2023年江苏省常州实验中学中考数学调研试卷（3月份）（含解析）

2023年江苏省常州实验中学中考数学调研试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，三视图都是圆的为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  若点与点关于轴对称，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法中，正确的是(    )

A. 任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数一定是次
B. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C. “太阳东升西落”是不可能事件
D. 调查某班名学生的身高情况宜采用普查

6.  某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  点是以为直径的半圆上的动点，在上，且，点、、分别是、、的中点若，则的面积最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  ______．

10.  计算： ______ ．

11.  据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到已知，则用科学记数法表示是______

12.  因式分解：______．

13.  一副三角板如图摆放，，，，则 ______

14.  若的积是有理数，则无理数的值为______ ．

15.  已知是方程的解，则代数式的值为______ ．

16.  已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：

当时， ______ ．

17.  如图，在矩形中，，，是半径为的的切线，切点为，则 ______ ．

18.  如图，∽，，，，若是的高，且是直角三角形，则 ______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解分式方程：；
解不等式组：．

21.  本小题分
年月，市从甲、乙两校各抽取名学生参加全市数学素养水平监测样本学生数学测试成绩满分分如表：

表中 ______ ； ______ ；
请结合平均数、方差、中位数、众数这几个统计量，评判甲、乙两校样本学生的数学测试成绩；
若甲、乙两校学生都超过人，按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平可行吗？为什么？

22.  本小题分
为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”、“戏剧之雅”三组依次记为，，甲、乙两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
甲抽到组题目的概率是______ ；
请用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两名同学抽到不同题目的概率．

23.  本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接．
求证：四边形为矩形；
连接，若，，求菱形的边长．

24.  本小题分
如图，已知一次函数的图象经过点，，且与轴交于点，反比例函数的图象经过点．
若，求一次函数表达式；
若一次函数的值随值的增大而增大，则的取值范围是______ ；
若，求的面积．

25.  本小题分
为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面、两处实地测量，如图所示在处测得桥墩顶部处的仰角为和桥墩底部处的俯角为，在处测得桥墩顶部处的仰角为，测得、两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，求桥墩的高度．
 

26.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，，是直径下方半圆上的一点，交于点．
求的长：
若，求的长；
若，求的长．
 

27.  本小题分
在平面直角坐标系中，点、在二次函数的图象上，该图象的对称轴为直线．
当，时，如图．
______ ； ______ ；
、是该二次函数图象上的两点，点位于上方，且纵坐标为，点位于下方若直线与对称轴交于点，且，求的坐标．
若，求的取值范围．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内．
如图，．
若是以为斜边的直角三角形，且请在图中利用圆规、无刻度直尺作出点的位置不写作法，保留作图痕迹，写出点的坐标：______ ；
若是等边三角形求点的坐标；
如图，是等边三角形，点在以为圆心，半径为的圆上若存在两个满足条件，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查立体图形的三视图，掌握常见立体图形的三视图是解题关键．
根据各立体图形的三视图判断即可．
【解答】
解：在球、圆柱、圆锥、正方体中，只有球的三视图都是圆．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故选：．
根据两点关于轴对称的点的坐标的特点列出有关、的方程求解即可求得的值．
本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标的知识，牢记点的坐标的变化规律是解决此类题目的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、任意投掷一枚质地均匀的硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，本选项说法错误，不符合题意；
B、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形扇形图，本选项说法错误，不符合题意；
C、“太阳东升西落”是必然事件，本选项说法错误，不符合题意；
D、调查某班名学生的身高情况宜采用普查，本选项说法正确，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

6.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
轴，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
：：，
．
故选：．
连接，如图，先根据反比例函数系数的几何意义得到，再根据平行四边形的性质得到，利用三角形面积公式得到，然后利用得到：：．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
根据中位线的性质，找出的边与的边之间的关系，再根据平方的非负性求解．
本题考查了三角形的中位线定理及三角形的面积，掌握三角形的中位线定理及平方的非负性解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
；
故答案为：．
，根据立方根的定义即可求出结果．
本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
首先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的除法即可．
本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，掌握相应的计算法则是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
是的外角，
，
．
故答案为：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：


，
则的积是有理数时，无理数的值为．
故答案为：．
根据题意，结合平方差公式特征确定出无理数的值即可．
此题考查了分母有理化，以及无理数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是方程的解，
，




．
故答案为：．
首先根据题意，可得：，然后把化成，再把代入化简后的算式计算即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，以及代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
 

16.【答案】 

【解析】解：由表格可得抛物线经过，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线经过，
时，，
故答案为：．
由抛物线经过，可得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数与方程的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，，

是半径为的的切线，
，
四边形是矩形，
，
点，，，四点共圆，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接，，根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，推出点，，，四点共圆，根据圆周角定理得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，四点共圆，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点．

，
，
，，
，，
，，，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
如图，过点作交的延长线于点证明∽，推出，可得，再证明四边形是平行四边形，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
 

