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2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含答案）
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这是一份2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
3．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
7．（3分）已知，如图，在菱形ABCD中，①分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；②作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；③连接BM，根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E、F，连结EF、AF．若E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
10．（3分）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是 ．
11．（3分）二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有 个交点．
12．（3分）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为10cm，最大的张角为150°，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
13．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，EF＝1，则GM的长为 ．
14．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
16．（6分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
17．（6分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
18．（7分）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
19．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，sin∠ABD＝，求BD的长．
20．（7分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
21．（8分）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为 ．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为 cm．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ．
（2）当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围．
（3）当边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分时，求线段AP的长度．
（4）当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+mx﹣m+2（x≤m）的图象记为G．
（1）当m＝4时．
①求此函数的最大值．
②若点A（a，y1）、B（a+，y2）都在图象G上，且y1＞y2，则a的取值范围为 ．
（2）已知M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），若过图象G的最高点且垂直于y轴的直线将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，求m的值．
（3）若C（+1，0），过点C作CD⊥x轴，将图象G在直线CD上及直线CD左侧部分的图象记为M1，将M1沿直线CD翻折后得到的图象记为M2，M1和M2组成图象记为M．若图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“﹣”，
故选：B．
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
【解答】解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．
故选：B．
3．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D．主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
【解答】解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3．
故选：C．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
∴∠2+∠3＝∠4，
∵∠1＝75°，∠2＝40°，
∴∠3＝75°﹣40°＝35°．
故选：C．
7．（3分）已知，如图，在菱形ABCD中，①分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；②作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；③连接BM，根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
【解答】解：如图，连接AC．
由作图可知，EF垂直平分线段CD，
∴AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，故C正确；
∵BC＝CD＝2CM，故D正确，
∵AB＝CD＝2DM，AB∥CD，
∴S△ABM＝2S△ADM，故A正确，
在Rt△ABM中，∠BAM＝90°，AB＝2，AM＝，
∴BM＝＝＝，故B错误，
故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E、F，连结EF、AF．若E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ＜ ﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：|﹣|≈1.4，|﹣1|＝1，
∵1.4＞1，
∴﹣＜﹣1．
故答案为：＜．
10．（3分）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是 （0，0） ．
【解答】解：如图所示：胜利公园的点的坐标是：（0，0）．
故答案为：（0，0）．
11．（3分）二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有 2 个交点．
【解答】解：∵△＝32﹣4×2×（﹣2）＝25＞0，
∴二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有2个交点．
故答案为2．
