2023年江苏省常州二十四中中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省常州二十四中中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省常州二十四中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算3−(−2)的结果是(    )
A. −5 B. −1 C. 1 D. 5
2. 下列计算中正确的是(    )
A. b3⋅b2=b6 B. x3+x3=x6 C. a2÷a2=0 D. (−a3)2=a6
3. 下列几何体的左视图和俯视图相同的是(    )
A. B.
C. D.
4. 在平面直角坐标系中，点P(x2+2,−3)所在的象限是(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，以点A为顶点作三角形(阴影部分)，使这个三角形与△ABC相似，且相似比为1：2，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD=128°，∠E=40°，则∠BDC的度数是(    )
A. 16°
B. 20°
C. 24°
D. 32°
7. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己.已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM=2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是(    )

A. 103 B. 113 C. 4 D. 133
8. 已知抛物线y=x2+bx+c(c为常数)经过点(p,m)，(q,m)，(4,c)，当1≤q−p<6时，则m的取值范围为
(    )
A. c−4≤m C. c 二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
9. 当x ______ 时，分式13−x无意义．
10. 分解因式：3x2−12y2=______．
11. 2022年3月25日，我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的“华龙一号”示范工程全面建成投运，每年减少二氧化碳排放约1632万吨，用科学记数法表示1632万是______ ．
12. 关于x的方程3x2+2x+m=0有两个不相等的实数根.则m的取值范围是______ ．
13. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1=20°，则∠2的度数是______．


14. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE//BC，△ADE与△ABC的周长比为2：5，则AD：DB=______．


15. 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______ ．

16. 已知线段AB，按照如下方法画图：①经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB；②连接AD，在DA上截取DE=DB，点E在AD上；③在AB上截取AC=AE，点C在AB上.根据上述作图，如果AB=2，那么AC的长等于______ ．
17. 如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且∠BAO=30°，AB=4 3，将△AOB沿AB翻折得△ADB，反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过D点，则k的值是______．

18. 如图，已知正方形ABCD中，AB=2，点E为BC边上一动点(不与点B、C重合)，连接AE，将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF，连接AF与CD相交于点G，连接DF，当DF最小时，四边形CEGF的面积是          ．







三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
解不等式组：╔╔ \ begin{cases}2(x-3) \ leqslant x-4\\\dfrac{x-2}{2}

20. (本小题8.0分)
(1)计算：(π−1)0+4sin45°− 8；
(2)解方程：1−xx−2=12−x−2．
21. (本小题8.0分)
为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t(单位：分钟).按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“4590”.将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；
(3)若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．

22. (本小题8.0分)
只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”.如20=3+17．
(1)若从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是______；
(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率．
23. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=20°时，求∠DEF的度数；

24. (本小题8.0分)
拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm.点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．
(1)转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC=143°，CD//l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长(精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)．
(2)物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．

25. (本小题8.0分)
已知A(m,2)是直线L和双曲线y=3x的交点．
(1)求m的值．
(2)若直线L分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是△EOF的外心，试确定直线L的解析式．
(3)在双曲线y=3x上另取一点B，过B作BK⊥x轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得S△PAF=S△BOK？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

26. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点．给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p(规定：点A在⊙O上时，p=0)，最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d(A,⊙O)．

(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数．
①d(D,⊙O)=______；
②若点M在线段EF上，求d(M,⊙O)的取值范围；
(2)若点N在直线y= 3x+2 3上，直接写出d(N,⊙O)的取值范围；
(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为 10，直接写出m的最小值和最大值．
27. (本小题10.0分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，延长AE交BC的延长线于点G．

(1)求线段CE的长．
(2)判断四边形AFGD是什么特殊四边形，并说明理由．
(3)如图2，M、N分别是线段AG、DG上的动点(与端点不重合)，且∠DMN=∠DAM，设DN=x.是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
28. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,4)、与x轴交于点B(2,0)和点C(−1,0)．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D为第一象限的抛物线上一点．
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】
解：3−(−2)=3+2=5．
故选：D．  
2.【答案】D 
【解析】解：b3⋅b2=b5，故选项A不合题意；
x3+x3=2x3，故选项B不合题意；
a2÷a2=1，故选项C不合题意；
(−a3)2=a6，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：

