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【全套精品专题】初中数学同步 8年级下册 第10课 平行四边形（教师版含解析）
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这是一份【全套精品专题】初中数学同步 8年级下册 第10课 平行四边形（教师版含解析），共48页。
第10课 平行四边形
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课程标准
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
知识精讲
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边 的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ ”，读作“ ”.
注意：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为 边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点02 平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边 ；
2．角的性质：平行四边形邻角 ，对角 ；
3．对角线性质：平行四边形的对角线 ；
4．平行四边形是 对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：
(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边 或两边 ；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的 关系或 关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03 平行四边形的判定
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别 的四边形是平行四边形；
3.一组对边 且 的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别 的四边形是平行四边形；
5.对角线 的四边形是平行四边形.
注意：
(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应
选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04 三角形的中位线
1．连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线 于三角形的第三边，且等于第三边的 .
注意：
(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点05 平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线间的距离.
注：距离是指 ，是正值.
(2)平行线间的距离
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
能力拓展
考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．
【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.
【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．
【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
求证：四边形PBQD是平行四边形．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
考法03 构造平行四边形，应用性质
【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
考法04 三角形的中位线
【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．
【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为( )
A．28 B．24 C．21 D．14
4．平行四边形所具有的性质是( )
A．对角线相等 B．邻边互相垂直
C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等
5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14 C．20 D．22
6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是( )
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
7．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是( )
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是( )
A．12 B．14 C．16 D．18
题组B 能力提升练
10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．
12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．( )
(2)因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(3)因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(4)因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(5)因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(6)因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．( )
13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．
15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____(用含α的式子表示)．
题组C 培优拔尖练
16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：(1)；
(2)和互相平分．
17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)．
(1)当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
(2)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
(3)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
(1)如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
(2)如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
(3)若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；
(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明).
第10课 平行四边形
目标导航
课程标准
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
知识精讲
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ □ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点02 平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：
(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03 平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：
(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应
选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04 三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
注意：
(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点05 平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
注：距离是指垂线段的长度，是正值.
(2)平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
能力拓展
考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
∵ □ABCD的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
即(AO＋OB＋AB)－(BO＋OC＋BC)＝AB－BC＝8， ②
由①②有
解得
∴AB，BC的长分别是19和11．
【点睛】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【答案】24.
【解析】
【详解】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠APB=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
【答案】14
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【答案】48
【解析】
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．
考点：平行四边形的性质．
【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．
【答案】32
【解析】
【详解】
分析：利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
详解：：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COEF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=▱ABCD的面积，
∴▱ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
点睛：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
【答案】
【解析】
【详解】
∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.
【答案】10＜m＜22
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8，另两边是3和组成的三角形，结合三角形的三边关系，求得相应范围即可．
【详解】
解：由题意得：8−3＜＜8＋3，
∴10＜m＜22．
故答案为：10＜m＜22．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．
【答案】(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)
【解析】
【分析】
知道A，B，C三点的坐标，根据平行四边形两组对边分别平行可得D点的坐标．
【详解】
解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得D点有三种情况，
所以D点坐标为(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)．
故答案是(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE；
(2)∵AE⊥BE
∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
求证：四边形PBQD是平行四边形．
【分析】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．
【答案与解析】
证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，
即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
【答案】AF=CE(答案不唯一)．
【解析】
【详解】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
(2)由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：(1)∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴(HL)；
(2)如图，连接AC交BD于O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠CAO=∠DBO，再由ASA证明△AOC≌△BOD即可得到结论；
(2)根据(1)的结论及中点可证得OE=OF，再由平行四边形的判定定理即可证明结论．
【详解】
证明：(1)∵AC∥DB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD，
∴OC=OD；
(2)∵E是OC中点，F是OD中点，
∴OE=OC，OF=OD，
∵OC=OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形及平行四边形的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
考法03 构造平行四边形，应用性质
【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，
∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.
∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等边三角形，
∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，
∴ΔGEP，ΔPHF为等边三角形
∴PF＝PH＝BE, PE＝GE,
∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【点睛】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
考法04 三角形的中位线
【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【分析】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
【点睛】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．
【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
【答案】3
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．
【答案】11．
【解析】
【详解】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解：
∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．
【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
【答案】18．
【解析】
【详解】
试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．
【答案】14
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
【详解】
∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为14
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2(BC+CD)=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．
考点：平行四边形的性质．
3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为( )
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
4．平行四边形所具有的性质是( )
A．对角线相等 B．邻边互相垂直
C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．
【详解】
平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.
故选D.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选B．
【点睛】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是( )
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【详解】
A. 对角线一半分别是2和3，2+3=5，不能构成三角形，故本选项错误；
B. 对角线一半分别是1和6，6−1=5，不能构成三角形，故本选项错误．
C. 对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项正确；
D. 对角线一半分别是2和，2+<5，不能构成三角形，故本选项错误．
故选C.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，熟练掌握性质是解题的关键.
7．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理得到，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】
∵在中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项正确．
C、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
D、根据不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】
【详解】
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
题组B 能力提升练
10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．
【答案】(5，2)，(-3，6)，(1，-2) ．
【解析】
【分析】
D的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系，用平移规律求出对应点坐标．
【详解】
解：根据平移性质可以得到AB对应DC，所以，由B，C的坐标关系可以推出A，D的坐标关系，即D(-1-2，2+4)，所以D点的坐标为(-3，6)；
同理，当AB与CD对应时，D点的坐标为(5，2)；
当AC与BD对应时，D点的坐标为(1，-2)
故答案为：(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．
【点睛】
本题考核知识点：平行四边形和平移.解题关键点：用平移求出点的坐标．
11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知平行四边形的高AE、AF，设，则，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【详解】
设，则，根据“等面积法”得
，解得，
平行四边形ABCD的面积．
故答案为48．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积底高，可用两种方法表示．
12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．( )
(2)因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(3)因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(4)因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(5)因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(6)因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．( )
【答案】 × × ∨ ∨ ∨ ×
【解析】
【分析】
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理判断即可．
【详解】
解：(1)(2)中的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故错误；
(3)(4)(5)是平行四边形的判定定理，可判定是平行四边形，故正确；
(6)不符合平行四边形的判定定理，不能判定是平行四边形，故错误；
故答案为(1).×；(2).×；(3).∨；(4).∨；(5).∨；(6).×.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
解：如图，延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，
则，，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．
【答案】7cm
【解析】
【详解】
试题解析：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____(用含α的式子表示)．
【答案】270°﹣3α
【解析】
【详解】
分析：根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．
详解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，EAC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为270°﹣3α．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：(1)；
(2)和互相平分．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【解析】
【分析】
(1)利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
(2)由(1)的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解】
(1)在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
(2)由(1)知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【点睛】
此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)．
(1)当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
(2)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
(3)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
【答案】(1)t=5；(2)t=9；(3)t=15
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
(2)当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
(3)当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】
解：(1)∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
(2)当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则(DQ+CP)×AB=60，
即(16-t+21-2t)×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
(3)当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同(2)得：(DQ+CP)×AB=60，
即(16-t+2t-21)×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
(1)如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
(2)如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
(3)若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)平行四边形，理由见解析；(3)45°
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
(2)先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
(3)先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE＝OF；
(2)当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
(3)在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD(等腰三角形底边上的中线是底边上的高)，
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；
(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明).
【答案】(1)DE＋DF＝AB.理由见解析； (2) ①当点D在CB的延长线上时， AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF.
【解析】
【分析】
(1)如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
(2)当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图5，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE；
(3)如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
【详解】
(1)DE+DF=AB. 理由如下：
如图1，∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
(2)
①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，AB=DE-DF；
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
∴∠FDB=∠BCA，
∵AB=AC，
∴∠BCA =∠B，
∴∠FDB=∠B=∠DBF，
∴DF=FB，
∴AB=AF-BF=DE-DF； ；
②当点D在线段BC上时，同题(1)，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图5，AB=DF-DE；
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE.