12．（3分）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为10cm，最大的张角为150°，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 7.4 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
当∠BAC＝150°时，
∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝75°，
在Rt△ADB中，AD＝AB•cos75°≈10×0.26＝2.6（cm），
∴10﹣2.6＝7.4（cm），
∴将圆规直立放置，两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降7.4cm，
故答案为：7.4．
13．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，EF＝1，则GM的长为 ．
【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB＝，
∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，
故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，
则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，
即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．
过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．
∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EGF＝∠NGM＝45°，
故△GNM为等腰直角三角形．
设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，
∵tan∠FCB＝，
解得：a＝，
∴GM＝GN＝．
故答案为：．
14．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
【解答】解：÷（x﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝，原式＝．
16．（6分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【解答】解：（1）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
故答案为：．
17．（6分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
18．（7分）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
【解答】解：（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．
19．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，sin∠ABD＝，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∵AB∥DC，
∴AB∥DE．
∴四边形ABDE为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABDE为平行四边形，
∴BD＝AE，∠E＝∠ABD．
∵sin∠ABD＝，
∴sin∠E＝＝．
在Rt△EAC中，∵AC＝8，
∴CE＝10，AE＝6，
∴BD＝6．
20．（7分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 90 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
【解答】解：（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，
故答案为：200，90°；
（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），
补全图形如下：
（3）1800×＝405（名），
答：估计该商场大约有405名顾客最喜欢“支付宝”支付．
21．（8分）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得，，
即y与x之间的函数关系式是y＝10x+10（5≤x≤50）；
（2）当y＝300时，300＝10x+10，得x＝29，
当y＝＝250时，250＝10x+10，得x＝24，
故24≤x≤29，
即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为 4 ．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为 （20+20+20） cm．
【解答】解：【教材呈现】如图13.2.13中，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED．
【深入探究】
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∵BD＝5，BF＝3，AB＝9，
∴AF＝AB﹣BF＝9﹣3＝6，DF＝＝＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴AE＝2AD＝4．
故答案为：4．
【拓展提升】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
∵AB＝AC＝20cm，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∴AT＝BC＝2•AB•cos30°＝20（cm），
∵AT∥BC，
∴∠HAT＝∠ABC＝30°，
∴HT＝AT＝10（cm），AH＝TH＝30（cm），
∴BH＝AB+AH＝50（cm），
∴BT＝＝＝20（cm），
∴△ABT的周长为（20+20+20）cm．
故答案为：（20+20+20）．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 10 ．
（2）当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围．
（3）当边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分时，求线段AP的长度．
（4）当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10．
故答案为：10；
（2）如图1﹣1，当点D落在AB上时，则CP⊥AB，
∵∠A＝∠A，∠CPA＝∠ACB＝90°，
∴△APC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AP＝，
∴t＝＝．
如图1﹣2中，当点D落在BC上时，则∠ACP＝∠PCB＝45°，
过点P作PT⊥AC于点T．则CT＝PT，
设CT＝PT＝x，
∵PT∥CB，
∴，
∴，
∴x＝，
∴AP＝＝＝，
∴t＝＝，
