统计量中，与被遮盖的数据均有关的是（ ）
A.中位数，众数 B.中位数，方差
C.平均数，方差 D.平均数，众数
【正确答案】 C

7-4（巩固） 2022年北京冬奥会共产生109块金牌，各国家（组织）获得的金牌数如表：
2022年北京冬季奥运会金牌榜
获得金牌数/块
对应国家（组织）
16
挪威
12
德国
9
中国
8
美国、瑞典、荷兰
7
奥地利、瑞士
6
俄罗斯奥委会
5
法国
4
加拿大
3
日本
2
意大利、韩国、斯洛文尼亚、芬兰、新西兰
1
澳大利亚、英国、匈牙利、比利时、捷克、斯洛伐克
以上国家（组织）所获得金牌的数据中，中位数和众数分别是（ ）
A.6，2 B.6，1 C.3，1 D.3，2
【正确答案】 C

7-5（提升） 某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，绘制了下面的扇形统计图，则下列说法错误的是（ ）

A.乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍
B.乡村振兴建设后，种植收入减少
C.乡村振兴建设后，其他收入是振兴前的2倍以上
D.乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【正确答案】 B

7-6（提升） 某中学某班的学生喜欢各类体育活动，他们最喜欢的一项体育活动情况见统计图，现给出以下说法：①最受欢迎的球类运动是乒乓球；②最喜欢排球的学生达到班级学生总数的；③最喜欢羽毛球的学生达到班级学生总数的．其中正确的结论为（ ）

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【正确答案】 A

【原卷 8 题】 知识点 用科学记数法表示绝对值大于1的数,同底数幂相乘

【正确答案】
C
【试题解析】


8-1（基础） “曙光4000A超级服务器”的峰值计算速度达到每秒8061000000000次，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A.8.1×1012 B.8.06×1012 C.8.061×1012 D.8.0×1012
【正确答案】 C

8-2（基础） 用科学记数法将数55000000表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B

8-3（巩固） 华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C

8-4（巩固） 据报道，中国2021年国内生产总值（CDP）增长，经济总量114.4万亿元，按年平均汇率折算达17.7万亿美元，稳居世界第二，占全球经济比重预计超过，其中数据“114.4万亿”用科学记数法可表示为，则原数中“0”的个数是（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
【正确答案】 A

8-5（提升） 天问一号火星探测器飞行速度大约22公里/秒，火星离地球最近距离约为5500万公里，最远距离则超过4亿公里．天问一号飞向火星，选择最近距离时刻登火星．如果把飞行的时间用科学记数法记作a×10n秒，这里的n应该是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【正确答案】 B

8-6（提升） 数据0.0000037用科学记数法表示成，则表示的原数为（ ）．
A.3700000 B.370000 C.37000000 D.
【正确答案】 A

【原卷 9 题】 知识点 正多边形和圆,坐标与旋转规律问题

【正确答案】
B
【试题解析】


9-1（基础） 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知，，对角线AC、BO交点D，将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，若旋转n次后，点D的坐标是，则n的值可能是（ ）

A.2019 B.2020 C.2021 D.2022
【正确答案】 D

9-2（基础） 在平面直角坐标系中，第一次将作原点的中心对称图形得到，第二次在作关于x轴的对称图形得到，第三次作原点的中心对称图形得到，第四次再作关于x轴的对称图形得到，按照此规律作图形的变换，可以得到的图形，若点，则的坐标为( )

A. B. C. D.
【正确答案】 C

9-3（巩固） 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2021次旋转后，点B的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 A

9-4（巩固） 如图，已知等边三角形OAB，顶点，，将△OAB绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，顶点A的坐标为（　　　）

A. B.
C. D.
【正确答案】 D

9-5（提升） 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是，顶点B的坐标是，对角线AC，BD的交点为M．将正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点M的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 D

9-6（提升） 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为，每一次将绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】 C

【原卷 10 题】 知识点 从函数的图象获取信息

【正确答案】
C
【试题解析】


10-1（基础） 小明家与学校之间的距离是1000米，一天，他以每分钟60米的速度去学校，出发5分钟后，小明爸爸发现小明的数学作业忘带了，立即以每分钟360米的速度去追小明，追上小明一分钟后，小明又以每分钟80米的速度去学校，小明爸爸按原速度回家，以下图像中，能反映他们离家的路程与小明离家的时间（分钟）的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 A

10-2（基础） 如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，则下列结论中，错误的是（ ）

A.A、B两地相距440千米 B.客车速度比货车速度快20千米/时
C.货车行驶11小时后到达A地 D.图2中，交点M的坐标是
【正确答案】 D

10-3（巩固） 甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①a＝4.5；
②甲的速度是60km/h；
③乙刚开始的速度是80km/h；
④乙出发第一次追上甲用时80min．其中正确的是（ ）

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
【正确答案】 B

10-4（巩固） 如图1，在矩形中，对角线与相交于点，动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止．设点运动的路程为，线段的长为，如果与的函数图象如图2所示，则矩形的面积是（ ）

A.12 B.24 C.48 D.60
【正确答案】 C

10-5（提升） 如图1，已知动点H以的速度沿六边形ABCDEF的边（每相邻两条边都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图2，已知，则下列说法中，正确的有（ ）

①；
②BC的长度为3cm；
③当点H到达点D时，的面积是；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是3.75s或10.25s．
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【正确答案】 A

10-6（提升） 如图1，在矩形ABCD中，E是CD上一点，动点P从点A出发沿折线AE→EC→CB运动到点B时停止，动点Q从点A沿AB运动到点B时停止，它们的速度均为每秒1cm．如果点P、Q同时从点A处开始运动，设运动时间为x（s），△APQ的面积为ycm2，已知y与x的函数图象如图2所示，以下结论：①AB＝5cm；②cos∠AED＝ ；③当0≤x≤5时，y＝；④当x＝6时，△APQ是等腰三角形；⑤当7≤x≤11时，y＝．其中正确的有（　　）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【正确答案】 B

【原卷 11 题】 知识点 判断一次函数的增减性

【正确答案】

【试题解析】


11-1（基础） 请写出一个函数解析式______，使它符合条件“当时，y随x的增大而增大” ．
【正确答案】 （答案不唯一）

11-2（基础） 已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，该一次函数的图象与直线y＝﹣3x平行，则y1__y2．（填“＜”、“＞”、“＝”）
【正确答案】 ＞

11-3（巩固） 已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在直线y=-2x+b上，当x1 【正确答案】 y1>y2

11-4（巩固） 写一个函数解析式，使其图象经过第一、二、三象限，且在第三象限内函数值随自变量的增大而增大，则这个函数解析式可以是______．
【正确答案】 （答案不唯一）

11-5（提升） 对于一次函数y＝(2k﹣1)x+2，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ________．
【正确答案】 k＜0.5

11-6（提升） 已知一次函数，当时，y的最小值等于_____．
【正确答案】 -3

【原卷 12 题】 知识点 求不等式组的解集

【正确答案】

【试题解析】


12-1（基础） 不等式组的解集如图所示，则的值为______．

【正确答案】

12-2（基础） 不等式组的解集是______．
【正确答案】

12-3（巩固） 若代数式有意义，则实数的取值范围是______．
【正确答案】 3.5≤x≤5

12-4（巩固） 已知m满足不等式组，则直线不经过第______象限．
【正确答案】 三

12-5（提升） 定义新运算：，则不等式的最小整数解为________．
【正确答案】 －1

12-6（提升） 不等式组的最大整数解是___
【正确答案】 -2

【原卷 13 题】 知识点 列表法或树状图法求概率

【正确答案】

【试题解析】




13-1（基础） 某社区组织A、B、C、D小区的居民接种加强针新冠疫苗．若将这4个小区的居民随机分成两批，每批2个小区的居民接种加强针，则A、B两个小区都被分在第一批的概率是______．
【正确答案】

13-2（基础） 2022年北京冬奥会有很多的创新，尤其是颁奖的花束，并没有使用鲜花，而是永不凋谢的绒花，有着很好的寓意，若把玫瑰、月季、铃兰、以及月桂这四朵绒花分别装在四个一样的小盒子里，从中随机拿走两个小盒子，则拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率是______．
【正确答案】

13-3（巩固） 在一个不透明的箱子中放入5个大小一致的小球，分别标记有数字1，2，3，4，5．若从中任取2个小球，则这2个小球标记的数字之和为偶数的概率为_________．
【正确答案】

13-4（巩固） 如图所示的两个转盘A，B（A，B转盘分别被分成面积相等的4部分和3部分）．转盘A每份分别标有3、4、5、12四个数字；转盘B每份分别标有13、3、4三个数字，两个转盘各转一次，指针（当指针恰好指在分界线上时不计，重转）落在扇形区域内，得到的数字与5能组成直角三角形的概率是___________．

【正确答案】 或0.25

13-5（提升） 第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项，在全国掀起了冰雪运动的热潮．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，并且对此次竞答活动成绩最高的小颖同学奖励两枚“2022·北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机选取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．小颖抽到的两枚邮票恰好是冰墩墩和雪容融的概率______．
A． B． C． D．
【正确答案】

13-6（提升） 小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【正确答案】 ①②③

【原卷 14 题】 知识点 求其他不规则图形的面积,利用平移的性质求解,解直角三角形

【正确答案】

【试题解析】


14-1（基础） 如图，在菱形中，，，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧，交AC于点E，过点E作交AD于点F，则阴影部分的面积为____________．

【正确答案】

14-2（基础） 如图，在扇形中，，点D为弧的中点，过点D作交于点E，则阴影部分的面积为_________．

【正确答案】

14-3（巩固） 如图，在扇形中，，分别以点A，B为圆心，2为半径画弧，交于点D，C，则图中阴影部分的面积为_________．

【正确答案】

14-4（巩固） 如图，在扇形OBA中，，，点C，D分别是线段OB和AB的中点，连接CD，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为______．

【正确答案】

14-5（提升） 如图，扇形的半径厘米，圆心角，点是的中点，点、分别是半径、上的点，且．，，则图中阴影的面积为______平方厘米．

【正确答案】

14-6（提升） 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E，F在同一条圆弧上，且点C，E，F在格点（小正方形的顶点）上，若，则阴影部分的面积为_________．

【正确答案】

【原卷 15 题】 知识点 用勾股定理解三角形,直角三角形斜边上的中线,根据旋转的性质求解

【正确答案】

【试题解析】


15-1（基础） 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________．

【正确答案】

15-2（基础） 如图，直角ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转90°到的位置，AB的中点D旋转到，已知AC＝12，BC＝5，则线段D长为______．

【正确答案】

15-3（巩固） 如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，，且，．下面四个结论：
①；
②；
③；
④的面积为，
其中正确的结论有________．

【正确答案】 ①②④

15-4（巩固） 如图，平行四边形OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD′A′，当点D的对应点D′落在OA上时，OA′的延长线恰好经过点B，则点B的坐标为_________．

【正确答案】

15-5（提升） 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高．将△ADC绕点D顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，点C的对应点为点．在旋转过程中，当点落在直线EC上时，的长为______．

【正确答案】 或

15-6（提升） 如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．

【正确答案】

【原卷 16 题】 知识点 求一个数的立方根,实数的混合运算,分式加减乘除混合运算,负整数指数幂

【正确答案】

【试题解析】


16-1（基础） 计算题：
1、计算：
2、化简：
【正确答案】 1、；
2、

16-2（基础） （1）计算：．
（2）化简：
【正确答案】 （1）6；（2）；

16-3（巩固） 计算：
1、
2、化简：
【正确答案】 1、-4 2、

16-4（巩固） （1）计算：；
（2）化简：．
【正确答案】 （1）；（2）

16-5（提升） 化简或计算：
1、；
2、．
【正确答案】 1、
2、

16-6（提升） （1）计算：－tan60°；
（2）化简：．
【正确答案】 （1）-2；（2）

【原卷 17 题】 知识点 借助调查做决策,频数分布表,求中位数,运用中位数做决策

【正确答案】

【试题解析】


17-1（基础） 2021年5月15日，“天问一号”成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着我国首次火星探测任务着陆火星取得成功．为增加学生对火星的了解，某校组织学生对火星相关知识学习后，对八、九年级学生进行了火星知识测试，并随机从各年级抽取20名学生，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息（说明：数据被分为五组：，，，，；成绩在80分及以上为优秀，70—79分为良好，60—69分为合格，60分以下为不合格）．
信息一：八年级学生成绩的频数分布直方图，如图：

信息二：八年级学生成绩在这一组的具体成绩是：61 62 73 73 73 74 76 73 73
信息三：九年级学生成绩的平均数中位数、众数、优秀率如下：
平均数
中位数
众数
优秀率
74
76
78
30%
根据以上信息，回答下列问题：
1、根据上述信息，推断哪个年级学生测试成绩更好，请说明理由（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；
2、若九年级有900名学生都参加了此次测试．估计九年级学生中成绩达到优秀的有 名；
3、请对该校学生火星知识测试的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【正确答案】 1、九年级学生的测试成绩更好一些，见解析
2、270 3、答案不唯一，见解析

17-2（基础） 短视频因其交互性强、地域不受限制、受众可划分等特点而广受欢迎，但也不可避免传播了低俗扭曲的不良信息．某市网监办设计了对短视频的态度问卷，四种态度：非常支持、坚决取缔、无所谓、引导管控（以下分别用A，B，C，D表示），调查者在社区对各年龄段居民进行了随机抽查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息解答：

1、本次参加抽样调查的居民有_____________人；
2、将条形统计图补充完整，并计算扇形统图中A所对圆心角的度数为_____________．
3、请根据统计情况，对短视频的去留提出合理化建议．
【正确答案】 1、50 2、图见解析，108°
3、①保留短视频；②加强管控与引导．（答案不唯一）