选项B中的几何体的左视图和俯视图为：

选项C中的几何体的左视图和俯视图为：

选项D中的几何体的左视图和俯视图为：

因此左视图和俯视图相同的选项D中的几何体，
故选：D．
分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】
解：∵x2⩾0且−3<0，
∴x2+2>0，
∴点P(x2+2,−3)所在的象限是第四象限．
故选：D．  
5.【答案】D 
【解析】解：A.∵∠AMN=∠C，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ACB，且MN：BC=1：2；
B.由勾股定理得，MN=4，
∵AMAC=MNBC=12，∠M=∠C，
∴△AMN∽△ACB，
C.△AMC∽△BMA，相似比是MCAM=12，
D.相似比不是1：2，故D符合题意．
故选：D．
根据相似三角形的判定逐一进行判断即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵∠ABD是AD所对的圆周角，
∴∠ABD=12∠AOD=12×128°=64°，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴∠BDC=∠ABD−∠E=64°−40°=24°，
故选：C．
根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABD的度数，根据∠ABD是△BDE的外角即可出答案．
本题考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：如图2，过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，

由题意得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，
∵FM=2EM，
∴FMFE=23，
∵EI⊥FK，MJ⊥FK，
∴KI=IF，MJ//EI，
∴EI=12FK=2，MJEI=FMFE，
∴MJ2=23，
∴MJ=43，
∵AB//CD，
∴AB与CD之间的距离=2+43+1=133，
故选：D．
过点E作EI⊥FK于点I，过点M作MJ⊥FK于点J，由七巧板的特点可得，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB=BM=2，EK=EF=2 2，FK=4，FK与CD之间的距离为1，由FM=2EM，得出FMFE=23，由平行线分线段成比例定理的推论求出MJ的长度，进而即可得出答案．
本题考查了七巧板，正方形的性质，掌握七巧板的特点，正方形的性质，平行线分线段成比例定理的推论是解决问题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c(c为常数)经过点(0,c)，(4,c)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−b2=0+42=2，
∴b=−4，
∴抛物线为y=x2−4x+c，
∵抛物线y=x2+bx+c(c为常数)经过点(p,m)，(q,m)，
∴p+q2=2，
∴p+q=4，
∴p=4−q，
∵1≤q−4+q<6，
∴2.5≤q<5，
∵m=q2−4q+c，
∴−154+c≤m<5+c，
故选：B．
根据题意求得抛物线的对称轴为直线x=−b2=0+42=2，进而得到抛物线为y=x2−4x+c，根据抛物线的对称性得出p+q=4，即可得到p=4−q，代入1≤q−p<6得到2.5≤q<5，根据图象上点的坐标特征即可求得−154+c≤m<5+c．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．

9.【答案】=3 
【解析】解：由题意得，3−x=0，
解得x=3．
故答案为：=3．
根据分式无意义，分母等于0列方程求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

10.【答案】3(x−2y)(x+2y) 
【解析】解：3x2−12y2，
=3(x2−4y2)，
=3(x+2y)(x−2y)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解．

11.【答案】1.632×107 
【解析】解：1632万=16320000=1.632×107．
故答案为：1.632×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，先确定a的值，再找出n的值，就可求解．
此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】m<13 
【解析】解：∵该方程有两个不相等的实数根，
∴b2−4ac=22−4×3m=4−12m>0，
解得m<13，
故答案为：m<13．
根据题意得根的判别式大于0，可求得此题结果．
此题考查了利用一元二次方程根的判别式解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识，并能进行正确的计算．