∴∠CDE=∠B，
∵AB=AC，
∴∠BCA =∠B=∠DCE ，
∴∠CDE=∠DCE，
∴CE=DE，
∴AB=AC=AE-CE=DF-DE； ；
(3)AB=DE+DG+DF.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
∵DE∥AB，
∴∠EGC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠EGC，
∴EG=EC，即DE+DG=CE，
∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
故答案为(1)DE+DF=AB. 理由见解析；(2)①当点D在BC的反向延长线上时，如图4见解析，AB=DE-DF；②当点D在线段BC上时，同题(1)，AB=DE+DF；③当点D在BC的延长线上时，如图5见解析，AB=DF-DE；(3)AB=DE+DG+DF.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键.
第10课 平行四边形
目标导航
课程标准
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
知识精讲
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边 的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ ”，读作“ ”.
注意：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为 边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点02 平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边 ；
2．角的性质：平行四边形邻角 ，对角 ；
3．对角线性质：平行四边形的对角线 ；
4．平行四边形是 对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：
(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边 或两边 ；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的 关系或 关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03 平行四边形的判定
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别 的四边形是平行四边形；
3.一组对边 且 的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别 的四边形是平行四边形；
5.对角线 的四边形是平行四边形.
注意：
(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应
选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04 三角形的中位线
1．连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线 于三角形的第三边，且等于第三边的 .
注意：
(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的 .
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点05 平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的 ，叫做这两条平行线间的距离.
注：距离是指 ，是正值.
(2)平行线间的距离
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
能力拓展
考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．
【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.
【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．
【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
求证：四边形PBQD是平行四边形．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
考法03 构造平行四边形，应用性质
【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
考法04 三角形的中位线
【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．
【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为( )
A．28 B．24 C．21 D．14
4．平行四边形所具有的性质是( )
A．对角线相等 B．邻边互相垂直
C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等
5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14 C．20 D．22
6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是( )
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
7．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是( )
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是( )
A．12 B．14 C．16 D．18
题组B 能力提升练
10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．
11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．
12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．( )
(2)因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(3)因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(4)因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(5)因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(6)因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．( )
13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．
15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____(用含α的式子表示)．
题组C 培优拔尖练
16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：(1)；
(2)和互相平分．
17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)．
(1)当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
(2)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
(3)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
(1)如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
(2)如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
(3)若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；
(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明).
第10课 平行四边形
目标导航
课程标准
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
知识精讲
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ □ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
注意：
平行四边形的基本元素：边、角、对角线.
相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点02 平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注意：
(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；
角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03 平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
注意：
(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应
选择较简单的方法.
(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04 三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
注意：
(1)三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点05 平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
注：距离是指垂线段的长度，是正值.
(2)平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
能力拓展
考法01 平行四边形的性质
【典例1】如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．
【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
∵ □ABCD的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
即(AO＋OB＋AB)－(BO＋OC＋BC)＝AB－BC＝8， ②
由①②有
解得
∴AB，BC的长分别是19和11．
【点睛】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
【答案】24.
【解析】
【详解】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠APB=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
【即学即练2】如图，▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为_____．
【答案】14
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，
∵AC+BD=16，
∴OB+OC=8，
∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，
故答案为14．
点睛：本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【即学即练3】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，ABCD的周长为40，则S为______．
【答案】48
【解析】
【分析】
首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB＋BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【详解】
解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x＋y＝20，
∵AE＝4，AF＝6，S＝BC×AE＝CD×AF，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质与其面积公式，解题的关键是根据性质得到邻边的和，根据面积公式得到方程，再解方程组即可．
【即学即练4】如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．
考点：平行四边形的性质．
【即学即练5】已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是_____．
【答案】32
【解析】
【详解】
分析：利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
详解：：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中
∴△AOE≌△COF
∴△COEF的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=▱ABCD的面积，
∴▱ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
点睛：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．
【即学即练6】如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
【答案】
【解析】
【详解】
∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
【即学即练7】如果一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，那么它的另一条对角线的长m的取值范围是______________.