17-3（巩固） 2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
调查问卷
1．近两周你平均每天睡眠时间大约是 小时．
如果你平均每天睡眠时间不足小时，请回答第个问题
2．影响你睡眠时间的主要原因是 ．（单选）
A．校内课业负担重 B．校外学习任务重 C．学习效率低 D．其他

平均每天睡眠时间（时）分为组：①；②；③；④；⑤．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第 （填序号）组，达到小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ；
（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【正确答案】 （1）③；17％；（2）见解析

17-4（巩固） 每年5月20日是中国学生营养日，按时吃早餐是一种健康的饮食习惯，为了解本校九年级学生饮食习惯，某兴趣小组在九年级随机抽查了一部分学生每天吃早餐的情况，并将统计结果绘制成如下不完
整的统计图表：
组别
调查结果
所占百分比
A
不吃早餐
25％
B
偶尔吃早餐
12.5％
C
经常吃早餐

D
每天吃早餐
50％

请根据以上统计图表，解答下列问题：
（1）本次接受调查的总人数为多少人.
（2）请补全条形统计图.
（3）该校九年级共有学生1200人，请估计该校九年级学生每天吃早餐的人数：
（4）请根据此次调查的结果提一条建议.
【正确答案】 （1）120；（2）补全条形统计图如图所示见解析；（3）估计该校九年级学生每天吃早餐的人数大约是600人；（4）学校开展健康讲座，针对不吃早餐对身体的伤害讲解，建议学生每天吃早餐（答案不唯一）

17-5（提升） 2019年10月10日傍晚18：10左右，江苏省无锡市山区312国道上海方向1K135处，锡港路上跨桥出现桥面侧翻，造成3人死亡，2人受伤，尽管该事故原因初步分析为半挂牵引车严重超载导致桥梁发生侧翻，但也引起了社会各界对桥梁设计安全性的担忧，我市积极开展对桥梁结构设计的安全性进行评估（已知：抗倾覆系数越高，安全性越强；当抗倾覆系数时，认为该结构安全），现在重庆市随机抽取了甲、乙两个设计院，对其各自在建的或已建的20座桥梁项目进行排查，将得到的抗倾覆数据进行整理、描述和分析（抗倾覆数据用x表示，共分成6组：；；；；；），下面给出了部分信息．
甲、乙设计院分别被抽取的20座桥梁抗倾覆系数统计表
设计院
甲
乙
平均数


众数
a
8
中位数
7
b
方差


其中，甲设计院C组的抗倾覆系数是：7，7，7，6，7，7；
乙设计院D组的抗倾覆系数是：8，8，9，8，8，8；
根据以上信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中C组数据所对应的圆心角是______ 度， ______ ， ______ ；
（2）根据以上数据，甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，说明理由（两条即可）：______ ；
（3）据统计，2018年至2019年，甲设计院完成设计80座桥梁，乙设计院完成设计120座桥梁，请估算2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数

【正确答案】 （1）18；7；8.5；（2）乙设计院；乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院；（3）34

17-6（提升） 今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校为了了解九年级480名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
班级





甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】
1、根据以上信息，可以求出：a＝______分，b＝______分；
2、若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的480名学生中成绩为优秀的有多少人；
3、根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．
【正确答案】 1、100，91 2、304人
3、甲班，理由见解析

【原卷 18 题】 知识点 反比例函数解析式,内错角相等两直线平行,线段垂直平分线的性质,作垂线(尺规作图)

【正确答案】

【试题解析】


18-1（基础） 经过实验获得两个变量，的一组对应值如下表．

1
2
3
4
5
6

6
3
2
1.5
1.2
1
1、请在如图所示的平面直角坐标系中画出相应函数的图象；

2、求出函数表达式；
3、点，在此函数图象上，若，则，有怎样的大小关系？请说明理由．
【正确答案】 1、见解析 2、
3、y1＞y2，理由见解析

18-2（基础） 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B在x轴上．

1、在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；
2、若函数的图象经过点M，且，求k的值．
【正确答案】 1、见详解 2、k=3

18-3（巩固） 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在x轴负半轴上，点B坐标为，点E是AB上靠近点A的三等分点，反比例函数的图象经过点E，交CD于点F．

1、求反比例函数的表达式；
2、若反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），求△POD面积的最大值．
【正确答案】 1、
2、

18-4（巩固） 如图的图像交x轴于点，交反比例函数的图像于点B（1，m）．

1、求反比例函数的表达式；
2、点D为反比例函数图像第一象限上B点下方一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
【正确答案】 1、
2、

18-5（提升） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

1、求，两点的坐标及反比例函数的解析式；
2、请结合图象直接写出的解集；
3、直线交轴于点，交轴于点，点在轴上，若，求点的坐标．
【正确答案】 1、点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），反比例函数解析式为
2、或
3、（0，8）或（0，-8）

18-6（提升） 如图，网格线的交点称为格点，双曲线与直线在第一象限交于格点．
（1）填空：
（2）双曲线与直线的另一个交点的坐标为在图中标出来．
（3）在如图所示的网格中仅用直尺，铅笔画，且满足以下条件：
①使的面积为，其中点为格点；
②这样的画出四个即可．

【正确答案】 （1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析

【原卷 19 题】 知识点 解直角三角形的实际应用

【正确答案】
拂云阁DC的高度约为32m
【试题解析】


19-1（基础） 某学校有一栋教学楼AB，小明（身高忽略不计）在教学楼一侧的斜坡底端C处测得教学楼顶端A的仰角为68°，他沿着斜坡向上行走到达斜坡顶端E处，又测得教学楼顶端A的仰角为45°．已知斜坡的坡角（∠ECD）为30°，坡面长度CE＝6m，求楼房AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：tan68°≈2.48，≈1.73）

【正确答案】 楼房AB的高度为13.7米

19-2（基础） 如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？

【正确答案】 C点距离雷达站D是km．

19-3（巩固） 如图，教学楼的外墙正前方处有一个竖直旗杆．某同学要测量旗杆的高度，该同学在上的点测得旗杆顶点的仰角为，原地转身从墙的外玻璃幕墙中观察到旗杆顶点的虚像，测得虚像的仰角为．已知，，，，在同一水平直线上，求的高度．（结果精确到，，，）

【正确答案】

19-4（巩固） 如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏，小明在自己家楼顶处测得显示屏顶端的仰角为，后退10米到达处测得显示屏底端处的仰角为，已知商业楼的底端与小明家楼底端之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，）

【正确答案】 6.4米

19-5（提升） 拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内，

（1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）．
（2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【正确答案】 （1）106cm；（2）能碰到，见解析

19-6（提升） 学完解直角三角形后，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量河南郑州花园口某处黄河的宽度．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目和测量数据如下表：
项目
测量花园口某处黄河的宽度
成员
组长：×××
组员：××× ×××
测量工具
无人机（可测量无人机离水面的高度及俯角）
示意图

说明：遥控无人机并控制在河面（花园口某处黄河的宽度）正上方的D处保持静止（悬停），利用无人机测得无人机距水面的高度，并分别测得俯视河面A，B两处的角度
测量数据



第一次
第二次
平均值
第一次
第二次
平均值
第一次
第二次
平均值









根据以上信息，解答下列问题：
1、请利用上表中的测量数据，帮助该数学兴趣小组计算出花园口某处黄河的宽度．
（结果保留整数参考数据：，，，）
2、有同学提出一个方案，直接利用无人机测量花园口某处黄河的宽度，由B处正上方水平匀速飞行到A处正上方，即可知道河面的宽度，请你分析该方案是否可行，并说明理由．
3、该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）
【正确答案】 1、
2、该方案理论上可行，理由:飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，故可行．（答案不难一，合理即可）
3、数学兴趣小组要完成一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．（答案不唯一，合理即可）

【原卷 20 题】 知识点 分式方程的实际应用,用一元一次不等式解决实际问题,最大利润问题(一次函数的实际应用)

【正确答案】
（1）20元   （2）2250元
【试题解析】


20-1（基础） 临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
1、求这两种笔每支的进价分别是多少元？
2、该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
黑色水笔
2.5元/支
【正确答案】 1、每支铅笔3元，每支水笔2元．
2、商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．

20-2（基础） 某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表（用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同）．
运动鞋款式
甲
乙
进价（元/双）
m
m﹣20
售价（元/双）
240
160
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，问该专卖店共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行每双优惠a（50＜a＜70）元的优惠促销活动，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【正确答案】 （1）m＝100；（2）6种方案；（3）50＜a＜60时，应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；a＝60时，所有方案获利都一样；60＜a＜70时，应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双

20-3（巩固） 某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A、B两种运动鞋，其中A种运动鞋的进价比B种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A种运动鞋的数量与用2560元购进B种运动鞋的数量相同．
（1）求两种运动鞋的进价．
（2）设A运动鞋的售价为250元/双，B运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W元，A运动鞋进货双，且90≤≤105．
①写出总利润W元关于的函数关系式．
②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货?
【正确答案】 （1）A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W=50+20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双

20-4（巩固） 小王准备批发一些水果出售，在农产品市场了解到三种水果的价格如表：

山竹
车厘子
榴莲
批发价（元/斤）


16
零售价（元/斤）
10
15
20
1、已知每斤山竹的批发价比车厘子批发价低4元，小王第一次购买了山竹100斤，车厘子300斤进行试销，共花费4000元，求x，y的值；
2、第一次批发的水果售完后，小王准备增购榴莲试销，再次批发时，购买的山竹和车厘子重量相同，但车厘子批发价每斤降低了m%，山竹的批发价每斤提高了2m%．
①小王通过计算发现，当批发山竹花费了1680元时，车匣子花费了1980元，求m的值；
②小王把第一次的销售收入全用于第二次水果批发，设山竹和车厘子各批发a斤，榴莲b斤（a，b均为整数），若第二次销售完这三种水果所得利润为W元，当榴莲的购入量不少于100斤时，求W的最大值（精确到0.1）．
【正确答案】 1、x的值是7，y的值是11；
2、①m的值是10；②W的最大值是1799.8元．

20-5（提升） 2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．

1、求这两种摆件的销售单价．
2、已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【正确答案】 1、“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；
2、购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．

20-6（提升） 骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．某车行经营的 A 型车去年 4 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 4 月份与去年4 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 4 月份 A 型车销售总额将比去年 4 月份销售总额增加 25%．（A、B 两种型号车 今年的进货和销售价格如下表所示）

（1）求今年 4 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程进行解答）；
（2）该车行计划 5 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，设购进的 A 型车为 x 辆，获得的总利润为 y 元，请写 出 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最大？最大 利润是多少？
【正确答案】 （1）2000元；（2）；（3）应购进A型车17辆，B型车33辆，才能使这批车获利最大，最大利润是48300元．

【原卷 21 题】 知识点 已知二次函数的函数值求自变量的值,喷水问题(实际问题与二次函数)

【正确答案】

【试题解析】


21-1（基础） 在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线（不计空气阻力），实心球飞行高度与水平距离之间的关系如图所示，其中抛物线的最高点坐标为，请根据图象解答下列问题：
（1）小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为　　；
（2）求出实心球飞行高度与水平距离之间函数解析式；
（3）求出当时，相对应的值，并说明它们的实际意义．

【正确答案】 （1）10；（2）；（3）当时，相对应的值为1或7，实际意义为当水平距离为或时，实心球飞行高度为

21-2（基础） 如图是某公园一喷水池(示意图)，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下．若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25．
(1)求喷出的水流离地面的最大高度；
(2)求喷嘴离地面的高度；
(3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？

【正确答案】 （1）喷出的水流离地面的最大高度为2.25m；（2）水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池．

21-3（巩固） 如图，抛物线与直线交于点和点C．

1、求a和b的值；
2、求点C的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
3、点M是直线AB上的一个动点，将点M向右平移2个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
【正确答案】 1、a的值为4，b的值为4
2、（1，3）；
3、0≤xM≤4且xM≠1

21-4（巩固） 如图①是气势如弘、古典凝重的开封北门，也叫安远门，有安定远方之寓意．其主门洞的截面如图②，上部分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为16米，BC为6米，最高处点E到地面AB的距离为8米．

1、请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式．
2、该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6米宽的双黄线．车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6米的空隙（安全距离）．试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，宽3.7米，高6.6米，能否安全通过该主门洞？并说明理由．
【正确答案】 1、；
2、该车能安全通过．

21-5（提升） 已知抛物线y＝x2﹣4x＋1，将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．

1、求平移后的抛物线解析式；
2、若直线y＝m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；
3、若将已知的抛物线解析式改为y＝ax2＋bx＋c（a＞0，b＜0），并将此抛物线沿x轴方向向左平移个单位长度，试探索问题（2）．
【正确答案】 1、y＝x2+4x+1
2、m＞﹣3且m≠1 3、m且m≠c

21-6（提升） 如图①，抛物线的顶点为，与轴交于点．
　　
1、求抛物线的解析式；
2、结合图像写出不等式的解集；
3、如图②，在图①的基础上，正方形四个顶点的坐标分别为，，，，是轴上任意一点，直线垂直于轴，以为对称轴，作抛物线位于直线下方部分的轴对称图形，若新图形与正方形有交点，请直接写出的取值范围．
【正确答案】 1、
2、或
3、

【原卷 22 题】 知识点 解直角三角形的实际应用,切线的性质定理

【正确答案】
（1）见解析   （2）50 cm
【试题解析】


22-1（基础） 如图，在Rt△ABC中，，点O是AB边上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC边相切于点D，与边AB、BC分别相交于点E、F，连接DF、OF．