观察图象可知，满足条件的t的值为：＜t＜；
（3）如图2中，延长DP交AC于点K，过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥AC于点N，过点K作KS⊥AB于点S，设CD交AB于点J．
由翻折的性质可知，PA＝PD，CA＝CD，∠PCA＝∠PCD，
∵PM⊥CD，PN⊥CA，
∴PM＝PN，
∵∠A＝∠P，PA＝PD，∠APK＝∠DPJ，
∴△APK≌△DPJ（ASA），
∵AK＝DJ，
∵边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分，
∴DJ：CJ＝1：4，
∴AK：CK＝1：4，
∴CK：CD＝4：5，
∵＝＝，
设PK＝4k，PD＝PA＝5k，
∵AK＝AC＝．
∴AS＝AK•cosA＝，KS＝AK•sinA＝，
在Rt△PSK中，PK2＝PS2+SK2，
∴（4k）2＝（5k﹣）2+（）2，
解得，k＝，
∴AP＝5k＝2；
（4）如图3﹣1中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R．
则CJ⊥AB，CR＝CJ＝＝，
∴AR＝AC﹣CR＝6﹣＝，
∴AP＝＝2，
此时t＝．
如图3﹣2中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，此时AP＝AC＝6，t＝，
如图3﹣3中，当PD⊥AB时，过点操作CH⊥AB于点H．
∵∠CPH＝∠CPD＝45°，
∴PH＝CH＝，
∵AH＝AC•cosA＝，
∴AP＝AH+PH＝+＝，
∴t＝＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+mx﹣m+2（x≤m）的图象记为G．
（1）当m＝4时．
①求此函数的最大值．
②若点A（a，y1）、B（a+，y2）都在图象G上，且y1＞y2，则a的取值范围为 ＜a≤ ．
（2）已知M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），若过图象G的最高点且垂直于y轴的直线将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，求m的值．
（3）若C（+1，0），过点C作CD⊥x轴，将图象G在直线CD上及直线CD左侧部分的图象记为M1，将M1沿直线CD翻折后得到的图象记为M2，M1和M2组成图象记为M．若图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，当m＝4时，y＝﹣x2+4x﹣2（x≤4），
①∵y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣2的对称轴为直线x＝2，
∵2＜4，
∴图象G的最高点为抛物线y＝﹣x2+4x﹣2的顶点，
∴当x＝2时，y最大＝2．
②如图2，当a≤2时，∵y1＞y2，
∴，
解得＜a≤2；
当a＞2时，∵y1＞y2，且A、B都在图象G上，
∴，
解得2＜a≤，
综上所述，a的取值范围是＜a≤，
故答案为：＜a≤．
（2）∵矩形MNPQ的四个顶点分别为M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），
∴直线y＝1或直线y＝4将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，
如图3，当x＝m时，y＝﹣m2+m2﹣m+2＝﹣m+2，
当m＜0时，则m＜m，
∴图象G的最高点为（m，﹣m+2），
∴﹣m+2＝4或﹣m+2＝1，
解得m＝﹣2或m＝1（不符合题意，舍去）；
如图4，∵y＝﹣x2+mx﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m+2，
∴抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2的顶点坐标为（m，m2﹣m+2），
当m≥0时，则m≥m，
∴图象G的最高点为抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2的顶点，
∴m2﹣m+2＝1或m2﹣m+2＝4，
由m2﹣m+2＝1整理得m2﹣4m+4＝0，
解得m1＝m2＝2；
由m2﹣m+2＝4整理得m2﹣4m﹣8＝0，
解得m1＝2+2，m2＝2﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，m的值为﹣2或2或2+2．
（3）设抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2沿直线CD翻折后得到的抛物线的对称轴为直线x＝n，
∴（n+m）＝m+1，
解得n＝2，
∴翻折后得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+m2﹣m+2，
即y＝﹣x2+4x+m2﹣m﹣2，
当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣2）2+m2﹣m+2＝m2﹣m+1，
∵y＝﹣x2+mx﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+（m﹣2）2+1，
且y＝m2﹣m+1＝（m﹣）2+，
∴图象M的最高点一定在x轴的上方，
如图5，当m≥m+1时，则m≥，
∵图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，
∴，
解得m1＝m2＝2；
或，
解得m＞；
如图6，当m＜m+1时，则m＜，
∵图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，
∴，
解得m1＝m2＝2（不符合题意，舍去）；
或﹣m+2＞1，解得m＜1，
综上所述，m的取值范围m＜1或m＝2或m＞．
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
3．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
7．（3分）已知，如图，在菱形ABCD中，①分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；②作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；③连接BM，根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E、F，连结EF、AF．若E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
10．（3分）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是 ．
11．（3分）二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有 个交点．
12．（3分）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为10cm，最大的张角为150°，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
13．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，EF＝1，则GM的长为 ．