13.【答案】25° 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠3=∠1=20°．
∵是等腰直角三角尺，
∴∠2+∠3=45°．
∴∠2=25°．
故答案为：25°．
用平行线的性质推内错角相等，再利用角的差求结果．
本题考查等腰三角形平行线的性质，掌握平行推那两个角相等，找准角是解题的关键．

14.【答案】2：3 
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC的周长比为2：5，
∴ADAB=25，
∴ADDB=23，
∴AD：DB=2：3，
故答案为：2：3．
根据已知可知A字模型相似三角形△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．

15.【答案】π−2 
【解析】解：连接OC，

∵OA=2，
∴OC=0A=2，
∵∠AOB=90°，C为AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∴∠DCO=∠AOC=∠ECO=∠COE=45°，
∴CD=OD，CE=OE，
∴2CD2=22，2OE2=22，
即CD=OD=OE=CE= 2，
∴阴影部分的面积S=S扇形AOB−S△CDO−S△CEO=90π×22360−12× 2× 2−12× 2× 2=π−2，
故答案为：π−2．
连接OC，求出∠AOC=∠BOC=45°，求出∠DCO=∠AOC=∠ECO=∠COE=45°，求出CD=OD，CE=OE，根据勾股定理求出CD=OD=OE=CE= 2，再求出阴影部分的面积即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．

16.【答案】 5−1 
【解析】解：∵BD=12AB，AB=2，
∴BD=1，
∴DE=1，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴AD= AB2+BD2= 5，
∴AE=AD−DE= 5−1，
∴AC= 5−1．
故答案为： 5−1．
由BD=12AB，AB=2，可得BD=DE=1，由勾股定理可得AD= AB2+BD2= 5，则AE=AD−DE= 5−1，即可得出答案．
本题考查基本作图、勾股定理，理解题意，利用勾股定理求出直角三角形斜边的长是解题的关键．

17.【答案】9 3 
【解析】解：∵∠AOB=90°，∠BAO=30°，AB=4 3，
∴AO=ABcos30°=4 3× 32=6，
∵将△AOB沿AB翻折得△ADB，
∴∠DAB=∠OAB=30°，AD=AO=6，
∴∠DAO=60°，
过D作DC⊥OA于C，
∴∠ACD=90°，
∴AC=12AD=3，CD= 32AD=3 3，
∴D(3,3 3)，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过D点，
∴k=3×3 3=9 3，
故答案为：9 3．
根据直角三角形的性质得到AO=ABcos30°=4 3× 32=6，根据折叠的性质得到∠DAB=∠OAB=30°，AD=AO=6，求得∠DAO=60°，过D作DC⊥OA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数点的坐标特征，翻折变换(折叠问题)，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

18.【答案】43 
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
通过证明点A，点F，点C，点E四点共圆，可得∠AEF=∠ACF=90°，可求∠DCF的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求CG，CE，CH的长，由三角形的面积公式可求解．
【解答】
解：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵将AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AFE=45°，
∴∠AFE=∠ACE，
∴点A，点F，点C，点E四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF=90°，
∴∠DCF=45°，
∴当DF⊥CF时，DF有最小值，
过点F作NH//CD，交AD的延长线于N，BC的延长线于H，

∵DF⊥CF，∠DCF=45°，
∴∠FDC=∠FCD=45°，
∴FD=FC，
∵AB=CD=AD=BC=2，
∴DF=FC= 2，
∵NH//CD，
∴∠NFD=∠FDC=45°，∠HFC=∠FCD=45°，∠N=∠ADC=90°=∠BCD=∠H，
∴NF=DN=1，FH=CH=1，
∵DC//NH，
∴△ADG∽△ANF，
∴ADAN=DGNF，
∴22+1=DG1，
∴DG=23，
∴GC=43，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°=∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE=∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
∠BAE=∠FEH∠B=∠HAE=EF，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴BE=FH=1，AB=EH=2，
∴CE=1，
∴四边形CEGF的面积=12×CG×CE+12×CG×CH=12×43×1+12×43×1=43，
故答案为：43．  
19.【答案】解：2(x−3)≤x−4①x−22 由①得：x≤2，
由②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2 解集表示在数轴上，如图所示：