1、求证：；
2、当，，求的长．
【正确答案】 1、见解析 2、

22-2（基础） 如图，为的直径，为半圆上一动点，过点作的切线，过点作，垂足为，与交于点，连接，，，交于点．

（1）求证：；
（2）若，连接，
①当______时，四边形为菱形；
②当______时，四边形为正方形．
【正确答案】 （1）见详解；（2）①2；②

22-3（巩固） 如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线交于点．

1、求证：；
2、若，，求的长．
【正确答案】 1、见解析 2、8

22-4（巩固） 如图，在中，，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的分别交AC、BC于点M、N，连接ND，过点N作的切线NE，交AB于点E．

1、求证：；
2、若的半径为，，求BN的长．
【正确答案】 1、见解析 2、6

22-5（提升） 如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CE切⊙O于点C，点D为BC上一个动点，DF⊥AB于点F，FD的延长线交弧BC于点G，交CE于点E．

1、求证：EC＝ED．
2、若⊙O的半径为6，∠ABC＝30°．
①当点F为OB的中点时，CE的长为______；
②当弧CG的长为______时，四边形OCGB为菱形．
【正确答案】 1、见解析； 2、①；②

22-6（提升） （1）[教材呈现]
圆周角定理推论：的圆周角所对的弦是直径．
如图①，已知：A、B、C三，点在上，

求证：为直经．
证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角
∴，且
∴……（ ）
∴点O在线段上，即三点共线．
则为的直径．
上述推理：得，依据为_____________．
（2）[小试牛刀]
如图②，A、B、C三点在上且，过点A作垂直的切线于点D，若，．求的长．

（3）[拓展应用]
如图③，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角，点E为的中点，连接，请直接写出的度数．
【正确答案】 （1）圆周角定理
（2）
（3）105°

【原卷 23 题】 知识点 矩形与折叠问题,正方形折叠问题

【正确答案】

【试题解析】


23-1（基础） 阅读材料，回答问题：
中国古代数学著作图周髀算经有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c三者之间的数量关系是：______．
对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形，利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：，，
______．
又____________，
，
整理得，
______．
如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果，，求BE的长．

【正确答案】 （1）；（2），正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积的面积＋正方形AEDB的面积，；（3）3．

23-2（基础） 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
小西进行了以下操作研究（如图1）：

第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）：
将MN延长交BC于点G，将△BMG沿MG折叠，点B刚好落在AD边上点H处，连接GH，把纸片再次展平．
请根据小西和小雅的探究，完成下列问题：
①直接写出BE和BN的数量关系：　 ；
②根据定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，请求出∠ABM的度数；
③求证：四边形BGHM是菱形．
【正确答案】 ①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见解析．

23-3（巩固） 向题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
1、动手实践：如图①，已知正方形纸片，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠．使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则___________度．
2、拓展应用：如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边的某一位置时，点N恰好落在折痕上．

①则___________度．
②设与的交点为点P，运用（1）、（2）操作所得结论，求证：．
3、解决问题：在图②中，若，请直接写出线段的长．
【正确答案】 1、
2、①；②见解析
3、

23-4（巩固） 规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．

（1）问题联想
如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为_____，位置关系为_____；
（2）类比探究
如图②，将（1）中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗? 若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，将（1）中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α（90°＜α＜180°），其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．
【正确答案】 （1），；（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.理由见解析；（3），.

23-5（提升） 综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程：
动手操作：步骤一：将正方形纸片（边长为）对折，使得点与点重合，折痕为，再将纸片展开，得到图1．
步骤二：将图1中的纸片的右上角沿着折叠，使点落到点的位置，连接，，得到图2．
步骤三：在图2的基础上，延长与边交于点，得到图3．

1、在图3中，连接，则的度数为_________，的值为_________；
2、在图3的基础上延长与边交于点，如图4，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
3、将图4中的正方形纸片过点折叠，使点落在边上，然后再将正方形纸片展开，折痕分别与边，交于点，，求的长．
【正确答案】 1、，；
2、，理由见解析；
3、

23-6（提升） 综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积；
【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．

【正确答案】 （1）菱形，（2）（3）


变式题库答案

1-1【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据相反数及倒数的定义求值即可．
详解:
－2的相反数是2，2的倒数是．
故选：B．
点睛:
本题考查了相反数、倒数，熟练掌握相反数及倒数的定义是解题的关键．
1-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据相反数的定义即可得出答案．
详解:
解：-2022的相反数是2022，
故选：B．
点睛:
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
1-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据相反数的定义得出，求出方程的解即可．
详解:
解：∵m与互为相反数，
∴，
解得：．
故选B
点睛:
此题主要考查了相反数以及解一元一次方程，正确把握相反数的定义是解题关键．
1-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先计算，再根据相反数的定义进行解答即可．
详解:
解：∵，
∴的相反数是4，
故选：D．
点睛:
本题考查了有理数的乘方运算和相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．
1-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据相反数、绝对值的意义、有理数的分类进行判断即可．
详解:
A.互为相反数的两个数一定不相等，错误，例如0，故A不符合题意；
B.绝对值等于它相反数的数是负数，错误，例如0，故B不符合题意；
C.一个有理数不是整数就是分数，正确，故C符合题意；
D.是分数，错误，因为不是有理数，故D不符合题意．
故选：C．
点睛:
本题考查绝对值、有理数、相反数，解题的关键是能将错误的举出反例．
1-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据相反数与绝对值的定义解决此题．
详解:
解：A．由ab=1，得a与b互为倒数，故A符合题意．
B．根据相反数的定义，a+b=0，故B不符合题意．
C．根据相反数的定义，由a与b互为相反数，得a=-b，故C不符合题意．
D．根据相反数与绝对值的定义，由a与b互为相反数，得|a|=|b|，故D不符合题意．
故选：A．
点睛:
本题主要考查相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义、绝对值是解决本题的关键．
2-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据互为相反数的定义解答．
详解:
解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“中”与“-1”是相对面，“国”与“2”是相对面，“好”与“0”是相对面，
∵相对的面上的两个数互为相反数，
∴与中、国、好相对应的三个数依次为1，-2，0．
故选：A．
点睛:
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
2-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．
详解:
解：根据题意得：在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是“速”．
故选：D
点睛:
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．
2-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据正方形表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
详解:
解：在原来正方体中与“2”所在面相对的面上的数是：5
故选：C．
点睛:
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方形表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
2-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据正方体的平面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．
详解:
解：由题意得：
a与-1相对，c与-2相对，b与3相对，
∵纸盒相对两个面上的数相等，
∴a=-1，c=-2，b=3，
故选：B．
点睛:
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．
2-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
利用正方体的展开图中，间隔是对面判断即可．
详解:
解：根据正方体的展开图中，间隔是对面可知，选项A、B、D中都符合正方体三组相对的两个面的颜色相同，只有选项C中，蓝与蓝是相邻的面，
故选：C．
点睛:
本题考查了正方体的展开图中间隔是对面的规律，理解掌握该规律是解题的关键．
2-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
利用正方体及其表面展开图的特点，列出方程（x-3）+（x+6）=0解答即可．
详解:
解：由题意得，（x-3）+（x+6）=0，
解得x=-1.5，
由题意得，A=-（-8x）=8x，
将x=-1.5代入，得A=8×（-1.5）=-12．
故选：B．
点睛:
本题考查了正方体相对两个面上的文字和一元一次方程的应用．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据邻补角求得，根据余角的定义即可求得的度数．
详解:
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选C．
点睛:
本题考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角，数形结合是解题的关键．
3-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据垂线的定义和角平分线的定义可得的度数，再根据平角的定义可得的度数．
详解:
解：，
，
平分，
，
，
故选：C．
点睛:
此题考查了垂线，角平分线的定义，平角的定义，关键是得到的度数．
3-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据垂直的定义依次判断即可．
详解:
解：①∵，∴；
②∵，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠BOC＝90°，∴；
③是对顶角，不能证得；
④，不能证明；
故选：B．
点睛:
此题考查了垂直的定义，由直线相交的夹角为90°，可判断两直线互相垂直；反之，当两直线垂直时，夹角为90°．
3-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据垂直的定义可得，由可得，根据邻补角即可求解．
详解:
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选B．
点睛:
本题考查了垂直的定义，邻补角，角度的计算，数形结合是解题的关键．
3-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据点到直线的距离等于垂线段的长度，逐项分析判断即可求解．
详解:
解：∵AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，
∴①线段AC的长，不能表示点A到直线BC的距离，故①不正确
②线段CD的长，表示点C到直线AB的距离，故②正确；
③线段AD的长，表示点A到直线CD的距离，故③正确；
④∠ACD是∠BCD的余角，故④正确．
故正确的有3个
故选C
点睛:
本题考查了垂直的定义，点到直线的距离，掌握点到直线的距离是解题的关键．
3-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由垂直的定义，平行线性质：两直线平行同位角相等；即可解答；
详解:
解：∵（已知），
∴90°（垂直的定义）
又∵（已知），
∴（两直线平行同位角相等），
∴（等量代换）
∴（垂直的定义）．
综上所述，☆代表90°，◎代表两直线平行同位角相等，@代表等量代换，※代表垂直的定义；
故选： B．
点睛:
本题考查了平行线的性质和垂直的定义；掌握平行线的性质是解题关键．
4-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
分别根据合并同类项，二次根式的减法，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方法则判断即可．
详解:
解：A、和不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
点睛:
本题考查了合并同类项，二次根式的减法，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
4-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据二次根式加减法法则、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项的法则依次判断即可求出答案．
详解:
解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确．
故选：D．
点睛:
本题考查了合并同类项、幂的乘方、二次根式加减法法则和完全平方公式，熟练运用法则进行正确的计算是解本题的关键．
4-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及二次根式的加法对选项逐个判断即可求解．
详解:
解：A、2a+3a＝5a，选项正确，符合题意；
B、a6÷a3＝a3，选项错误，不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，选项错误，不符合题意；
D、、不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意；
故选：A.
点睛:
此题考查了合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式以及二次根式的加法，解题的关键是掌握相关运算的运算法则．
4-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
思路分析：
详解:
具体解答过程：
A. ,正确；
B. ，不正确；
C. ，不正确；
D.，不正确；
综上所述，与所给的选项对比可知，只有A是正确的.
故选:A
点睛:
试题考查知识点：幂的乘除法；代数式的运算
4-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
本题通过阅读理解寻找规律，观察已知给出的各式中的所有系数的和可得：（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数和是2n，问题即得解决.
详解:
解：（a+b）0的展开式的各项系数和为：1=20；
（a+b）1的展开式的各项系数和为：1+1=2=21；
（a+b）2的展开式的各项系数和为：1+2+1=4=22；
（a+b）3的展开式的各项系数和为：1+3+3+1=8=23；
（a+b）4的展开式的各项系数和为：1+4+6+4+1=16=24；
……
∴（a+b）n（n为非负整数）的展开式的各项系数和为：2n．
∴（a+b）9的展开式中所有系数的和是：29＝512.
故选：B．
点睛:
本题是阅读理解题，考查的是完全平方公式的拓展—规律型问题，先由特殊的数字入手去寻找一般性的数字规律是解题关键.
4-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据积的乘方与幂的乘方计算并判定①；根据同底数幂相乘法则计算并判定②；根据完全正确平笔公式计算并判定③；根据合并同类项法则计算并判定④；即可得出答案．
详解:
解：①，故①错误；
② ，故②错误；
③ ，故③错误；
④，故④错误；
所以①②③④全错，
故选：A．
点睛:
本题考查积的乘方与幂的乘方，同底数幂相乘，完全正确平方公式，合并同类项法则，熟练掌握乘方与幂的乘方法则，同底数幂相乘的运算法则，完全正确平方公式，合并同类项法则是解题的关键．
5-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF= AC，DF=AE=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可解答．
详解:
解：∵在△ABC中，E、D、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴DE=AF=AC=2，DF=AE=AB=3，
∴四边形AEDF的周长是（2+3）×2=10．
故选：D．
点睛:
本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，关键是根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半解答．
5-2【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据菱形的对角线互相垂直平分求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出．
详解:
解：菱形的对角线、相交于点，
，，，
在中，
由勾股定理得，，
又点为中点，
是的中位线，
．
故选：A．
点睛:
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，根据菱形的性质和勾股定理求出是解题的关键．
5-3【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
连接AC和BD，根据在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点得到EF为△ABC的中位线，HG为△ADC的中位线，利用三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形来求解．
详解:
解：连接AC和BD，如下图.