14．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
16．（6分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
17．（6分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
18．（7分）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
19．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，sin∠ABD＝，求BD的长．
20．（7分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
21．（8分）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为 ．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为 cm．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 ．
（2）当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围．
（3）当边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分时，求线段AP的长度．
（4）当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+mx﹣m+2（x≤m）的图象记为G．
（1）当m＝4时．
①求此函数的最大值．
②若点A（a，y1）、B（a+，y2）都在图象G上，且y1＞y2，则a的取值范围为 ．
（2）已知M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），若过图象G的最高点且垂直于y轴的直线将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，求m的值．
（3）若C（+1，0），过点C作CD⊥x轴，将图象G在直线CD上及直线CD左侧部分的图象记为M1，将M1沿直线CD翻折后得到的图象记为M2，M1和M2组成图象记为M．若图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【解答】解：若运算“1□（﹣2）”的结果为正数，则□内的运算符号为“﹣”，
故选：B．
2．（3分）在长春市2016年地铁建设中，某工程队挖掘土方为632000立方米，632000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．63.2×104 B．6.32×105 C．0.632×106 D．6.32×106
【解答】解：将632000用科学记数法表示为：6.32×105．
故选：B．
3．（3分）下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D．主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：B．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x≥﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．x＞3 D．﹣2≤x＜3
【解答】解：，
解①得：x＞3，
解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3．
故选：C．
5．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的平移 B．图形的旋转
C．图形的轴对称 D．图形的相似
【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：D．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝40°，则∠3的度数为（ ）
A．75° B．50° C．35° D．30°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠4＝75°，
∴∠2+∠3＝∠4，
∵∠1＝75°，∠2＝40°，
∴∠3＝75°﹣40°＝35°．
故选：C．
7．（3分）已知，如图，在菱形ABCD中，①分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；②作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；③连接BM，根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）
A．∠＝60° B．如果AB＝2，那么BM＝4
C．BC＝2CM D．S△ABM＝2S△ADM
【解答】解：如图，连接AC．
由作图可知，EF垂直平分线段CD，
∴AC＝AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC＝AC，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，故C正确；
∵BC＝CD＝2CM，故D正确，
∵AB＝CD＝2DM，AB∥CD，
∴S△ABM＝2S△ADM，故A正确，
在Rt△ABM中，∠BAM＝90°，AB＝2，AM＝，
∴BM＝＝＝，故B错误，
故选：B．
8．（3分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E、F，连结EF、AF．若E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）比较大小：﹣ ＜ ﹣1（填“＞”、“＝”或“＜”）
【解答】解：|﹣|≈1.4，|﹣1|＝1，
∵1.4＞1，
∴﹣＜﹣1．
故答案为：＜．
10．（3分）如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为（0，﹣4），表示伪皇宫的点的坐标为（4，2），则表示胜利公园的点的坐标是 （0，0） ．
【解答】解：如图所示：胜利公园的点的坐标是：（0，0）．
故答案为：（0，0）．
11．（3分）二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有 2 个交点．
【解答】解：∵△＝32﹣4×2×（﹣2）＝25＞0，
∴二次函数y＝2x2+3x﹣2的图象与x轴有2个交点．
故答案为2．
12．（3分）圆规两脚形成的角α称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为10cm，最大的张角为150°，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降 7.4 厘米．（脚的宽度忽略不计）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
当∠BAC＝150°时，
∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝75°，
在Rt△ADB中，AD＝AB•cos75°≈10×0.26＝2.6（cm），
