2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  从今年两会传来的数据看新时代中国发展之变截至年底，我国累计建设开通基站个，实现“县县通”“村村通宽带”，将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在一块长为，宽为的长方形铁皮中，以为直径分别剪掉两个半圆，若，时，则剩下的铁皮的面积为取(    )

A.
B.
C.
D.

4.  不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图，纸飞机机尾的横截是一个轴对称图形，其示意图如图，若，，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知点是的边上一点，根据尺规作图痕迹，射线不一定与平行的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段绕点逆时针旋转得到线段若反比例函数为常数的图象经过点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  下列各式：；；；能用完全平方公式进行因式分解的是______填序号即可

10.  若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为______．

11.  使得二次根式有意义的的取值范围是______．

12.  如图，是的直径，，点在上点不与、重合，过点作的切线交的延长线于点，连结若，则的长度是______结果保留

13.  我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为______．

14.  在平面直角坐标系中，抛物线经过点若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知，求代数式的值．

16.  本小题分
某校初三年级共有名市级三好学生，其中名男生名女生，想从中随机选取两名参加长春市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求选中一男一女参加比赛的概率男生分别用代码、表示，女生用代码表示

17.  本小题分
秋收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割公顷小麦，一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同求一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷．

18.  本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
求证：是的切线；
连接，，，的长为______．

19.  本小题分
如图，在中，，平分交于点点为的中点，连接，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
当，时，则的长为        ．

20.  本小题分
为了提高学生的安全意识，某校开展了安全教育课程，并在全校实施，为了检验此课程的效果，随机抽取了名学生在开展此课程前进行了第一次安全常识测试，课程开展一段时间后，对这些学生又进行了第二次安全常识测试，获得了他们的成绩，并对数据成绩进行整理、描述和分析下面给出了部分信息：
第一次安全常识测试成绩统计表：

第二次安全常识测试成绩扇形统计图：

两次成绩的平均数、中位数、众数如表：

第一次安全常识测试成绩在这一组的数据是：，，，，，．
第二次安全常识测试成绩在：这一组的数据是：，，，，．
请根据以上信息，回答下列问题：
       ，        ．
下列推断合理的是        填写序号．
第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了．
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高．
若第二次安全常识测试成绩不低于分为优秀，根据统计结果，估计全校名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数．

21.  本小题分
某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：
薪酬方式一：底薪提成，其中底薪为元，每销售一件商品另外获得元的提成；
薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得元的提成．
设销售人员一个月的销售量为件，方式一的销售人员的月收入为元，方式二的销售人员的月收入为元．
请分别写出、与之间的函数表达式；
哪种薪酬计算方式更适合销售人员？

22.  本小题分
【实践操作】：
第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
【问题解决】：
如图，四边形的形状是______ ；
如图，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
如图，若，，则 ______ ， ______ ．
 

23.  本小题分
如图，在三角形中，，，，点沿方向以每秒个单位长度运动，点为的中点，连结、，将沿翻折得到，设点的运动时间为秒．
线段        ．
求线段的长用含的代数式表示
当点在边右侧时，求点到边距离的最大值．
当时，求出的值．

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，交直线于点，连接．
求抛物线的解析式；
当点在第二象限且时，求点的坐标；
当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，符合题意．
故选：．
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，得：
剩下的铁皮的面积长方形的面积圆的面积


．
故选：．
根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是列代数式．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
，
在中，
，
，
．
故选：．
过点作于点，从而可知，然后根据锐角三角函数的定义即可求出．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是的两条半径，点在上，，
．
故选：．
根据圆周角定理即可求解．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、根据同位角相等，两直线平行，可得与平行，故不符合题意；
B、根据同位角相等，两直线平行，可得与平行，故不符合题意；
C、根据尺规作图痕迹，射线不一定与平行，故符合题意；
D、根据尺规作图痕迹，射线一定与平行，故不符合题意；
故选：．
根据平行线的定义判断图形即可．
本题考查了作图基本作图，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作轴于，
，
、，
，，
由旋转的性质可得，，
，
，
≌，
，，
，
，
反比例函数为常数的图象经过点，
．
故选：．
如图所示，过点作轴于，先求出、，然后根据一线三垂直模型证明≌得到，，进而求出，则，然后把点代入反比例函数解析式中求出的值即可．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：；；；能用完全平方公式进行因式分解的是，
故答案为：
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的方程，求出的值即可．
此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接．