∵在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=AC，且EF∥AC．
同理，可证HG=AC，且HG∥AC，
∴EF=HG，且EF∥HG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
若AC=BD，则EF=EH，
∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；
若AC⊥BD时，则EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；
在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；
在平行四边形EFGH中，若对角线EG=HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．
故选：D．
点睛:
本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线性质，菱形的判定和矩形的判定、正方形的判定，理解相关知识是解答关键．
5-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
易知OE是中位线，则OE= CD=2，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE=5，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC= ，根据矩形性质可求BO= ，从而求出△BOE周长．
详解:
解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB，
∴OE=CD=2，E点为AD中点，
在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE= ，
在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC=，
∴BO=，
△BOE周长为2+5+=7+．
故选：C．
点睛:
本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
5-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据菱形的性质和三角形的中位线以及菱形的判定可得AC⊥BD且DO=BD，再根据三角形的中位线可得EF=BD，即可得出结论
详解:
∵是菱形的对角线，
∴AC⊥BD且DO=BD，
∵分别是边的中点，
∴EF=BD，EF//BD，
∴EF=DO， ∴选项A正确．
∵AC⊥BD，EF//BD
∴，∴选项B正确．
∵是菱形的对角线，
∴BC=CD，O为AC的中点
∵分别是边的中点，
∴EO//BC//AD，FO//CD//AB且EO=FO=BC=DC
∴四边形是菱形，∴选项C正确．
∵EF//BD，FO//AB
∴.四边形是平行四边形
∴选项D错误．
故选D．
点睛:
本题考查了菱形的性质和判定、三角形的中位线定理、平行四边形的判定以及平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用三角形中位线定理求出AD，再在Rt△AOD中，解直角三角形求出OD即可．
详解:
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠ADO=∠CDO=30°
∵AE=EB，BO=OD
∴AD=2OE=6
在Rt△AOD中
∵AD=6，∠AOD=90°，∠ADO=30°
∴OD=，
∴BD=2OD=．
点睛:
本题主要考查了菱形的性质，结合三角形知识点，包括中位线定理、等边三角形定理和直角三角形的性质．
6-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据根的判别式的判断方程根的数量即可．
详解:
解：，
故方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
点睛:
本题考查根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的数量，能够熟练应用根的判别式是解决本题的关键．
6-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由图像可得，k<0，b<0，根据一元二次方程根与系数的关系，可得
，进而可得根的情况．
详解:
解：由图像可得，k<0，b<0，根据一元二次方程根与系数的关系，得

∵b<0，
∴-4b>0，
∴>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选:C
点睛:
本题考查根据一次函数的图像判断k、b的符号，一元二次方程根的判别式，正确判断判别式的符号是解题的关键．
6-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可判断．
详解:
解：令得一元二次方程，
∵，
∴二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
故选：C．
点睛:
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当Δ>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点；掌握这个知识点是解题的关键．
6-4【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
先判定k＜0，再证明△＜0，判断选择即可．
详解:
∵当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而增大，
∴k＜0，
∵的判别式为△=＜0，
∴方程没有实数根，
故选B．
点睛:
本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，准确理解反比例函数的性质，灵活运用根的判别式是解题的关键．
6-5【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．
详解:
解：∵方程，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+3＝0，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，
∴方程两个不相等的实数根，
故选：C．
点睛:
本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．
6-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据新定义得到一元二次方程，整理得，根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况．
详解:
解：由新定义运算得方程为，
整理得，
∴，
∴一元二次方程没有实数根．
故选：A
点睛:
本题考查了一元二次方程根的判别式：对一元二次方程而言，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．理解新定义，熟知一元二次方程根的判别式是解题关键．
7-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据平均数的运算方式先求出平均数，再根据一组数据中出现最多的为众数进行判断即可；
详解:
解：设第四个数为，则
解得：
∴这组数据为：2，1，4，1
∴众数为：1
故答案选：A
点睛:
本题主要考查了数据的分析，熟悉掌握平均数的算法和众数的概念是解题的关键．
7-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据扇形统计图中四种品牌冷饮所占百分比可得答案．
详解:
解：由扇形统计图知，C品牌冷饮所占百分比最多，
所以该超市应多进的冷饮品牌是C品牌，
故选：C．
点睛:
本题主要考查扇形统计图，解题的关键是从扇形统计图得出C品牌冷饮所占百分比最多．
7-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据条件可求被覆盖的两个数据之和为，即可判断．
详解:
解：由题可知被覆盖的两个数据之和为，
视力为的出现次数最多，因此视力的众数为，
视力从小到大排列后处在第25、26位的两个数分别为，，故中位数为，
因此与被遮盖的数据均有关的是平均数，方差．
故选：C．
点睛:
本题主要考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提，是解题的关键．
7-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是23，23是奇数，所以处于最中间的那个数就是此组数据的中位数；在此组数据中出现次数最多的那个数就是此组数据的众数．
详解:
解：表中列出的国家共有23个，处于中间的是第12个数，获得金牌3块，
所以这组数据的中位数是：3；
因为在此组数据中获得1块金牌的共有6个国家，所以此组数据的众数是：1．
故选：C．
点睛:
此题主要考查了中位数与众数的意义与求解方法．
7-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据某地区经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入是振兴前的2倍和扇形统计图，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而得到正确答案．
详解:
解：由题意得
乡村振兴建设后，养殖收入是振兴前的2倍，故A选项正确；
乡村振兴建设后，种植收入相当于振兴前的37%×2=74%，相对于振兴前收入增加了，故B选项错误；
乡村振兴建设后，其他收入是振兴前的2倍以上，故C选项正确；
乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占总收入的30%+28%=58%，故D选项正确；
故选B．
点睛:
本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
首先求得其它占总体的百分比为：1-48%-20%-20%=12%，然后依次对三句话进行判断即可．
详解:
由图可知，其它占总体的百分比为：1-48%-20%-20%=12%，
∴最受欢迎的球类运动是乒乓球，①正确，
∵最喜欢排球的学生和最喜欢羽毛球的学生占比都为20%，
∴最喜欢排球的学生和最喜欢羽毛球的学生都达到班级学生总数的，
∴②正确，③错误，
故答案为：A．
点睛:
本题考查扇形统计图，掌握扇形统计图中各部分所占的百分比能反映各部分数量的大小关系是解题的关键．
8-1【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数；
详解:
解：，
故选：C．
点睛:
本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8-2【基础】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
科学计数法的表示形式为，其中＜10，对该数字用科学计数法进行表示即可．
详解:
55000000＝－5.5×10000000=，
故选B．
点睛:
本题考查的是科学计数法的表示方法，能够熟练准确理解并运用科学计数法做题是解决本题的关键．
8-3【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．
详解:
解：100亿，，
故选：C．
点睛:
本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
8-4【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
详解:
解：∵这个数用科学记数法表示为1.144×1014，
∴这个数是15位数，
∴原数中“0”的个数为11，
故选：A．
点睛:
本题考查了科学记数法，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
8-5【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
详解:
解：5500万=55000000，
55000000÷22=2500000=2.5×106（秒），
所以把飞行的时间用科学记数法记作a×10n秒，这里的n应该是6．
故选：B．
点睛:
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
8-6【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，可确定n的值．即得出表示的数为，再将其转化为数字即可．
详解:
∵数据0.0000037用科学记数法表示成，
∴，
∴即为，
∴表示的原数为．
故选A．
点睛:
本题主要考查数科学记数法之间的转换．掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题关键．
9-1【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
过点B作BE⊥x轴于点E，可得根据，OA=4，再由菱形的性质可得AB=OA=4，OD=BD，然后根据直角三角形的性质可得点，从而得到点，再根据旋转的规律可得每旋转6次一个循环，进而得到n是6的整数倍，即可求解．
详解:
解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，

∵，
∴OA=4，
在菱形OABC中，AB=OA=4，OD=BD，
∵，
∴∠BAE=60°，
∴∠ABE=30°，
∴AB=2AE，
∴AE=2，
∴，OE=6，
∴点，
∴点，
∵将菱形OABC绕点O逆时针方向旋转，每次旋转60°，
∴每旋转6次一个循环，
∵旋转n次后，点D的坐标是，
∴n是6的整数倍，
∵．
故选：D
点睛:
本题主要考查了菱形的性质，图形的旋转，直角三角形的性质，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
9-2【基础】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据题意画出图形，由图形知每四次一个循环，即可得出结果．
详解:
解：根据题意，画出图形，如图，

∴点，
∴每四次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同，即．
故选：C.
点睛:
本题考查了作图一旋转变换，轴对称变换，确定图形每四次一个循环是解题的关键．
9-3【巩固】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
求出B1～B5的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
详解:
解：过点B作BH⊥y轴于H．

在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∠BAH=180°-120°=60°，AB=OA=3，
∴∠ABH=30°，
∴AH=AB=，
∴由勾股定理得：BH=，
∵AO=AB，∠OAB=120°，
∴∠BOH=30°，
∴OB=2BH=，
∴B（，），
由题意B1（-，），B2（-，0），B3（-，-），B4（，-），B5（，0），…，6次一个循环，
∵2021÷6=336…5，
∴B2021（，0），
故选：A．
点睛:
本题考查坐标与图形变化-旋转，含30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
9-4【巩固】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由点的旋转周期为4知点旋转2021次后的坐标与旋转1次后的坐标相同，再结合图形得出点旋转1次后的坐标即可得．
详解:
解：，
每4次一个循环，第2021次绕原点顺时针旋转结束时，相当于绕点顺时针旋转1次，
，，
等边三角形的边长为1，
第2021次旋转结束时，顶点的坐标为，．
故选：D．
点睛:
本题考查了坐标与图形变化旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
9-5【提升】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
过点D作轴，垂足为N，证明．求出点D的坐标为．进一步求出点M的坐标为．分析可知点M旋转一周需要旋转（次），利用，，可知第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．故可知点M的坐标为．
详解:
解：∵，，
∴，．
过点D作轴，垂足为N，如解图所示，

则．
∵四边形ABCD为正方形，
∴，．
∴．
∴．
∴，．
∴点D的坐标为．
∵点M为BD的中点，
∴点M的坐标为．
由题意，可知正方形ABCD绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，点M也绕着原点O逆时针旋转，每次旋转45°，则点M旋转一周需要旋转（次）．
又∵，，
∴第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．
∴第2022次旋转结束时，点M的坐标为，
故选：D．
点睛:
本题考查坐标与旋转规律，正方形性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解第2022次旋转结束时和第6次旋转结束时，点M的坐标相同，且此时点M的位置就是绕点O逆时针旋转270°（或顺时针旋转90°）的位置．
9-6【提升】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
分别求出旋转后点A的对应点的位置及到原点O的长度，发现规律：如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，由此得到答案．
详解:
解：由已知可得：
第一次旋转后，点A1在第一象限，OA1=22，
第二次旋转后，点A2在第二象限，OA2=23，
第三次旋转后，点A3在x轴负半轴，OA3=24，
第四次旋转后，点A4在第三象限，OA4=25，
第五次旋转后，点A5在第四象限，OA5=26，
第六次旋转后，点A6在x轴正半轴，OA6=27，
如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而，
∴点在x轴正半轴，且OA2022=22023，
∴点的坐标为，
故选：C．
点睛:
此题考查了坐标的规律计算，正确计算发现规律并运用规律解决问题是解题的关键．
10-1【基础】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
B、D选项中表示小明爸爸追上小明不需要耗费时间，直接能追上，但是以上计算得小明爸爸追上小明所用时间为1分钟，不合题意，小明爸爸按原速度回家，到家所用时间为1分钟，故表示小明爸爸的函数图像与x轴交于 (8，0)，C选项错误，故选A.
详解:
解：由题意得小明以每分钟60米的速度去学校，出发5分钟后小明走了5×60= 300(米)
此时，小明爸爸出发以每分钟360米的速度去追小明，
∴此时二人的速度差为360- 60 = 300(米/分钟)
二人此时相差300米，
小明爸爸追上小明所用时间为 1分钟，
小明又走了60×1 = 60(米)，
∴小明爸爸追上小明的时候，他们离家的路程为300＋60=360(米)，小明离家的时间为5＋1 = 6(分钟)，
∴图中第一个两线交点为(6，360)，
B、D选项中表示小明爸爸追上小明不需要耗费时间，直接能追上，但是以上计算得小明爸爸追上小明所用时间为1分钟，不合题意，故B、D选项错误；
小明爸爸追上小明后小明在路上耽误了1分钟，则再次出发时为第6＋1=7(分钟)，
∵小明爸爸按原速度回家，
∴小明爸爸到家所用时间为 =1(分钟)，
∴表示小明爸爸的函数图像与x轴交于(7＋1，0)，即(8，0)，
后面小明再次出发到学校花费了8分钟，
∴小明到学校总共花费了7＋8 = 15(分钟)，表示为图中坐标(15，1000)，故A选项正确，故C选项错误.
故选：A.
点睛:
此题考查了行程问题中的函数图像，会看函数图像，理解图像中的特殊点表示的实际意义是解答此题的关键.
10-2【基础】 【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
观察图象可得A、B两地相距千米，则A正确；分别求出两车的速度，可得B正确；用A、B两地的距离除以货车的速度，可得C正确；设两车行驶t小时相遇，则，可得交点M的坐标是，可得D错误，即可求解．
详解:
解：A、根据题意得：A、B两地相距千米，故本选项正确，不符合题意；
B、客车的速度为千米/时，货车的速度为千米/时，则客车速度比货车速度快60-40=20千米/时，故本选项正确，不符合题意；
C、货车到达A地的时间为小时，故本选项正确，不符合题意；
D、设两车行驶t小时相遇，则，解得：，此时客车离C站的距离为千米，所以交点M的坐标是，故本选项错误，符合题意；
故选：D
点睛:
本题主要考查了从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10-3【巩固】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
详解:
解：由题意可得，
a=4+0.5=4.5，故①正确，
甲的速度是：460÷（7+）=60km/h，故②正确，
设乙刚开始的速度为xkm/h，则4x+（7-4.5）×（x-50）=460，得x=90，
故③不正确，
设经过bmin，乙追上甲，
90×=60×，
解得，b=80，
故④正确，
故选B．
点睛:
本题考查一次函数的应用，列一元一次方程解应用题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
10-4【巩固】 【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
（1）读图2知，最低点即为点P运动到BC中点处；
（2）如下图，当点P为BC中点时，得BP=4，OP=3，OP⊥BC
详解:
如下图所示

∵当BP=4时，OP距离最短，即OP⊥BC
∴根据矩形性质知，BP=PC=4，2OP=AB=6
∴AB=6，BC=8,
∴矩形面积为：6×8=48
故选：C
点睛:
本题是一道综合题，首先需要根据图2读懂(4，3)的意义，再结合矩形性质求解.
10-5【提升】 【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时△H AF的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
详解:
当点H在AB上时，如图所示，