∴10﹣2.6＝7.4（cm），
∴将圆规直立放置，两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降7.4cm，
故答案为：7.4．
13．（3分）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB＝，EF＝1，则GM的长为 ．
【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB＝，
∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，
故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，
则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，
即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．
过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．
∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EGF＝∠NGM＝45°，
故△GNM为等腰直角三角形．
设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，
∵tan∠FCB＝，
解得：a＝，
∴GM＝GN＝．
故答案为：．
14．（3分）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 7 米．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x1＝7，x2＝﹣3（舍），
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值÷（x﹣），其中x＝．
【解答】解：÷（x﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝，原式＝．
16．（6分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）甲同学随机选择两天，请用画树状图（或列表）的方法求其中有一天是星期二的概率？
（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【解答】解：（1）把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有6个，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；
（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
故答案为：．
17．（6分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，
根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，
∴z≤25，
∴最多可以购买25副围棋；
18．（7分）在下面的正方形网格中按要求作图．
（1）在图①中将△ABC平移，使点A与点C重合，得到△CPQ；
（2）在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到△MNC；
（3）在图③中作△FGH，使其与△ABC关于线段DE对称．
【解答】解：（1）如图，△CPQ为所作；
（2）如图，△MNC为所作；
（3）如图，△FGH为所作．
19．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，sin∠ABD＝，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∵AB∥DC，
∴AB∥DE．
∴四边形ABDE为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABDE为平行四边形，
∴BD＝AE，∠E＝∠ABD．
∵sin∠ABD＝，
∴sin∠E＝＝．
在Rt△EAC中，∵AC＝8，
∴CE＝10，AE＝6，
∴BD＝6．
20．（7分）某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）随机调查的顾客有 200 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 90 ．
（2）将条形统计图补充完整．
（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．
【解答】解：（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，
故答案为：200，90°；
（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），
补全图形如下：
（3）1800×＝405（名），
答：估计该商场大约有405名顾客最喜欢“支付宝”支付．
21．（8分）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重10kg的儿童，每次正常服用量为110mg；体重15kg的儿童每次正常服用量为160mg；体重在5～50kg范围内时，每次正常服用量y（mg）是儿童体重x（kg）的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若该药品的一种包装规格为300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得，，
即y与x之间的函数关系式是y＝10x+10（5≤x≤50）；
（2）当y＝300时，300＝10x+10，得x＝29，
当y＝＝250时，250＝10x+10，得x＝24，
故24≤x≤29，
即体重在24≤x≤29范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容．
例4：如图1，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．
证明：∵CE∥AB（已知），
∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图2，在上面例题的图中，过点D作DF⊥AB于点F．若AB＝9，BC＝10，BF＝3，则线段AE的长为 4 ．
【拓展提升】已知一个顶角为120°、腰长为20cm的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板（不重叠），则这个新的三角形纸板周长的最大值为 （20+20+20） cm．
【解答】解：【教材呈现】如图13.2.13中，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
，
∴△ADB≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED．
【深入探究】
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∵BD＝5，BF＝3，AB＝9，