则不等式组的整数解为−1，0，1，2． 
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

20.【答案】解：(1)(π−1)0+4sin45°− 8
=1+4× 22−2 2
=1+2 2−2 2
=1．
(2)1−xx−2=12−x−2，
去分母，得1−x=−1−2(x−2)．
去括号，得1−x=−1−2x+4．
移项，得−x+2x=−1+4−1．
合并同类项，得x=2．
检验：当x=2，x−2=0．
∴x=2是该方程的增根．
∴该分式方程无解． 
【解析】(1)根据实数的混合运算法则，先计算零指数幂、特殊角的正弦值、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．
(2)通过去分母、去括号、移项、合并同类项、检验解决此题．
本题主要考查特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的化简、实数的混合运算、解分式方程，熟练掌握特殊角的正弦值、零指数幂、二次根式的化简、实数的混合运算法则、分式方程的解法是解决本题的关键．

21.【答案】(1)100，
补全的条形统计图如图所示：











(2)72；C；
(3)1800×100−5100=1710(人)，
答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 
【解析】解：(1)这次调查的样本容量是：25÷25%=100，
D组的人数为：100−10−20−25−5=40(人)，
故答案为：100；
(2)在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×20100=72°，
∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组，
∴中位数落在C组，
故答案为：72；C；
(3)见答案．

(1)根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
(2)根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组；
(3)根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】解：(1)14；
(2)树状图如图所示：

共有12种等可能的结果，满足条件的有4种可能，
所以抽到的两个素数之和等于30的概率=412=13． 
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解析】
解：(1)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个，则抽到的数是7的概率是14．
故答案为14．
(2)见答案．  
23.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
DB=EC∠B=∠CBE=CF，
∴△DBE≅△ECF(SAS)
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形．
(2)解：∵△DBE≅△ECF，
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠DEC=∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
∵∠A=20°，
∴∠B=180−20°2=80°；
∴∠DEF=80°． 
【解析】(1)根据等边对等角可得∠B=∠C，利用“边角边”证明△DBE≅△ECF，然后根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，最后根据等腰三角形的定义即可证明结论；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE，再根据等腰三角形的性质求得∠B，最后再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质并证明出全等三角形是解题的关键．

24.【答案】解：(1)过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，如图：

∵∠ABC=143°，
∴∠CBQ=53°，
在Rt△BCQ中，CQ=BC⋅sin53°≈70×0.8=56cm，
∵CD//l，
∴DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm．
即手臂端点D离操作台l的高度DE的长为106cm．
(2)当B，C，D共线时，如图：

BD=60+70=130cm，AB=50cm，
在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²，
∴AD=120cm>110cm．
∴手臂端点D能碰到点M． 
【解析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
(1)过点C作CP⊥AE于点P，过点B作BQ⊥CP于点Q，在Rt△BCQ中，CQ=BC⋅sin53°，再根据DE=CP=CQ+PQ可得答案；
(2)当B，C，D共线时，根据勾股定理可得AD的长，进而可进行判断．

25.【答案】解：(1)把A(m,2)代入y=3x得2m=3，解得m=32；

(2)∵△OEF为直角三角形，点A是△EOF的外心，
∴点A(32,2)为EF的中点，
∴E点坐标为(3,0)，F点坐标为(0,4)，
设直线l的解析式为y=kx+b，
把E(3,0)，F(0,4)代入得3k+b=0b=4，
解得k=−43b=4，
∴直线l的解析式为y=−43x+4；