【答案】10＜m＜22
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分，那么一边是8，另两边是3和组成的三角形，结合三角形的三边关系，求得相应范围即可．
【详解】
解：由题意得：8−3＜＜8＋3，
∴10＜m＜22．
故答案为：10＜m＜22．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系的综合运用，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
【即学即练8】若以A(1,2)，B(－1,0)，C(2,0)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点坐标为________．
【答案】(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)
【解析】
【分析】
知道A，B，C三点的坐标，根据平行四边形两组对边分别平行可得D点的坐标．
【详解】
解：根据平行四边形的两组对边分别平行，可得D点有三种情况，
所以D点坐标为(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)．
故答案是(﹣2，2)或(4，2)或(0，﹣2)．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
【即学即练9】如图，平行四边形ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)若AE=3，BE=2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵BE、AE分别平分∠ABC和∠BAD，
∴∠ABE+∠BAE=×180°=90°，
∴∠AEB=90°，
即AE⊥BE；
(2)∵AE⊥BE
∴S△ABE=AE×BE÷2=3，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△ABE=6．
考法02 平行四边形的判定
【典例2】已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．
求证：四边形PBQD是平行四边形．
【分析】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．
【答案与解析】
证明：连接BD交AC与O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
又∵AP=CQ，
∴AP+AO=CQ+CO，
即PO=QO，
∴四边形PBQD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
【即学即练1】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件__________使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可)．
【答案】AF=CE(答案不唯一)．
【解析】
【详解】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，当AF=CE时，四边形AECF是平行四边形;根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形的判定，可添加AF=CE或FD=EB．
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形的定义，可添加AE∥FC.
添加∠AEC=∠FCA或∠DAE=∠DFC等得到AE∥FC，也可使四边形AECF是平行四边形.
【即学即练2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由BF＝DE，可得BE＝DF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB＝∠CFD＝90°，又由AB＝CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；
(2)由，即可得∠ABE＝∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得，又由AB＝CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO＝CO．
【详解】
证明：(1)∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴(HL)；
(2)如图，连接AC交BD于O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
【即学即练3】如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．
(1)求证：OD=OC．
(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质得到∠CAO=∠DBO，再由ASA证明△AOC≌△BOD即可得到结论；
(2)根据(1)的结论及中点可证得OE=OF，再由平行四边形的判定定理即可证明结论．
【详解】
证明：(1)∵AC∥DB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD，
∴OC=OD；
(2)∵E是OC中点，F是OD中点，
∴OE=OC，OF=OD，
∵OC=OD，
∴OE=OF，
又∵OA=OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【点睛】
本题考查了全等三角形及平行四边形的证明，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【即学即练4】以锐角△ABC的边AC、BC、AB向形外作等边△ACD、等边△BCE，作等边△ABF，连接DF、CE如图所示．求证：四边形DCEF是平行四边形．
【答案】
证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
考法03 构造平行四边形，应用性质
【典例3】在等边三角形ABC中，P为ΔABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，D，E，F分别在AC，AB和BC上，试说明：PD＋PF＋PE＝BA.
【答案与解析】
解：延长FP交AB于G, 延长DP交BC于H，
∵四边形AGPD，EBHP为平行四边形，
∴PD＝AG，PH＝BE.
∵PD∥AB，PE∥BC，PF//AC，△ABC是等边三角形，
∴∠GEP＝∠EGP＝∠EPG＝∠PHF＝∠PFH＝∠HPF＝60°，
∴ΔGEP，ΔPHF为等边三角形
∴PF＝PH＝BE, PE＝GE,
∴PD＋PF＋PE＝AG＋BE＋GE＝AB.
【点睛】添加辅助线构造平行四边形是当题目中有平行关系的条件时经常使用的方法.