，
，此时三角形面积随着时间的增大而增大；
当点H在BC上时，如图所示，HP是的高，且，

，此时三角形面积不变；
当点H在CD上时，如图所示，HP是的高，C、D、P三点共线，

，点H从点C到点D运动，HP逐渐减小，此时三角形面积不断减小；
当点H在DE上时，如图所示，HP是的高，且，

，此时三角形面积不变；
当点H在HF上时，如图所示，

，点H从点E到点F运动，HF逐渐减小，此时三角形面积不断减小直至0；
对照图2，可得时，点H在AB上，
，
，①正确；
当时，点H在BC上，此时三角形面积不变，
点H从点B到点C运动用时为，
，②错误；
当时，点H在CD上，此时三角形面积逐渐减小，
点H从点C到点D运动用时为，
，
，
在D点时，的高与EF相等，即HP=EF，
，③正确；
当时，点H在DE上，
，
点H从点D到点E运动用时为，
，④错误；
当的面积为时，点H在AB或CD上，
点H在AB上时，，解得，
点H在CD上时，， 解得，
，
从点C到点H运动用时为，
从点A到点C运动用时为，
此时共用时，⑤错误；
综上，正确的有2个，
故选：A．
点睛:
本题是动点函数的图象问题，考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
10-6【提升】 【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据图中相关信息即可判断出正确答案.
详解:
解：图2知：当 时y恒为10，
∴当 时，点Q运动恰好到点B停止，且当 时点P必在EC上，
故①正确；
∵当 时点P必在EC上，且当 时，y逐渐减小，
∴当 时，点Q在点B处，点P在点C处，此时

设 则
在 中，由勾股定理得：
解得：

故②正确；
当 时，由 知点P在AE上，过点P作 如图：





故③正确；
当 时，
不是等腰三角形，故④不正确；
当时，点P在BC上，点Q和点B重合，
故⑤ 不正确；
故选B．
点睛:
本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意，读懂图像信息，灵活运用所学知识是解题关键，属于中考选择题中的压轴题.
11-1【基础】 【正确答案】 （答案不唯一）
【试题解析】 分析:
根据函数的性质可知，当时，随着的增大而增大，可得答案．
详解:
解：由题意知，函数，在时，随着的增大而增大，
故答案为：．
点睛:
本题考查了函数的性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．
11-2【基础】 【正确答案】 ＞
【试题解析】 分析:
根据一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，可得，则一次函数y＝kx+b中，y随x增大而减小，由此即可得到答案．
详解:
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣3x平行，
∴，
∴一次函数y＝kx+b中，y随x增大而减小，
∵-2<3，
∴，
故答案为：＞．
点睛:
本题主要考查了一次函数函数值比较大小，解题的关键在于能够根据题意得到．
11-3【巩固】 【正确答案】 y1>y2
【试题解析】 分析:
根据一次函数的增减性进行作答即可.
详解:
解：∵在y=-2x+b，-2＜0
∴y随x的增大而减小
又∵x1 ∴y1>y2
点睛:
本题考查了一次函数的增减性，即：对于y=kx+b，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小；
11-4【巩固】 【正确答案】 （答案不唯一）
【试题解析】 分析:
此函数可以是一次函数，设函数解析式为，利用函数经过第一、二、三象限可得，．
详解:
解：由题意可知：此函数可以是一次函数，
设函数解析式为，
∵函数经过第一、二、三象限
∴，．
∴函数解析式可以是，满足在第三象限内函数值随自变量的增大而增大的条件
故答案为：．
点睛:
本题考查一次函数的图象及性质，要求掌握根据解析式判断其经过的象限，会分析函数的增减性．
11-5【提升】 【正确答案】 k＜0.5
【试题解析】 分析:
由一次函数的图象与性质可知，对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．根据题意令2k﹣1＜0求解即可．
详解:
解：∵一次函数y＝（2k﹣1）x+2的y随x的增大而减小，
∴2k﹣1＜0，
解得：k＜0.5，
故答案为：k＜0.5．
点睛:
本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）中，其中k的正负决定了函数的增减性，b的取值决定了函数图象与y轴的交点．
11-6【提升】 【正确答案】 -3
【试题解析】 分析:
根据一次函数的性质即可得答案．
详解:
∵一次函数中，＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴当x=-3时，y有最小值，最小值为=-3，
故答案为：-3
点睛:
本题考查一次函数的性质，对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
12-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
由得，结合且不等式组的解集为可得答案．
详解:
解：由，得：，
又，且不等式组的解集为，
，
故答案为：．
点睛:
本题考查的是解一元一次不等式组和数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
详解:
解：由，得： ，
由，得： ，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
点睛:
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12-3【巩固】 【正确答案】 3.5≤x≤5
【试题解析】 分析:
根据被开方数为非负数，进而求解即可．
详解:
解：由题意，得
，
解得3.5≤x≤5．
故答案为：3.5≤x≤5．
点睛:
本题考查了二次根式被开方数的非负性，解一元一次不等式组求解集，解决问题的关键是正确地计算能力．
12-4【巩固】 【正确答案】 三
【试题解析】 分析:
解关于m的一元一次不等式组，得到m的范围，即可判断直线经过的象限．
详解:
解：解不等式组，得-2 ∴直线y=mx+1直线经过第一、二、四象限，不过第三象限．
故答案是：三．
点睛:
本题主要考查了一次函数的性质与一元一次不等式组，根据不等式组的解集的确定方法首先确定m的范围是解决本题的关键．
12-5【提升】 【正确答案】 －1
【试题解析】 分析:
先根据新定义，列出不等式组，再解不等式组，求出其解集，即可得出答案．
详解:
解：由题意，得，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的最小整数解为，
故答案为：．
点睛:
本题考查新定义，求解不等式组的整数解，根据新定义，列出不等式组是解题的关键．
12-6【提升】 【正确答案】 -2
【试题解析】 分析:
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出最大整数解即可．
详解:
解：由得：a＜-1，
由得：a＜，
∴不等式组的解集为a＜-1，
则不等式组的最大整数解是-2．
故答案为：-2．
点睛:
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
13-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
详解:
画树状图如下：

从树状图可得，共有12种等可能结果，A小区被分在第一批的有6种，A、B两个小区被分在第一批的有2种，
A、B两个小区被分在第一批的概率为，
故答案为：
点睛:
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意画树状图可进行求解概率．
详解:
解：把4种花分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好是“玫瑰”和“月季”的结果有2种，
∴拿走的恰好是“玫瑰”和“月季”的概率为；
故答案为．
点睛:
本题主要考查概率，熟练掌握利用画树状图进行求解概率是解题的关键．
13-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
画树状图，共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的数字之和为偶数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
详解:
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中取出的两个球上的数字之和为偶数的结果有8种，
∴取出的两个球上的数字之和为偶数的概率．
点睛:
此题考查了树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13-4【巩固】 【正确答案】 或0.25
【试题解析】 分析:
根据列表法求解，根据勾股数进而判断得到的数字与5能组成直角三角形的情形为3种，即可求解．
详解:
列表如下，

3
4
5
12
3
3，3
3，4
3，5
3，12
4
4，3
4，4
4，5
4，12
13
13，3
13，4
13，5
13，12
共有1种等可能结果，其中能与数字5组成直角三角形的有3，4；4，3；12，13共3种情形，故得到的数字与5能组成直角三角形的概率是．
故答案为：．
点睛:
本题考查了列表法或树状图求概率，勾股数，掌握求概率的方法是解题的关键．
13-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
采用列表法列举即可求解．
详解:
根据题意列表如下：

由表可知总的情况有12种，抽到“冰墩墩”（B）和“雪容融”（C）的情况有2种，
则恰好是冰墩墩和雪容融的概率为：2÷12=，
故答案为：．
点睛:
本题主要考查了用列举法求解概率的知识，正确理解题意列出列表是解答本题的关键．
13-6【提升】 【正确答案】 ①②③
【试题解析】 分析:
利用树状图得出三人分别赢得概率，然后依次判断即可．
详解:
解：画树状图得：

所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
点睛:
题目主要考查利用树状图求概率，熟练掌握运用树状图求概率的方法是解题关键．
14-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意阴影部分面积可以用扇形DAE面积，减去△AFE的面积即可．
详解:
解：∵四边形ABCD是菱形，，AB=AE，
∴，且AC平分∠DAB，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴△AFE等腰三角形，
在△AFE中，过点F作FG⊥AE于点G，如图，

则有AE=2AG，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
点睛:
本题主要考查了菱形的性质、三角函数解直角三角形、扇形面积的计算、阴影面积求法等相关知识点，根据题意找到等量关系，分步求解是解题的关键点．
14-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
如图所示，过点E作EF⊥BD于F，先求出，然后证明BE=DE，得到，则，再根据求解即可．
详解:
解：如图所示，过点E作EF⊥BD于F，
∵D是弧AC的中点，
∴，
∵，
∴∠EDB=∠ABD=30°，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴BE=DE，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．

点睛:
本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，弧与圆心角之间的关系，扇形面积，解直角三角形，根据题意得到△DEF是等腰三角形是解题的关键．
14-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
连接OC，OD，AD，BC，过点C作CH⊥OB于H，则△OBC，△OAD均为等边三角形，可得扇形OAD和扇形OBC的圆心角，由∠AOB可得∠COD，再根据阴影面积=弓形OC面积+弓形OD面积+扇形COD面积计算求值即可．
详解:
解：如图，连接OC，OD，AD，BC，过点C作CH⊥OB于H，

∵，
∴△OBC，△OAD均为等边三角形，
∴
∵，
∴，
△COB是等边三角形，CH⊥OB，则CH=OCsin∠COB=2×=，
∴△OBC面积=OB•CH=×2×=，
∵扇形OBC和扇形OAD面积相等，△OBC面积和△OAD面积相等，
∴弓形OC面积=弓形OD面积，
∴
，
故答案为：．
点睛:
本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积计算；正确作出辅助线是解题关键．
14-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
连接OD，BD，先证明为等边三角形，由三线合一可知，由锐角三角函数的知识求出CD、CE的长，然后根据求解即可．
详解:
解：连接OD，BD，如解图所示．

在扇形OBA中，
∵，点D为的中点，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
又∵C为线段OB的中点，
∴，．
所以在中，，
∴．
∵，，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
点睛:
本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，弧、弦、圆心角的关系，以及扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
14-5【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
阴影部分面积为扇形面积减去白色四边形的面积，关键是求四边形OECD的面积，因此作辅助线，构造规则图形计算面积，最后用扇形面积减去四边形OECD的面积即可．
详解:

连接OC，作FE⊥OA，垂足为F，交OC于点G，作GH⊥OB,垂足为H，
∵C为 中点，
∴OC平分 ,
∴GF=GH,设GH=x，则GF=x，
∵，
∴ ,
∴ ,
又∵GH⊥OB,
∴,
∴,
∴
∴由勾股定理得，
∴，
∴,
∴，
连接ED，交OC于点,
∵ ,
∴ 为等腰直角三角形，
又∵OE=OD,
∴DE⊥OC，
在和中，
∵
∴,
∴,
∴是Rt△CED斜边的中线，
∴,
设，则，
∵,
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
解得，
∴,
,,
∴,
,
∴S扇形OBA= ，
∴S阴影=S扇形OBA-．
点睛:
本题考查扇形中不规则阴影面积的计算，解直角三角形，角平分线的性质，弧弦圆心角的关系，勾股定理，解题关键是将不规则四边形面积转化为规则图形求面积．
14-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据网格的特点找到过点的圆的圆心，进而根据已知条件与圆周角定理求得，关于阴影部分面积面积等于即可求解．
详解:
如图，

根据网格的特点找到的垂直平分线与的垂直平分线，交于点，连接，
，
，
，
阴影部分面积面积等于


．
故答案为：．
点睛:
本题考查了圆周角定理，求扇形面积公式，确定圆心是解题的关键．
15-1【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
连接BD，根据旋转的性质可得BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，CA＝CE，∠ACE＝90°，从而求出BD，∠CAE＝∠E＝45°，进而可得∠BAD＝90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答．
详解:
解：连接BD，

由旋转得：
BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝，
由旋转得：
CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
由旋转得：
∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝1，
∴AD＝ ，
故答案为：．
点睛:
本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
15-2【基础】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
如图，连接 CD 、 C．首先证明△DC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理可知， CD = C=， D =CD即可解决问题．
详解:

如图，连接 CD 、 C．
在 Rt△ABC 中，
∵AC =12, BC =5，
∴AB = ==13，
∵△ACB，△C 都是直角三角形， BD = DA， = ，
∴CD =AB = ，C ＝=，
∵∠DC =∠BC =90°（旋转角相等），
∴△DC是等腰直角三角形，
∴D= CD =．
故答案为：．
点睛:
本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意旋转角相等的应用，属于中考常考题型．
15-3【巩固】 【正确答案】 ①②④
【试题解析】 分析:
利用旋转的性质得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，则可得△CBF为等腰直角三角形，于是可对①②进行判断；由于直线DF垂直平分AB，则FA＝FB，BE＝AE，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根据三角形内角和可计算出∠CEF，从而可对③进行判断；利用旋转性质得，则利用三角形面积公式计算即可对④进行判断．
详解:
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，
∴△CBF为等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝，∠CBF＝45°，故①②正确；
∵直线DF垂直平分AB，
∴FA＝FB=，BE＝AE，
∴∠BAF＝∠ABF．
∵∠BFC＝∠BAF +∠ABF＝45°，
∴∠BAF＝22.5°，
∵CE为Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠BAF＝22.5°，
∴，故③错误；
∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，
∴．
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
点睛:
本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边中线的性质等知识．掌握旋转前、后的图形全等是解题关键．
15-4【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据旋转的性质得到OA是的平分线．设，则．基于△AOB的面积建立等积式，得到，列方程，求出x即可．
详解:

由知，，．
由旋转知，OA是的平分线．
设，则．
基于△AOB的面积建立等积式：．
∴．
代换得．
整理得．
解得或（舍去）．
∵．
∴．
故答案为：．
点睛:
此题考查了旋转的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，正确理解并应用角平分线性质定理建立勾股定理的等式是解题的关键．
15-5【提升】 【正确答案】 或
【试题解析】 分析:
分两种情况进行讨论，当点落在点C右侧时，当点落在点E左侧时，过点D作交于点，根据勾股定理，中位线定理，平行线分线段成比例定理求出和的长度即可得出答案．
详解:
解：当点落在点C右侧时，过点D作交于点，

∵△ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴根据等边三角形三线合一可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵将△ADC绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴；
当点落在点E左侧时，过点D作交于点，

同理可得，，
∴ ，
故的长为或，
故答案为：或．
点睛:
本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关基础知识，熟练运用相关定理是解本题的关键．
15-6【提升】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
连接和，过作于，过作于，过作于，根据平行四边形性质以及旋转角为，可得，在中，得到，在中，得到，利用勾股定理求出，再求出，进而求出、、，根据计算即可得到阴影部分的面积．
详解:
解：连接和，过作于，过作于，过作于，如图所示：

在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，
，
在中，，则，
在中，，则，
，
，
，，
，
在中，，则，
，
，
，
，
故答案为：．
点睛:
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
16-1【基础】 【正确答案】 1、；
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据二次根式的性质、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则进行化简，然后再进行运算即可；
（2）根据分式混合运算法则进行化简计算即可．
解：







点睛:
本题主要考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的意义、负整数指数幂的运算法则和分式混合运算法则，是解题的关键．
16-2【基础】 【正确答案】 （1）6；（2）；
【试题解析】 分析:
（1）根据绝对值的化简，负整数指数幂，正切三角函数值计算求值即可；
（2）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分即可；
详解:
解：（1）原式；
（2）原式

；
点睛:
本题考查了实数的混合运算，分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．
16-3【巩固】 【正确答案】 1、-4 2、
【试题解析】 分析:
（1）分别根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、立方根及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简计算即可．
解：原式＝－2＋1－3
＝-4
原式＝
＝
＝
点睛:
本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
16-4【巩固】 【正确答案】 （1）；（2）
【试题解析】 分析:
（1）根据绝对值的化简、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根的运算法则即可求出答案．
（2）先计算括号内的分式异分母减法运算，再计算分式的除法即可求出答案．
详解:
解：（1）

；
（2）


点睛:
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及实数的运算法则，本题属于基础题型．
16-5【提升】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据实数的计算和特殊角的三角函数值，将每一项的结果计算出来，再进行计算即可；
（2）根据分式的混合运算进行计算即可．
；






点睛:
本题考查实数的计算及分式的化简，正确掌握各种计算法则是解题的关键．
16-6【提升】 【正确答案】 （1）-2；（2）
【试题解析】 分析:
（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果．
详解:
解：（1）－tan60°
=2+1－－3－
=－2；
（2）



．
点睛:
本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的混合运算，分式的混合运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．
17-1【基础】 【正确答案】 1、九年级学生的测试成绩更好一些，见解析
2、270 3、答案不唯一，见解析
【试题解析】 分析:
（1）先根据统计图和信息二求出八年级成绩众数、中位数、优秀率，再与九年级的比较即可得出答案；
（2）用全校九年级学生总数乘以九年级抽取的人数中的优秀率，即可计算出答案；
（3）根据调查结果数据分析，给出建议即可．
解：由统计图和信息二可知，八年级成绩众数是73；
八年级的中位数是第10、11位数分别是74、76，
∴八年级测试成绩的中位数为，
八年级学生测试成绩达到优秀的有5人，优秀率为；
∵九年级学生测试成绩的中位数、众数、优秀率均大于八年级，
∴九年级学生的测试成绩更好一些；
解：（人），
故答案为：270；
解：例如：该校大部分学生对火星知识的测试成绩不理想；建议①：该校各学科授课老师要引导学生多加关注我们社会主义建设的新成果，增强爱国主义教育；建议②：建议学生多关注我们前沿科技的相关知识．
点睛:
本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，中位数，众数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
17-2【基础】 【正确答案】 1、50 2、图见解析，108°
3、①保留短视频；②加强管控与引导．（答案不唯一）
【试题解析】 分析:
（1）根据B的人数与所占比例即可求解；
（2）根据总人数减去A，B，D类的人数可得C的人数，进而补全统计图，根据A的人数除以50再乘以360°即可求解；
（3）根据扇形统计图数据结合题意给出合理化建议即可．
本次参加抽样调查的居民有人，
故答案为：50；
C的人数为（人）
补全条形统计图如下：

扇形统图中A所对圆心角的度数为：
①保留短视频；②加强管控与引导．（答案不唯一）
点睛:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17-3【巩固】 【正确答案】 （1）③；17％；（2）见解析
【试题解析】 分析:
（1）根据中位数的定义即可得到其所在小组；利用达到9小时的学生数除以500即可得出其所占百分比；
（2）根据平均每天睡眠时间统计图依次分析即可；根据影响学生睡眠时间的主要原因统计图制定对应的措施即可．
详解:
解：（1）由于共有500人，因此中位数应为该组数据按从小到大或从大到小排列的第250和251个数据的平均数，由平均每天睡眠时间统计图可知，应位于第③组；
∵达到9小时睡眠的人数为85人，
∴其所占百分比为：；
故答案为：③；17％．
（2）该校学生睡眠情况为：该校学生极少数达到《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中的初中生每天睡眠时间应达到 9 小时的要求，大部分学生睡眠时间都偏少，其中超过一半的学生睡眠时间达不到8小时，约4％的学生睡眠时间不到6小时．
建议：①减少校外学习任务时间，将其多出来的时间补充到学生睡眠中去；
②减轻校内课业负担，提高学生的学习效率，规定每晚各科作业总时间不超过90分钟等（本题答案不唯一，回答合理即可）．
点睛:
本题考查了统计的应用，涉及到了中位数的定义、从统计图中获取相关信息、根据图表信息制定合理建议等内容，解决本题的关键是读懂题意，能从统计图中获取对应信息，同时牢记相关定义等，本题属于开放型试题，最后一题答案不统一，但回答应与题干信息相吻合等，本题考查了学生分析问题与解决问题的能力．
17-4【巩固】 【正确答案】 （1）120；（2）补全条形统计图如图所示见解析；（3）估计该校九年级学生每天吃早餐的人数大约是600人；（4）学校开展健康讲座，针对不吃早餐对身体的伤害讲解，建议学生每天吃早餐（答案不唯一）
【试题解析】 分析:
（1）根据统计图可知组别A的人数，根据统计表可知组别A所占的百分比，二者相除即可得出总人数；
（2）先求出组别C所占的百分比，进而求出其人数，再减去5，可得到C组女生数，根据数量即可补图；
（3）用该校九年级人数乘以样本每天吃早餐的百分比，即可估计出九年级每天吃早餐的人数；
（4）根据图表信息，提出一条合理的建议即可.
详解:
解：（1）（20+10）÷25%＝120（人），
答：本次接受调查的总人数为120人；
（2）C组所占的百分比为：1-25%－12.5%-50%＝12.5%，
C组人数为：120×12.5%＝15（人），
∵C组男生为5人，
∴C组女生为：15-5＝10（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）1200×50%＝600（人），
答：估计该校九年级学生每天吃早餐的人数大约是600人；
（4）学校开展健康讲座，针对不吃早餐对身体的伤害讲解，建议学生每天吃早餐（答案不唯一）.
点睛:
本题考查了统计图、统计表相关知识.根据图表得出相关信息是解题的关键.
17-5【提升】 【正确答案】 （1）18；7；8.5；（2）乙设计院；乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院；（3）34
【试题解析】 分析:
（1）计算出扇形统计图中C组数据所对应的圆心角，再根据题意确定a、b的值；
（2）根据题目中的数据，判断出甲、乙两个设计院中哪个设计院的桥梁安全性更高，然后写出一个合理的理由即可；
（3）根据题目中的数据确定2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数即可.
详解:
解：（1）扇形统计图中D组数据所对应的圆心角是：，，
，则乙组第10个数据和第11个数据是8，9，
故
故填：18，7，；
（2）乙设计院的桥梁安全性更高，因为乙设计院的桥梁抗倾覆系数的平均数、中位数、众数均高于甲设计院．
故填：乙设计院的平均数和众数都高于甲设计院；

则2018年至2019年两设计院的不安全桥梁的总数34．
点睛:
本题考查扇形统计图、条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体等知识点，明确题意并从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是解答本题的关键．
17-6【提升】 【正确答案】 1、100，91 2、304人
3、甲班，理由见解析
【试题解析】 分析:
(1)把甲班15名同学成绩出现次数最多的找出来即可得到a值，因为乙班的中位数是把15位同学成绩排序后的第8位，所以从表中可以看出，中位数即为中的第二个数；
（2）先计算甲乙两班的优秀率，再乘以九年级总人数即可得解；
（3）比较甲乙两班所抽人数的平均数、中位数、众数、方差等值即可得到解答．
通过观察，可以看出：甲班15名同学的成绩中，有两个人为100分，其他分数对应的人数都为1，所以a=100；
由中位数的意义可知，乙班的中位数是把15位同学成绩排序后的第8位，从表中可以看出，中位数即为中的第二个数，即b=91，
故答案为100，91；
（人）
所以估计参加共青团知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有304人；
甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数、中位数、众数均大于乙班，而方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定．
点睛:
本题考查数据的收集、整理与分析，熟练掌握数据有关指标的意义、计算方法和作用是解题关键．
18-1【基础】 【正确答案】 1、见解析 2、
3、y1＞y2，理由见解析
【试题解析】 分析:
（1）描点、连线即可画出相应函数的图象；
（2）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（3）根据函数图象得出其增减性，进而解答．
解：函数图象如图所示：
由函数图象可知，y与x成反比例关系，
设函数表达式为，
把x＝1，y＝6代入，得k＝6，
∴，
将其余各组数据代入验证均成立，
∴函数表达式为：；
y1＞y2；
理由：由函数图象可得，在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴y1＞y2．
点睛:
本题考查画函数图象、反比例函数的图象和性质、待定系数法等知识，解题的关键掌握描点法作图，学会利用图象得出函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
18-2【基础】 【正确答案】 1、见详解 2、k=3
【试题解析】 分析:
整体分析：
（1）直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等；
（2）根据OA=3，sin∠OAB=求出B的坐标，再由M是AB的中点，求点M的坐标.
解：如图所示：作AB的垂直平分线，垂足为M，点M，即为所求；连结OM，
点M为AB中点，
∴AM=BM，
∵△AOB为直角三角形，
∴OM=AM=BM，
∴点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，
解：∵sin∠OAB=，
∴设OB=4x，AB=5x，
由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2，
解得：x=1，
∴OB=4，由B（4，0），
由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2，）．
∴k=3
点睛:
本题考查尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握尺规作图，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数，勾股定理是解题关键．
18-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据点E是AB上靠近点A的三等分点，求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式，求出k的值即可
（2）根据反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界）可求出n的最大值即可解决问题．
∵正方形ABCD的边AD在x轴上，点B的坐标为（-2，3）且点E是AB上靠近点A的三等分点，
∴
∵反比例函数经过点E，
∴
∴k=-2，
∴反比例函数的解析式让国
∴点B的坐标为（-2，3）
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
对于反比例函数在第二象限内，y随x的增大而增大，
∵反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界），
∴当和两点重合时，n的最大值为1，如图，

此时，
∴△POD面积的最大值为：
点睛:
本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及反比例函数的性质，根据反比例函数图象上的一个动点在正方形ABCD的内部（含边界）确定n的最大值是解答本题的关键．
18-4【巩固】 【正确答案】 1、
2、
【试题解析】 分析:
（1）根据待定系数法确定一次函数关系式，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用待定系数法确定反比例函数关系式即可得到结论；
（2）设点C的坐标为，由于轴，得到点D的坐标，表示出，根据二次函数性质即可得出的面积的最大值．
解：把点代入，得，
∴一次函数的解析式为，
把点B（1，m）代人，得，
∴点B的坐标为（1，8），
把点B（1，8）代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
，
∴当时，，
答：的最大值为．
点睛:
本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键．
18-5【提升】 【正确答案】 1、点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），反比例函数解析式为
2、或
3、（0，8）或（0，-8）
【试题解析】 分析:
（1）先利用一次函数的性质求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围进行求解即可；
（3）分点M在C点上方和在C点下方两种情况分类讨论求解即可．
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），
∴，即，
∴反比例函数解析式为；
解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
解：如图1所示，当点M在C点上方时，
∵，∠CMD+∠CDM=∠OCD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
∵直线交轴于点，交轴于点，
∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（-4，0），
∴OC=3，OD=4，
∴，
∴CM=5，
∴点M的坐标为（0，8）；

如图2所示，当点M在C点下方，即在M1处时，则，
∴，
又∵，
∴，
∴点的坐标为（0，-8）；
综上所述，若，点M的坐标为（0，8）或（0，-8）．

点睛:
本题主要考考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，图象法解不等式，熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
18-6【提升】 【正确答案】 （1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析
【试题解析】 分析:
（1）由图可知，点A为（3，2），把点A分别代入解析式，即可求出答案；
（2）由反比例函数的性质可知，点B为；
（3）①根据的面积为12，结合三角形的面积公式，即可得到点C的坐标；
②结合点C坐标作图．
详解:
解：（1）由图可知，点A为（3，2），则有
，
∴；
故答案为：；；
；

∵，
∵点A（3，2），B（，2），
∴，，
∴在如图的网格中可以画出的点有个，它们的坐标分别为
只需画出四个即可；
．
点睛:

本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形．
19-1【基础】 【正确答案】 楼房AB的高度为13.7米
【试题解析】 分析:
过E作EF⊥AB于F，得到四边形BDEF是矩形，根据矩形的性质得到EF＝DB，BF＝DE，解直角三角形即可得到结论．
详解:
过E作EF⊥AB于F，
则四边形BDEF是矩形，
∴EF＝DB，BF＝DE，
在Rt△CDE中，∵∠EDC＝90°CE＝6，∠DCE＝30°，
∴DE＝3，CD＝，
设BC＝x，
∵∠AEF＝45°，
∴EF＝AF＝BD＝+x，
∴AB＝AF+BF＝3++x，
在Rt△ABC中，tan68°＝＝＝2.48，
解得：x≈5.5，
经检验x=5.5是所列方程的解，
∴AB＝3++x≈13.7米，
答：楼房AB的高度为13.7米．

点睛:
本题是一道关于解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题目将实际问题转化为解直角三角形的问题是解此题的关键.
19-2【基础】 【正确答案】 C点距离雷达站D是km．
【试题解析】 分析:
先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可．
详解:
在Rt△ABD中,cos∠BDA＝,
∴AD＝4×＝ (km)；
在Rt△ACD中,cos∠CDA＝,
∴CD＝＝ (km)．
∴C点距离雷达站D是km．
点睛:
本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合．
19-3【巩固】 【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意可得设的高度为，由题意知，在中，，进而根据，解方程即可求解．
详解:
如图，由题意可知，．
设的高度为，由题意知，在中，，
在中，．
∴．
由题意可得．
即
解得．
答：的高度约为．

点睛:
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．
19-4【巩固】 【正确答案】 6.4米
【试题解析】 分析:
延长，交于点，则，解，求出的长，解，求出的长，进而求出的长．
详解:
延长，交于点，则，

由题意：，，米，米，
由于四边形是矩形，
∴米，
在中，，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∵，
∴，
∴(米)．
答：显示屏的高度约为米．
点睛:
本题考查的是利用锐角三角函数知识解直角三角形，构造合适的直角三角形求出相应的线段是解本题的关键．
19-5【提升】 【正确答案】 （1）106cm；（2）能碰到，见解析
【试题解析】 分析:
（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；
（2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．
详解:
解：（1）过点C作于点P，
过点B作于点Q，如图1，
，
，
在中，， ．
，
．
∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm．


（2）能．
理由：当点B，C，D共线时，如图2，
，，
在中，，
．
手臂端点D能碰到点M．

点睛:
本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力．
19-6【提升】 【正确答案】 1、
2、该方案理论上可行，理由:飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，故可行．（答案不难一，合理即可）
3、数学兴趣小组要完成一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．（答案不唯一，合理即可）
【试题解析】 分析:
（1）根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BE和AE的长，进行计算即可求解；
（2）根据飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，即可判断；
（3）一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．
解：由题意，可知，，．
在中，，，
∴，
在中，，，
∴．
∴．
答：花园口某处黄河的宽度约为．
答：该方案理论上可行，理由:飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，故可行．（答案不难一，合理即可）
答：数学兴趣小组要完成一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．（答案不唯一，合理即可）
点睛:
本题主要考查了解直角三角形的实际应用和锐角三角函数，掌握以上知识点并应用到实际问题里是做出本题的关键．
20-1【基础】 【正确答案】 1、每支铅笔3元，每支水笔2元．
2、商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【试题解析】 分析:
（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验；
（2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出费用关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润．
解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元，
由题意可得： ，
解得，x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴每支铅笔3元，每支水笔2元．
解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支，
由题意可得，a+2a+60≤360，
解得 a≤100，
总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60）
=2a+30
∵k=2>0，
∴W随a的增大而增大，
故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元），
所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
点睛:
本题考查方程、不等式、一次函数的综合，准确理解题意是解题的关键，分式方程易忘记检验，需要注意．
20-2【基础】 【正确答案】 （1）m＝100；（2）6种方案；（3）50＜a＜60时，应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；a＝60时，所有方案获利都一样；60＜a＜70时，应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双
【试题解析】 分析:
（1）根据用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同，列出方程求解即可；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21700元，且甲种运动鞋的数量不超过100双，列出不等式求解即可；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），然后利用一次函数的性质求解即可．
详解:
解：（1）依题意得，，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原分式方程的解，
∴m＝100；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得， ，
整理得
解得95≤x≤100，
∵x是正整数，
∴x的值可以为95，96，97，98，99，100，
∴一共有6种方案；
（3）设总利润为W，则W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x＝100时，W有最大值，W最大＝22000﹣100a，
即此时应购进甲种运动鞋100双，购进乙种运动鞋100双；
②当a＝60时，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案获利都一样；W最大＝16000；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x＝95时，W有最大值，W最大＝21700﹣95a；
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
点睛:
本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键在于准确理解题意，列出式子求解．
20-3【巩固】 【正确答案】 （1）A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W=50+20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双
【试题解析】 分析:
（1）设B种运动鞋的进价元，根据等量关系：用3200元购进A种运动鞋的数量=用2560元购进B种运动鞋的数量，列出分式方程并解分式方程即可；
（2）①根据总利润=A种运动鞋的利润+B种运动鞋的利润，即可列出W关于m的函数关系式；
②根据W与m的函数关系式及m的取值范围，可确定W的最大值．
详解:
（1）设B种运动鞋的进价元，则A种运动鞋的进价元，则

解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意．
∴
故A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双．
（2）①W=（250-100）+（180-80）（200-）=50+20000
即总利润W元关于的函数关系式为W=50+20000
②∵W=50+20000
∴50＞0， W随的增大而增大
又∵90≤≤105
∴当=105时，W取得最大值，200-=95
故要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双．
点睛:
本题考查了分式方程与一次函数的实际应用，对于分式方程的应用，关键是理解题意，找到相等关系并列出方程；对于一次函数的应用，关键是掌握它的性质．注意解分式方程要检验．
20-4【巩固】 【正确答案】 1、x的值是7，y的值是11；
2、①m的值是10；②W的最大值是1799.8元．
【试题解析】 分析:
（1）由题意列得二元一次方程组，解方程组即可解得x和y的值；
（2）①由题意列关于m的分式方程，解方程即可解得答案；
②确定第二次山竹、车厘子批发价和第一次销售收入后，再根据题意列出函数表达式即可求解．
解：由题意得：，
解得：，
答：x的值是7，y的值是11；
解：由题意得：第二次山竹批发价每斤7（1+2m%）元、车厘子批发价每斤11（1-m%）元；
①由题意得：，
解得：m=10，
经检验m=10是方程的根，
答：m的值是10；
②m=10时，第二次山竹批发价每斤7（1+2m%）=7×（1+20%）=8.4（元）；车厘子批发价每斤11（1-10%）=9.9（元）；
第一次销售收入为：100×10+300×15=5500（元），
∵第一次的销售收入全用于第二次水果批发，
∴8.4a+9.9a+16b=5500，
∴a=，
∵a为整数，b≥100，
∴b最小为115，
根据题意得：W=（10-8.4）a+（15-9.9）a+（20-16）b
=6.7a+4b
=6.7×+4b
≈2013.68-1.86b≤1799.8，
∴W最大值是1799.8，
答：W的最大值是1799.8元．
点睛:
本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用、分式方程的应用等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解或解集．
20-5【提升】 【正确答案】 1、“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；
2、购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．
【试题解析】 分析:
（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x-30）元，由题意：该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90-m）个，由题意：规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．列出一元一次不等式，解得m≤30，设销售利润为w元，再求出w=10m+2700，然后由一次函数的性质即可得出结论．
解：设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x30）元，
根据题意得：，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意，
∴x30=12030=90，
答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90m）个，
由题意得：m≤（90-m），
解得：m≤30，
设销售利润为w元，
由题意得：w=（120-80）m+（90-60）×（90-m）=10m+2700，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=30时，w的值最大=10×30+2700=3000，
此时，90m=60，
答：购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．
点睛:
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
20-6【提升】 【正确答案】 （1）2000元；（2）；（3）应购进A型车17辆，B型车33辆，才能使这批车获利最大，最大利润是48300元．
【试题解析】 分析:
（1）设去年4月份A型车每辆m元，那么今年4月份A型车每辆（m+400）元，根据总价=单价×数量结合今年与去年销售单价与销售总价间的关系，即可得出关于m的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购进的A型车为x辆，获得的总利润为y元，则购进的B型车为（50-x）两，根据总利润=每辆A型车的利润×购进辆数+每辆B型车的辆数×购进数量，即可得出y关于x的函数关系式；
（3）由B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的单调性即可解决最值问题．
详解:
解：（1）设去年4月份A型车每辆m元，那么今年4月份A型车每辆（m+400）元，
根据题意得：
，
解得：m=1600，
经检验，m=1600是方程的解，
∴m+400=2000．
答：今年4月份A型车每辆销售价为2000元．
（2）设购进的A型车为x辆，获得的总利润为y元，则购进的B型车为（50-x）两，
根据题意得：y=（2000-1100）x+（2400-1400）（50-x）=-100x+50000．
∴y 与 x之间的函数关系式为：；
（3）根据题意得：50-x≤2x，
解得：．
∵在中，，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=17时，可以获得最大利润，
此时．
答：应购进A型车17辆，B型车33辆，才能使这批车获利最大，最大利润是48300元．
点睛:
本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、解一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据销售数量相同列出关于m的分式方程；（2）根据总利润=每辆A型车的利润×购进辆数+每辆B型车的辆数×购进数量列出y关于x的函数关系式；（3）利用一次函数的单调性解决最值．
21-1【基础】 【正确答案】 （1）10；（2）；（3）当时，相对应的值为1或7，实际意义为当水平距离为或时，实心球飞行高度为
【试题解析】 分析:
（1）观察图象可得；
（2）设实心球飞行高度与水平距离之间函数解析式为，代入顶点坐标和可得；
（3）令，解之可得值．
详解:
解：（1）由图象可知，
实心球飞行的最远距离为，
故答案为：10；
（2）设实心球飞行高度与水平距离之间函数解析式为，
把顶点坐标代入得：
，
把代入得：
，
解得，
；
（3）当时，
，
解得，，
实际意义：
当水平距离为或时，实心球飞行高度为．
点睛:
本题考查二次函数的应用，解题的关键是利用顶点坐标求出函数解析式．
21-2【基础】 【正确答案】 （1）喷出的水流离地面的最大高度为2.25m；（2）水池半径至少为2.5m时，才能使喷出的水流不落在水池．
【试题解析】 分析:
（1）直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度；
（2）利用x=0求出y的值即可；
（3）利用y=0求出x的值，进而得出答案．
详解:
解：（1）∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y=-（x-1）2+2.25,
∴喷出的水流离地面的最大高度为：2.25m;
（2）当x=0，则y=-（0-1）2+2.25=1.25（m）,
答:喷嘴离地面的高度为1.25m;
（3）由题意可得:y=0时，0=-（x-1）2+2.25,
解得:x1=-0.5（舍去），,x2=2.5，
答:水池半径至少为2.5m时,才能使喷出的水流不落在水池外．
点睛:
本题主要考查了二次函数的应用,根据题意得出x=0以及y=0的意义是解题关键．
21-3【巩固】 【正确答案】 1、a的值为4，b的值为4
2、（1，3）；
3、0≤xM≤4且xM≠1
【试题解析】 分析:
（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点B的坐标为(-1，3)，再观察函数图象即可求解；
（3）分类求解确定MN的位置，进而求解．
解：∵抛物线的图象过点A（4，0）
∴解得：
∵直线的图象过点A（4，0）
∴解得：
答：a的值为4，b的值为4
解：由（1）得，抛物线解析式为，一次函数解析式为
∴解得：或（舍去）
∴点C坐标为（1，3）
由图象得不等式的解集为：
解：∵抛物线的对称轴是x=2，
∴当点M在点C时，M点（1，3）恰好与M点向右移动2个单位得到的N点（3，3）对称，
此时线段MN与抛物线有两个交点，
∴，
当点M在线段AB上，且M不在C点时，
∵M，N的距离为2，而A、B的水平距离4，故此时线段MN与抛线只有一个公共点，
∴，且
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
综上所述， ，且
点睛:
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中（3）分类求解确定MN的位置是解题的关键．
21-4【巩固】 【正确答案】 1、；
2、该车能安全通过．
【试题解析】 分析:
（1）以CD为x轴，垂直于CD中点的线为y轴，构建直角坐标系，然后根据对称轴是y轴设解析式，再将C点坐标代入即可求出解析式；
（2）先根据条件算出0.6÷2＋3.7＝4，再将x=4代入解析式，即可求出y值，再减去0.6的安全距离，就可以算出实际高度，再与车高进行对比就可以判断是否安全通过；
建立如图所示的平面直角坐标系

由题意知，设抛物线解析式为
∵矩形ABCD的边BC＝6m，AB＝16m
∴
把代入得：
∴抛物线解析式为：
该车能安全通过．
理由如下：∵0.6÷2＋3.7＝4，
∴当x＝4时，