(3)存在．理由如下：
连接OA，设P(0,t)，
∵S△PAF=S△BOK=12×3=32，
∴12|4−t|⋅32=32，
∴4−t=±2，
∴t=6或t=2
∴满足条件的P点坐标为(0,6)或(0,2)． 
【解析】(1)直接把A点坐标代入y=3x可计算出m；
(2)由于△OEF为直角三角形，点A是△EOF的外心，根据直角三角形外心为斜边的中点得到点A(32,2)为EF的中点，再根据线段中点的坐标公式得到E点坐标为(3,0)，F点坐标为(0,4)，然后利用待定系数法确定l的解析式；
(2)根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△PAF=S△BOK=12×3=32，设P(0,t)，利用三角形面积公式得到12|4−t|⋅32=32，然后求出t即可得到P点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的比例系数的几何意义．

26.【答案】解：(1)①∵D(0,2)到⊙O的距离的最小值p=1，最大值q=3，
∴d(D,⊙O)=1+32=2，
故答案为：2；
②当M在点E处，d(E,⊙O)=2，
当M在点F处，d(F,⊙O)=2+42=3，
∴2≤d(M,⊙O)≤3；
(2)设ON=d，
∴p=d−r=d−1，q=d+r=d+1，
∴d(N,⊙O)=p+q2=d−1+d+12=d，
∵点N在直线y= 3x+2 3上，
设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，

则x=0时，y=2 3，y=0时，x=−2，
∴A(0,2 3)，B(−2,0)，
∴OA=2 3，OB=2，
∴AB= OA2+OB2=4，
当ON⊥AB时，d(N,⊙O)最小，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅ON，即12×2 3×2=12×4ON，
∴ON= 3，
∵ON无最大值，
∴d(N,⊙O)≥ 3；
(3)如图2，d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为 10，
∴两个圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为 10，
∵KL= 10−1，
∴m的最小值是 10−1 2= 5− 22，
在Rt△OMH中，OM= 10，OH=m−1，MH=12m，
∴m−12+12m2= 102
解得：m=−2(舍去)或m=185


∴m的最小值为 5− 22，最大值为185． 
【解析】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，
属于中考压轴题．
(1)①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；
②根据新定义“关联距离”，分别求出d(E,⊙O)=2，d(F,⊙O)=3，即可得出答案；
(2)设ON=d，可得p=d−1，q=d+1，运用新定义“关联距离”，可得d(N,⊙O)=d，再利用S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅ON，即可求得答案．

27.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=10，
∴CD=AB=8，BC=AD=10，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
由折叠得AE=AD=10，FE=DE=8−CE，
∴BF= AF2−AB2= 102−82=6，
∴CF=BC−BF=10−6=4，
∵CE2+CF2=FE2，
∴CE2+42=(8−CE)2，
解得CE=3，
∴线段CE的长是3．
(2)四边形AFGD是菱形，理由如下：
如图1，连接DF，
∵点F与点D关于直线AC对称，
∴AC垂直平分DF，
∵CG//AD，
∴△GCE∽△ADE，
∵DE=CD−CE=8−3=5，
∴GCAD=CEDE=35，
∴GC=35AD=35×10=6，
∴GD=GF=GC+CF=6+4=10，
∴AF=AD=GD=GF，
∴四边形AFGD是菱形．
(3)存在这样的点N，使△DMN是直角三角形，
当∠MDN=90°时，如图2，
∵∠DAM=∠DGE，∠ADM=∠GDE=90°−∠EDM，
∴∠DAM+∠ADM=∠DGE+∠GDE，
∵∠DME=∠DAM+∠ADM，∠DEM=∠DGE+∠GDE，
∴∠DME=∠DEM，
∴MD=DE=5，
∵∠DMN=∠DAM，∠MDN=∠ADE=90°，
∴△DMN∽△DAE，
∴DNDE=MDAD，
∴x5=510，
解得x=52；
当∠DNM=90°时，如图3，
∵∠DMN=∠DAM，∠DGM=∠DAM，
∴∠DMN=∠DGM，
∴∠DMG=∠DMN+∠GMN=∠DGM+∠GMN=∠DNM=90°，
∴DM⊥AE，
∵12AE⋅DM=12AD⋅DE=S△ADE，AE= AD2+DE2= 102+52=5 5，
∴12×5 5DM=12×10×5，
∴DM=2 5，
∵DNDM=sin∠DMN=sin∠DGM=DMGD，
∴x2 5=2 510，
解得x=2；
∵∠DMN=∠DAM<90°，
∴不存在∠DMN=90°的情况，
综上所述，x的值为52或2． 
【解析】(1)由矩形的性质得CD=AB=8，BC=AD=10，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，由折叠得AE=AD=10，FE=DE=8−CE，则BF= AF2−AB2=6，CF=BC−BF=4，根据勾股定理得CE2+42=(8−CE)2，即可求得线段CE的长是3；
(2)连接DF，则AC垂直平分DF，由CG//AD，证明△GCE∽△ADE，得GCAD=CEDE=35，所以GC=35AD=6，GD=GF=GC+CF=10，则AF=AD=GD=GF，所以四边形AFGD是菱形；
(3)当∠MDN=90°时，先证明∠DME=∠DEM，则MD=DE=5，再证明△DMN∽△DAE，得x5=510，则x=52；当∠DNM=90°时，则∠DMG=∠DMN+∠GMN=∠DGM+∠GMN=∠DNM=90°，由12AE⋅DM=12AD⋅DE=S△ADE，AE= AD2+DE2=5 5，得12×5 5DM=12×10×5，则DM=2 5，由DNDM=sin∠DMN=sin∠DGM=DMGD，得x2 5=2 510，则x=2；由∠DMN=∠DAM<90°，可知不存在∠DMN=90°的情况，所以x的值为52或2．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