∴AF＝AB﹣BF＝9﹣3＝6，DF＝＝＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴AE＝2AD＝4．
故答案为：4．
【拓展提升】取AC的中点R，连接BR．过点A作AT∥BC交BR的延长线于T，过点T作TH⊥BA交BA的延长线于H．则△ART≌△CRB，此时△ABT的周长最大．
∵AB＝AC＝20cm，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∴AT＝BC＝2•AB•cos30°＝20（cm），
∵AT∥BC，
∴∠HAT＝∠ABC＝30°，
∴HT＝AT＝10（cm），AH＝TH＝30（cm），
∴BH＝AB+AH＝50（cm），
∴BT＝＝＝20（cm），
∴△ABT的周长为（20+20+20）cm．
故答案为：（20+20+20）．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AB的长为 10 ．
（2）当点D落在△ABC内部时，求t的取值范围．
（3）当边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分时，求线段AP的长度．
（4）当PD垂直于△ABC的一边时，直接写出t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10．
故答案为：10；
（2）如图1﹣1，当点D落在AB上时，则CP⊥AB，
∵∠A＝∠A，∠CPA＝∠ACB＝90°，
∴△APC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AP＝，
∴t＝＝．
如图1﹣2中，当点D落在BC上时，则∠ACP＝∠PCB＝45°，
过点P作PT⊥AC于点T．则CT＝PT，
设CT＝PT＝x，
∵PT∥CB，
∴，
∴，
∴x＝，
∴AP＝＝＝，
∴t＝＝，
观察图象可知，满足条件的t的值为：＜t＜；
（3）如图2中，延长DP交AC于点K，过点P作PM⊥CD于点M，PN⊥AC于点N，过点K作KS⊥AB于点S，设CD交AB于点J．
由翻折的性质可知，PA＝PD，CA＝CD，∠PCA＝∠PCD，
∵PM⊥CD，PN⊥CA，
∴PM＝PN，
∵∠A＝∠P，PA＝PD，∠APK＝∠DPJ，
∴△APK≌△DPJ（ASA），
∵AK＝DJ，
∵边AB把△CDP的面积分为1：4的两部分，
∴DJ：CJ＝1：4，
∴AK：CK＝1：4，
∴CK：CD＝4：5，
∵＝＝，
设PK＝4k，PD＝PA＝5k，
∵AK＝AC＝．
∴AS＝AK•cosA＝，KS＝AK•sinA＝，
在Rt△PSK中，PK2＝PS2+SK2，
∴（4k）2＝（5k﹣）2+（）2，
解得，k＝，
∴AP＝5k＝2；
（4）如图3﹣1中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R．
则CJ⊥AB，CR＝CJ＝＝，
∴AR＝AC﹣CR＝6﹣＝，
∴AP＝＝2，
此时t＝．
如图3﹣2中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，此时AP＝AC＝6，t＝，
如图3﹣3中，当PD⊥AB时，过点操作CH⊥AB于点H．
∵∠CPH＝∠CPD＝45°，
∴PH＝CH＝，
∵AH＝AC•cosA＝，
∴AP＝AH+PH＝+＝，
∴t＝＝，
综上所述，满足条件的t的值为或或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+mx﹣m+2（x≤m）的图象记为G．
（1）当m＝4时．
①求此函数的最大值．
②若点A（a，y1）、B（a+，y2）都在图象G上，且y1＞y2，则a的取值范围为 ＜a≤ ．
（2）已知M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），若过图象G的最高点且垂直于y轴的直线将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，求m的值．
（3）若C（+1，0），过点C作CD⊥x轴，将图象G在直线CD上及直线CD左侧部分的图象记为M1，将M1沿直线CD翻折后得到的图象记为M2，M1和M2组成图象记为M．若图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，当m＝4时，y＝﹣x2+4x﹣2（x≤4），
①∵y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
∴抛物线y＝﹣x2+4x﹣2的对称轴为直线x＝2，
∵2＜4，
∴图象G的最高点为抛物线y＝﹣x2+4x﹣2的顶点，
∴当x＝2时，y最大＝2．
②如图2，当a≤2时，∵y1＞y2，
∴，
解得＜a≤2；
当a＞2时，∵y1＞y2，且A、B都在图象G上，
∴，
解得2＜a≤，
综上所述，a的取值范围是＜a≤，
故答案为：＜a≤．
（2）∵矩形MNPQ的四个顶点分别为M（5，0）、N（5，5）、P（﹣5，5）、Q（﹣5，0），
∴直线y＝1或直线y＝4将矩形MNPQ的面积分成1：4的两个部分，
如图3，当x＝m时，y＝﹣m2+m2﹣m+2＝﹣m+2，
当m＜0时，则m＜m，
∴图象G的最高点为（m，﹣m+2），
∴﹣m+2＝4或﹣m+2＝1，
解得m＝﹣2或m＝1（不符合题意，舍去）；
如图4，∵y＝﹣x2+mx﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m+2，
∴抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2的顶点坐标为（m，m2﹣m+2），
当m≥0时，则m≥m，
∴图象G的最高点为抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2的顶点，
∴m2﹣m+2＝1或m2﹣m+2＝4，
由m2﹣m+2＝1整理得m2﹣4m+4＝0，
解得m1＝m2＝2；
由m2﹣m+2＝4整理得m2﹣4m﹣8＝0，
解得m1＝2+2，m2＝2﹣2（不符合题意，舍去），
综上所述，m的值为﹣2或2或2+2．
（3）设抛物线y＝﹣x2+mx﹣m+2沿直线CD翻折后得到的抛物线的对称轴为直线x＝n，
∴（n+m）＝m+1，
解得n＝2，
∴翻折后得到的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+m2﹣m+2，
即y＝﹣x2+4x+m2﹣m﹣2，
当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣2）2+m2﹣m+2＝m2﹣m+1，
∵y＝﹣x2+mx﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2+（m﹣2）2+1，
且y＝m2﹣m+1＝（m﹣）2+，
∴图象M的最高点一定在x轴的上方，
如图5，当m≥m+1时，则m≥，
∵图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，
∴，
解得m1＝m2＝2；
或，
解得m＞；
如图6，当m＜m+1时，则m＜，
∵图象M上有且只有4个点到x轴的距离为1，
∴，
解得m1＝m2＝2（不符合题意，舍去）；
或﹣m+2＞1，解得m＜1，
综上所述，m的取值范围m＜1或m＝2或m＞．
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