∵7.5－0.6＝6.9，16÷2＝8，
又∵，，
∴该车能安全通过．
点睛:
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的解析式求法，并能根据二次函数的图象与性质解决实际问题是解答本题的关键．
21-5【提升】 【正确答案】 1、y＝x2+4x+1
2、m＞﹣3且m≠1 3、m且m≠c
【试题解析】 分析:
（1）根据抛物线平移规律，左加右减自变量，进行变换即可；
（2）找到特殊点坐标，数形结合，即可得出m的取值范围；
（3）由第（2）的特殊到一般的转化，进行推导即可.
y＝x2﹣4x+1
配方，得y＝（x﹣2）2﹣3，
向左平移4个单位，得y＝（x+2）2﹣3
∴平移后得抛物线的解析式为y＝x2+4x+1；
由（1）知，两抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），（﹣2，﹣3）
解，
得
∴两抛物线的交点为（0，1）
由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，
m＞﹣3且m≠1；
由y＝ax2+bx+c配方得y＝a（x）2；
向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为y＝a（x）2；
∴两抛物线的顶点坐标分别为，
解
得，
∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：
m且m≠c．
点睛:
本题主要考查抛物线的平移，以及根据二次函数的图象解决问题的能力.
21-6【提升】 【正确答案】 1、
2、或
3、
【试题解析】 分析:
（1）根据抛物线的顶点为，与轴交于点，利用待定系数法直接求解即可；
（2）由（1）中所求解析式，结合求不等式的解集就是求的解集，即轴上方抛物线的图像所对应的的取值范围，根据抛物线与轴的交点坐标，看图即可得出；
（3）根据题意，以为对称轴，作抛物线位于直线下方部分的轴对称图形，新图形与正方形有交点，只需对临界情况分两类作图分别进行讨论即可得到结论．
解：抛物线的顶点为，
，即，
抛物线与轴交于，则代入，解得，
∴抛物线的解析式为；
解：由（1）知抛物线的解析式为，
求不等式的解集就是求的解集，即轴上方抛物线的图像所对应的的取值范围，
结合图像，如图所示：

抛物线与轴的交点坐标为，
结合图像写出不等式的解集为或；
解：根据题意，以为对称轴，作抛物线位于直线下方部分的轴对称图形，新图形与正方形有交点，只需对临界情况进行讨论：
①对称图形的顶点刚好在正方形下边缘上，如图所示：

抛物线对称轴为，，，，
在对称轴，
根据对称可知，的中点也必在直线上，则；
②对称图形的顶点在正方形上边上方，如图所示：

抛物线与轴交点，，
根据对称可知，的中点也必在直线上，则；
以上情况属于最值的临界情况，因此综上所述可得．
点睛:
本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法确定函数关系式、利用图像解一元二次不等式、图像对称与图形交点问题等综合题型，掌握相关题型的解题方法，尤其是第三问涉及到利用临界条件分类讨论是解决问题的关键与难点．
22-1【基础】 【正确答案】 1、见解析 2、
【试题解析】 分析:
（1）连接OD，如图，根据切线的性质得OD⊥AC，则OD∥BC，根据平行线的性质证明∠DOE＝∠DOF，所以，从而得到结论；
（2）首先求出，再求出半径和圆心角即可．
解：连结OD，

∵AC与半圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：在Rt△ABC中，，，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
在Rt△AOD中，，
∴，，，
∴．
点睛:
题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形，弧长的计算，解决本题的关键是掌握切线的性质．
22-2【基础】 【正确答案】 （1）见详解；（2）①2；②
【试题解析】 分析:
（1）由题意易得∠D=∠AFE=90°，OA∥CD，则有∠AED=∠EAF，进而问题可求证；
（2）①由四边形为菱形可推出，进而可得△AOB是等边三角形，然后问题可求解；②由四边形为正方形可得，设，则有：，进而根据勾股定理可求解．
详解:
（1）证明：∵直线为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴OA∥CD，
∴∠AED=∠EAF，
∵为的直径，
∴，
∴∠D=∠AFE=90°，
∵AE=AE，
∴；
（1）①∵四边形为菱形，，
∴，OA∥CD，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=2，
故答案为2；
②∵四边形为正方形，
∴，
∴，
设，则有：，
∵OA=OB=2，
∴在Rt△OFB中，，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∴；
故答案为．
点睛:
本题主要考查切线的性质定理、正方形的性质及菱形的性质，熟练掌握切线的性质定理、正方形的性质及菱形的性质是解题的关键．
22-3【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、8
【试题解析】 分析:
（1）先连接，根据切线的性质得出，再直角三角形斜边的中线是斜边的一半得出，继而得出，从而得出即可；
（2）先连接、，得出四边形是矩形，得出，再根据三角函数即可求出BE的长．
证明：连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
连接、，
∵是直径，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∴．

点睛:
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理的推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，平行线的性质，判断出OE∥BD是解本题的关键．
22-4【巩固】 【正确答案】 1、见解析 2、6
【试题解析】 分析:
（1）连接ON，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，同位角相等两直线平行，证明，根据切线垂直于过切点的半径，最后可得证．
（2）利用O为直径CD中点，证明BN=BC，根据勾股定理求出BC即可求出．
证明：连接，
∵在中，CD为斜边AB的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵NE为的切线，
∴，
∴．
∵的半径为，
∴，
由（1）知，
在中，，
∴，
∵为的中点，，
∴N为BC的中点，
∴．
点睛:
本题考查了圆与三角形的综合，熟练掌握和运用直角三角形、圆的半径与直径、平行线的判定和性质是解题关键．
22-5【提升】 【正确答案】 1、见解析； 2、①；②
【试题解析】 分析:
（1）连接OC，由切线的性质可证∠OCB＋∠BCE＝90°，由直角三角形两锐角互余可证∠B＋∠BDF＝90°，再由对顶角相等，进而可证结论成立；
（2）①证明△CDE是等边三角形，可证CE=CD．证明△OBG是等边三角形，可证∠OHB=90°，然后根据锐角三角函数的知识求出BH、BD的长即可求解；
②由弧长公求出∠COG=60°，可证△OCG是等边三角形，结合△OBG是等边三角形，可证四边形OCGB为菱形．
证明：连接OC，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB＋∠BCE＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵DF⊥AB，
∴∠B＋∠BDF＝90°，
∵∠BDF＝∠EDC，
∴∠OCB＋∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠BCE，
∴EC＝ED．
解：①连接OG，BG，
∵DF⊥AB，∠ABC＝30°，
∴∠CDE=∠BDF=60°，
∵EC=ED，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=CD．
∵DF⊥AB，点F为OB的中点，
∴EF垂直平分OB，
∴OG=BG．
∵OG=OB，
∴△OBG是等边三角形，
∴∠BOG=60°．
∵∠ABC＝30°，
∴∠OHB=90°，
∴，
∴BC=．
在Rt△BDF中，
BD=BF÷cos30°=，
∴CE=CD=-=；

②当弧CG的长为2π时，四边形OCGB为菱形．连接OC，CG，
∵，
∴∠COG=60°．
∵OC=OG，
∴△OCG是等边三角形，
∵△OBG是等边三角形，
∴CG=CO=OB=BG，
∴四边形OCGB为菱形．
故答案为：①；②．
点睛:
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，解直角三角形，以及扇形的弧长公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22-6【提升】 【正确答案】 （1）圆周角定理
（2）
（3）105°
【试题解析】 分析:
（1）根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，解答即可；
（2）连接AB，OC，先证AB是⊙O的直径，即点O在AB上，再由勾股定理求出AB长，再证△ADC∽△ACB，得出，代入即可求解；
（3）连接AE，利用圆周角定理推论，证明A，E，C，D在以AC为直径的圆上，然后由等边三角形的性质、等腰直角三角形性质与圆周角定理，求出∠ADE=60°，∠DEC=45°，代入即可求解．
详解:
解：（1）证明：∵为圆周角所对的弦，为圆周角所对应的圆心角，
∴，且
∴……（圆周角定理）
∴点O在线段上，即三点共线．
则为的直径．
上述推理：得，依据为圆周角定理．
故答案为：圆周角定理；
（2）如图①，连接AB，OC，

∵
∴AB是⊙O的直径，即点O在AB上，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
在Rt△ACB中，由勾股定理，得
AB=，
∵CD是⊙O的的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴ADOC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，即，
∴AD=，
（3）如图②，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ADC=90°，
由（1）可知A，E，C，D在以AC为直径的圆上，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ADE=∠ACB=60°，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°，
∴∠DEC=∠DAC=45°，
∴∠ADE+∠DEC=60°+45°=105°．
点睛:
本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23-1【基础】 【正确答案】 （1）；（2），正方形的面积＝四个全等直角三角形的面积的面积＋正方形AEDB的面积，；（3）3．
【试题解析】 分析:
（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．
详解:
解：（1）在中，，，，，
由勾股定理得，，
故答案为：；
（2），，
；
又正方形的面积四个全等直角三角形的面积的面积正方形的面积，
，
整理得，，
，
故答案为：；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积正方形的面积；；
（3）设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，，
则，
解得，，
则的长为3．
点睛:
本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
23-2【基础】 【正确答案】 ①BE＝BN；②∠ABM＝30°；③见解析．
【试题解析】 分析:
（1）根据折叠的性质可得BE＝ AB，从而得到BE＝ BN，即可求解；
（2）根据在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°，可得∠BNE＝30°，即可求解；
（3）由②得∠ABM＝30°，从而得到△BMG是等边三角形，进而得到BM＝BG，再有折叠的性质，即可求证．
详解:
①解：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝ AB，
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN．
∴AB＝BN，
∴BE＝ BN；
②解：∵由折叠的性质得：∠BEN＝∠AEN＝90°，
∵BE＝BN，
∴∠BNE＝30°，
∴∠ABN＝60°，
由折叠的性质得：∠ABM＝∠ABN＝30°；
③证明：由②得∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AMB＝∠BMN＝60°，∠MBG＝60°，
∴△BMG是等边三角形，
∴BM＝BG，
由折叠得BM＝MH，BG＝GH，
∴BM＝MH＝BG＝GH，
∴四边形BGHM是菱形．
点睛:
本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等，熟练掌握图形折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
23-3【巩固】 【正确答案】 1、
2、①；②见解析
3、
【试题解析】 分析:
（1）由折叠得到，结合正方形每个内角90°解答；
（2）①由折叠 性质得到，设，得到，转化为解一元一次方程，解此方程即可；
②先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，最后根据全等三角形的判定方法解答；
（3）由得到，设MP=x，由含30°角的直角三角形的性质分别解出NP，NE，ME，AE的长，最后根据勾股定理解答．
解：折叠


故答案为：；
①折叠



设






故答案为：；
②∵四边形是正方形，∴，
由折叠的性质得：．
∴，由操作一得：
∴是等腰直角三角形
∴
又∵
∴
即
∴
正方形ABCD中，AB=3

设


，


中，
中，
中，


中，




（舍去）
．
点睛:
本题考查正方形的性质、折叠变换、三角形全等的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23-4【巩固】 【正确答案】 （1），；（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.理由见解析；（3），.
【试题解析】 分析:
（1）根据SAS证明△ABM’≌△AND’，进而得到，∠ABM’=∠ADN’，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即；
（2）根据旋转和菱形的性质证明，再推出，故可求解；
（3）根据旋转和矩形的性质证明，得到，再推出即可求解．
详解:
（1）如图设，交于点H，，
∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，
∴AB=AD,AM’=AD’,
∴△ABM’≌△AND’，
∴，∠ABM’=∠ADN’，
∵∠ADN’+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM’+∠BHO+∠BOD=180°，
又∠DHA=∠BHO
∴，即
故答案为：，；

（2）成立，不成立，与相交，且夹角为.
理由：设，交于点，
由旋转的性质可得.
∵四边形，都是菱形，
∴，，
∴，
∴，.
又∵，
∴；
故与相交，且夹角为；

（3），，理由如下：
设，交于点，
由旋转的性质可得.
∵四边形ABCD和AMPN是长和宽之比为2:1的矩形
∴，，
∴
∴，
∴，.
又∵，
∴
∴，．

点睛:
此题主要考查正方形、矩形、菱形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，运用了类比的思想方法，体现了逻辑推理的核心素养．
23-5【提升】 【正确答案】 1、，；
2、，理由见解析；
3、
【试题解析】 分析:
（1）根据正方形的性质和翻折的性质得出结论，利用证明，得到，由此证明；设，则，，在中，根据勾股定理求出，得出的值即可；
（2）如图4中，连接，由由折叠易知，利用证明，得，设，则；在中，根据勾股定理易求的值，后得出比值即可；
（3）由易证，所以，代入具体数值求出．
解：，；
∵四边形是正方形，
∴，，
由翻折的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，∴，，
∴，
∵正方形纸片的边长为4．则．
设，则，，
在中，根据勾股定理得．
∴，
解得，∴，，∴．
，理由如下：
如图4中，连接．

由折叠知，，，∴，
∵，，
∴，∴，
设，则．
在中，根据勾股定理得．
∵，∴，
解得．
∴，，
∴．
如图5中，
∵，
∴，
∴，
即，．
点睛:
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形相似等相关知识，熟练掌握相关知识点并能灵活运用是解决本题的关键．
23-6【提升】 【正确答案】 （1）菱形，（2）（3）
【试题解析】 分析:
（1）先证△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可证ME=ED，再证△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，则可知四边形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中，，即可得，解得：，进而求出ED，则菱形的面积可求；
（2）先求出，进而求出，再证明即可求解；
（3）分两种情况讨论，第一种当点在在线段MD上时，第二种情况当点在DM的延长线上时，两种情况均是先先利用勾股定理求出MD，进而求出，再证明即可求解．
详解:
（1）根据题意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3，
∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A，
∵∠BFM=∠NFD，
∴△BFM≌△NFD，
∴MF=FD，
同理可证ME=ED，
∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF，
∴∠AME=∠BMF，
∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM，
∴ME=MF，
∴ME=ED=DF=MF，
∴四边形MEDF是菱形，
∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，
即ED=5-AE=ME，
∴在Rt△AEM中，，
∴，解得：，
∴ED=5-AE=，
∴菱形MEDF的面积为，
故答案为：菱形，；
（2）由折叠得，，
∴在中，．
∴．
由题知，
∴，，
∴，
∴．
∴，即，解得．
∴．
（3）如图，
第一种当点在线段MD上时

∵AD=5，AM=3，
∴在Rt△ADM中，，
∵BC=AD==5，
∴，
根据矩形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠90°，
∴，
∴，即：，
第二种情况当点在DM的延长线上时，
如图：

同理可求得，
综上所述：DG为．
点睛:
本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．