考法04 三角形的中位线
【典例4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．
【分析】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．
【答案与解析】
解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
【点睛】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．
【即学即练1】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
【即学即练2】如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
【答案】3
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
【即学即练3】如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_____．
【答案】11．
【解析】
【详解】
利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解：
∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6＋5=11．
【即学即练4】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是__________．
【答案】18．
【解析】
【详解】
试题分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．
考点：三角形中位线定理．
【即学即练5】如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是_____．
【答案】14
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
【详解】
∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为14
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为( )
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是平行四边形的性质．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2(BC+CD)=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+(BC+CD)=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
【点睛】
此题重点考察学生对于平行四边形的性质的理解，三角形的中位线，平行四边形的对角对边性质是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故选C．
考点：平行四边形的性质．
3．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为( )
A．28 B．24 C．21 D．14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案.
【详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵平行四边形的周长为28，
∴
∵，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴的周长，
故选D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理.
4．平行四边形所具有的性质是( )
A．对角线相等 B．邻边互相垂直
C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．
【详解】
平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等.
故选D.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质.
5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是( )
A．10 B．14 C．20 D．22
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴△ABO的周长是：14．
故选B．
【点睛】
平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．
6．平行四边形的边长为5，则它的对角线长可能是( )
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【详解】
A. 对角线一半分别是2和3，2+3=5，不能构成三角形，故本选项错误；
B. 对角线一半分别是1和6，6−1=5，不能构成三角形，故本选项错误．
C. 对角线一半分别是2和4，符合三角形的三边关系，能构成三角形，故本选项正确；
D. 对角线一半分别是2和，2+<5，不能构成三角形，故本选项错误．
故选C.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，熟练掌握性质是解题的关键.
7．如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形中位线定理得到，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】
∵在中，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴．
A、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
B、根据可以判定，即，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形为平行四边形，故本选项正确．
C、根据不能判定，即不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
D、根据不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【详解】
试题解析：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
9．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是( )
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】
【详解】
延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.
在△ABN与△AEN中，
∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90∘，
∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.
又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.故选C.
题组B 能力提升练
10．已知直角坐标系内有四个点A(-1，2)，B(3，0)，C(1，4)，D(x，y)，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标为___________________．
【答案】(5，2)，(-3，6)，(1，-2) ．
【解析】
【分析】
D的位置分三种情况分析；由平行四边形对边平行关系，用平移规律求出对应点坐标．
【详解】
解：根据平移性质可以得到AB对应DC，所以，由B，C的坐标关系可以推出A，D的坐标关系，即D(-1-2，2+4)，所以D点的坐标为(-3，6)；
同理，当AB与CD对应时，D点的坐标为(5，2)；
当AC与BD对应时，D点的坐标为(1，-2)
故答案为：(5，2)，(-3，6)，(1，-2)．
【点睛】
本题考核知识点：平行四边形和平移.解题关键点：用平移求出点的坐标．
11．如图，在平行四边形ABCD中，于点E，于点F，若，，，则平行四边形ABCD的面积为______．
【答案】48
【解析】
【分析】
已知平行四边形的高AE、AF，设，则，根据“等面积法”列方程，求BC，从而求出平行四边形的面积．
【详解】
设，则，根据“等面积法”得
，解得，
平行四边形ABCD的面积．
故答案为48．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，本题应用的知识点为：平行四边形一组邻边之和为平行四边形周长的一半，平行四边形的面积底高，可用两种方法表示．
12．如图所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．( )
(2)因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(3)因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(4)因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(5)因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．( )
(6)因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．( )
【答案】 × × ∨ ∨ ∨ ×
【解析】
【分析】
平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理判断即可．
【详解】
解：(1)(2)中的四边形可能是等腰梯形，不能判定是平行四边形，故错误；
(3)(4)(5)是平行四边形的判定定理，可判定是平行四边形，故正确；
(6)不符合平行四边形的判定定理，不能判定是平行四边形，故错误；