是的切线，
，
，
，
是的直径，，
则的长度，
故答案为：．
连接由切线的性质可证明，可得圆心角，根据弧长公式可得结论．
本题主要考查的是切线的性质、弧长公式，三角形的内角和定理，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把代人中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为．
故答案为：．
如图，设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为．
一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，

当时，．
方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，
．
故答案为：．
利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定的取值范围即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，从而借助数形结合解题是关键．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
 

16.【答案】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中选中一男一女参加比赛的有种结果，
所以选中一男一女参加比赛的概率为． 

【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦公顷，一台型收割机平均每天收割小麦公顷． 

【解析】设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间工作总量工作效率，结合一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
 

18.【答案】 

【解析】证明：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是圆的切线；
连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，然后根据已知可得，从而可得，即可解答；
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：，平分交于点，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，平分交于点，
，
，
，，
，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：由题意可知：，
把第一次的成绩从小到大的顺序排列可知处于中间的两个数是、，
第一次成绩的中位数是：，
故答案为：，．
解：第二次测试成绩的平均分高于第一次的平均分，所以大多数学生通过参加此课程一段时间后成绩提升了，故合理；
被抽测的学生小明的第二次测试成绩是分，他觉得学校里至少有一半的学生的测试成绩比他高，他的第二次成绩低于第二次成绩的中位数，故合理，
故答案为：．
解：根据题意可得：第二次成绩在：的人数为：人，
若第二次安全常识测试成绩不低于分为优秀，则优秀人数为人，
人，
答：估计全校名学生第二次安全常识测试成绩优秀的人数为人．
利用抽取的总人数减去其他组的人数即可求出，再根据中位数的定义即可求出的值；
根据比较平均数和中位数即可进行判断；
根据题意求出优秀人数，再利用第二次成绩中优秀人数所占的百分比乘以全校人数即可求解．
本题考查统计表和扇形统计图、中位数和平均数及用样本估计总数，熟练掌握找中位数的方法和求出优秀人数是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：
与之间的函数表达式为，
与之间的函数表达式为；
由，解得：，
当时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，
当时，解得，
当时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．
当时，解得，
当时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，
综上所述，当时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员． 

【解析】根据已知直接可得、与之间的函数表达式；
由的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程或不等式解答．
 

22.【答案】正方形    

【解析】解：结论：四边形是正方形．
理由：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形；

结论：．
理由：如图，连接，
由知，，

四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
≌，
，
．

过点作于点．
≌，
，
由折叠知，，
，
，，
，
设，则，
，
，
解得，，
即，，
设，则，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，．
由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；
连接，证明≌，得，便可得结论；
设，则，求出即可；设，则，由勾股定理求出的值，再证明，设，可知，构建方程求出，再求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，第题关键在于证明三角形全等，第题关键证明利用勾股定理构建方程．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
，
点是的中点，
，
故答案为：；
当时，
，
当时，
，
；
如图，
由折叠知：，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当时，点到的距离最大图中，
，
，
，
；
如图，
当点在上时，设于，
，，
，，
，
，
，，
，
化简得：，
，舍去，
如图，
当点在上时，
，，
在中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
化简得：，
，舍去，
综上所述：或．
根据直角三角形性质可推出结果；
当时，，当时，；
可得出点在以为圆心，为半径的运动，当时，点到的距离最大，进一步得出结果；
当点在上时，设于，在直角三角形中，表示出，，，，，根据勾股定理列出，进而得出结果；当点在上时，同样在中，得出，，从而得出，从而列出，进一步得出结果．
本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，确定圆的条件等知识，解决问题的关键较强的计算能力．
 

24.【答案】解：将点，代入，
，
解得，
；
过点作交于，交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
解得或，
或；
设，
当时，过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，
，，
，
≌，
，，
，，
，，
点纵坐标为，
，
解得或，
点坐标为或；
当时，过点作轴交于点，过点作交于点，
，，
，
，
≌，
，，
，
点纵坐标为，
，
解得或，
或；
综上所述：点坐标为或或或． 

【解析】将点，代入，即可求解；
过点作交于，交于点，设，，由，可得，求出或；
设，当时，过点作轴交于点，过点作交于点，证明≌，可得点纵坐标为，求出点坐标为或；当时，过点作轴交于点，过点作交于点，证明≌，得到点纵坐标为，求得或．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，灵活应用平行线的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．