28.【答案】解：(1)∵抛物线与x轴交于点B(2,0)，C(−1,0)，
∴设y=a(x−2)(x+1)，将点A(0,4)代入，
得：−2a=4，
解得：a=−2，
∴y=−2(x−2)(x+1)=−2x2+2x+4；
∴该抛物线的函数表达式为y=−2x2+2x+4；
(2)①如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(0,4)，B(2,0)，
∴2k+b=0b=4，
解得：k=−2b=4，
∴直线AB的解析式为y=−2x+4，
设点D(m,−2m2+2m+4)，则点N(m,−2m+4)，
∴DN=−2m2+2m+4−(−2m+4)=−2m2+4m，
在RtAOB中，AB= OA2+OB2= 42+22=2 5，
∵DE⊥AB，DM⊥x轴，
∴∠DEN=∠DMB=90°，
∵∠DNE=∠MNB，
∴∠EDN=∠ABO，
又∵∠DEN=∠AOB=90°，
∴△EDN∽△OBA，
∴DEOB=DNAB，即DE2=−2m2+4m2 5，
∴DE=−2 55m2+4 55m=−2 55(m−1)2+2 55，
∴当m=1时，DE取得最大值为2 55，
∴0 ②存在两种情况：
如图2，四边形AFGD是菱形时，满足四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，

设D(t,−2t2+2t+4)，G(t,−2t+4)，
∴DG=(−2t2+2t+4)−(−2t+4)=−2t2+4t，
∵四边形AFGD是菱形，
∴AD=DG，
∴t2+(−2t2+2t+4−4)2=(−2t2+4t)2，
解得：t1=0，t2=118，
∴D(118,9532)；
如图3，四边形AFGD是矩形时，满足四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，

由对称得：D(1,4)；
综上，点D的坐标为(118,9532)或(1,4)． 
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)①如图1，过点D作DM⊥x轴于点M，交AB于点N，运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−2x+4，设点D(m,−2m2+2m+4)，则点N(m,−2m+4)，利用△EDN∽△OBA，即可求得DE的长，运用二次函数性质即可求得答案；
②如图2，存在两种情况：四边形AFGD是矩形和菱形时满足既是中心对称图形，又是轴对称图形，根据各自的性质可得点D的坐标．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，轴对称和中心对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质相关知识．