故答案为(1).×；(2).×；(3).∨；(4).∨；(5).∨；(6).×.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
13．如图，线段AB＝4，点P在以AB为直径的圆上，在AB的同侧作等边△ABD、等边△APE和等边△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是______．
【答案】4．
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
解：如图，延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，
则，，
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
14．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．
【答案】7cm
【解析】
【详解】
试题解析：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为_____(用含α的式子表示)．
【答案】270°﹣3α
【解析】
【详解】
分析：根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α，结合图形计算即可．
详解：∵∠ACD=90°，∠D=α，
∴∠DAC=90°﹣α，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α，
∵∠ABC=90°，EAC的中点，
∴BE=AE=EC，
∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α，
∴∠CEB=180°﹣2α，
∵E、F分别为AC、CD的中点，
∴EF∥AD，
∴∠CEF=∠D=α，
∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α，
故答案为270°﹣3α．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
16．已知：如图，在中，中线交于点分别是的中点．
求证：(1)；
(2)和互相平分．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【解析】
【分析】
(1)利用三角形中位线定理即可得出FG=DE，且FG∥DE；
(2)由(1)的条件可以得出四边形DEFG为平行四边形，根据平行四边形的性质可以得出对角线和互相平分．
【详解】
(1)在△ABC中，
∵BE、CD为中线
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE=BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG=BC．
∴DE∥FG
(2)由(1)知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴和互相平分
【点睛】
此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
17．如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t(秒)．
(1)当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
(2)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
(3)当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
【答案】(1)t=5；(2)t=9；(3)t=15
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
(2)当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
(3)当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】
解：(1)∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
(2)当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则(DQ+CP)×AB=60，
即(16-t+21-2t)×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
(3)当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同(2)得：(DQ+CP)×AB=60，
即(16-t+2t-21)×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质、梯形的面积等知识，熟练掌握直角梯形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
(1)如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
(2)如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
(3)若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)平行四边形，理由见解析；(3)45°
【解析】
【分析】
(1)由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
(2)先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
(3)先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴OE＝OF；
(2)当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
(3)在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD(等腰三角形底边上的中线是底边上的高)，
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB于点E，F.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；
(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC，直线AB和直线BC于E、F和G. 试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明).
【答案】(1)DE＋DF＝AB.理由见解析； (2) ①当点D在CB的延长线上时， AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF.
【解析】
【分析】
(1)如图1，先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF．再根据平行线及等腰三角形的性质得出∠FDB=∠B，由等角对等边得到DF=FB，从而证明DE+DF=AF+FB=AB；
(2)当点D在直线BC上时，分三种情况：
①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DE=AF，再证明∠FDB=∠FBD，由等角对等边得到DF=FB，从而证明AB=AF-BF=DE-DF；
②当点D在线段BC上时，如图1，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图5，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠CDE=∠DCE，由等角对等边得到CE=DE，再证明从而证明AB=AC=AE-CE=DF-DE；
(3)如图3，先证明四边形AEDF是平行四边形，则DF=AE，再证明∠EGC=∠C，由等角对等边得到DE+DG=CE，从而证明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
【详解】
(1)DE+DF=AB. 理由如下：
如图1，∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠FDB=∠B，
∴DF=FB，
∴DE+DF=AF+FB=AB；
(2)
①当点D在BC的反向延长线上时，如图4，AB=DE-DF；
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
∴∠FDB=∠BCA，
∵AB=AC，
∴∠BCA =∠B，
∴∠FDB=∠B=∠DBF，
∴DF=FB，
∴AB=AF-BF=DE-DF； ；
②当点D在线段BC上时，同题(1)，AB=DE+DF；
③当点D在BC的延长线上时，如图5，AB=DF-DE；
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE.
∴∠CDE=∠B，
∵AB=AC，
∴∠BCA =∠B=∠DCE ，
∴∠CDE=∠DCE，
∴CE=DE，
∴AB=AC=AE-CE=DF-DE； ；
(3)AB=DE+DG+DF.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
∵DE∥AB，
∴∠EGC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴∠C=∠EGC，
∴EG=EC，即DE+DG=CE，
∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．
故答案为(1)DE+DF=AB. 理由见解析；(2)①当点D在BC的反向延长线上时，如图4见解析，AB=DE-DF；②当点D在线段BC上时，同题(1)，AB=DE+DF；③当点D在BC的延长线上时，如图5见解析，AB=DF-DE；(3)AB=DE+DG+DF.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键.
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