19.【答案】解：原式


． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：将甲校样本学生成绩从小到大排序为：，，，，，，，，，，位于第个和第个的数据分别是和，
，
在乙校样本学生成绩中出现次数最多的是，
，
故答案为：，；
由题意，甲乙两校平均数相同，乙校方差小于甲校，
乙校成绩更加稳定；
甲、乙两校学生都超过人，不可以按照市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体数学素养水平，因为市的抽样方法是各校抽取了人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这个人的成绩来评估全校多人的成绩．
根据中位数和众数的概念分析求解即可；
结合平均数，中位数，众数，方差的意义进行分析评判；
统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小．
本题考查众数，平均数，中位数，样本估计总体，频数分布表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】解：共有，，三组题目，
甲抽到组题目的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学抽到不同题目的结果有，，，，，，共种，
甲、乙两名同学抽到不同题目的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和甲、乙两名同学抽到不同题目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
解：由可知，平行四边形是矩形，
，，，
由勾股定理可得，，
，
，
菱形的边长． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
根据勾股定理和菱形的性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质解答．
 

24.【答案】 

【解析】解：时，，代入得：
，
解得，
的坐标为，
把，代入得：
，
解得，
一次函数表达式为；
反比例函数的图象经过点，
，
，
把，代入得；
，
，
一次函数的值随值的增大而增大，
，即，
或，
解得或，
故答案为：或；
过作轴于，过作轴于，如图：

，，
，，
，
，即，
解得，
，
由，得直线解析式为，
令得，
，，
的面积为．
时，，代入得的坐标为，再用待定系数法可得答案；
由反比例函数的图象经过点可得，把，代入可得，根据一次函数的值随值的增大而增大，有，即可解得或；
过作轴于，过作轴于，由，，，得，解方程即得得，故直线解析式为，从而，，可得答案．
本题考查一次函数，反比例函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，不等式等知识，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征．
 

25.【答案】解：延长交于点，

则，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
，
，
米，
桥墩的高度为米． 

【解析】延长交于点，设米，由题意可得，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，，在中，利用锐角三角函数的定义求出，根据，列方程求得的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

26.【答案】解：是的直径，
，
，
，
；
在中，由勾股定理得，，
，
，
，，
，
，
作于点，

则，
，
，
，
；
连接，并延长交于，

，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】根据直径所对的圆周角为直角可得，再利用三角函数可得答案；
利用等腰三角形的判定与性质可推导出，作于点，根据，可得的长，即可得出答案；
连接，并延长交于，根据圆内接四边形的性质可得，则，再利用勾股定理即可．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，垂径定理等知识，熟练掌握各性质是解决问题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：时，点，关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
，
，
故答案为：；．
抛物线经过原点，
，
，
将代入得，
点坐标为，点坐标为，
将代入得，
解得，，
点坐标为或，
当点为时，设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
将代入得，
点坐标为，
同理可得直线解析式为，
，
可设直线解析式为，
将代入得，
解得，
直线解析式为，
联立直线与抛物线方程，
解得舍或，
，
同理可得当点坐标为时，点坐标为，
综上所述，点坐标为或．
，
抛物线开口向下，抛物线与轴交点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
，
点，在点，之间，
，
解得，
当点，都在对称轴左侧时不符合题意，
当点在对称轴左侧，点在对称轴右侧时，
，
解得，
综上所述，．
由抛物线的对称性及点，横坐标可得抛物线对称轴的直线方程，进而求解．
由可得抛物线解析式及抛物线对称轴，将代入函数解析式可得点坐标，从而可得直线解析式，即可求出点坐标及直线，的解析式，进而求解．
根据二次函数解析式可得抛物线开口向下且经过，，由可得点，与对称轴的距离大小关系，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图，点即为所求作的点．

设，过点作轴于点，
则，，
，
点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
，
，
在中，，
，
解得：舍去或，
，
点的坐标为，
故答案为：；
如图，过点作于点，作轴于点，过点作轴于点，交于点，
设，则，，

为等边三角形，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，，
点的坐标为；
如图，以为边作等边三角形，使点落在第一象限，作射线交于点、，
分别以、为边作等边和等边，连接，取的中点，连接、，点、均在轴正半轴上，过点作轴于点，

则，，，
，
，
≌，
，，，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
．
以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，交于第一象限内点，在射线上截取，连接，点即为所求作的点；设，过点作轴于点，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解即可；
过点作于点，作轴于点，过点作轴于点，交于点，设，则，，由∽，可得，即，即可求得答案；
以为边作等边三角形，使点落在第一象限，作射线交于点、，分别以、为边作等边和等边，连接，取的中点，连接、，点、均在轴正半轴上，过点作轴于点，可证得≌，≌，推出是等边三角形，可得，利用勾股定理可求得，即可得出．
本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．