2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若运算“”的结果为正数，则“”内的运算符号为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在长春市年地铁建设中，某工程队挖掘土方为立方米，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的(    )
 

A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的轴对称 D. 图形的相似

6.  如图，直线，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知，如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，；作直线，且直线恰好经过点，且与边交于点；连接，根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是(    )

A.
B. 如果，那么
C.
D.

8.  在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点、，连结、若为的中点，的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  比较大小：______填“”、“”或“”

10.  如图是利用网格画出的长春市轨道交通线网图，若建立适当的平面直角坐标系，则表示解放大路的点的坐标为，表示伪皇宫的点的坐标为，则表示胜利公园的点的坐标是______．
 

11.  二次函数的图象与轴有______个交点．

12.  圆规两脚形成的角称为圆规的张角，已知一个圆规两脚的长均为，最大的张角为，将圆规直立放置；两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降______ 厘米脚的宽度忽略不计参考数据：，，

13.  如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，连结并延长交于点若，，则的长为______ ．

14.  为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是______ 米

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值，其中．

16.  本小题分
某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
甲同学随机选择两天，请用画树状图或列表的方法求其中有一天是星期二的概率？
乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是______ ．

17.  本小题分
寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元；
求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？

18.  本小题分
在下面的正方形网格中按要求作图．
在图中将平移，使点与点重合，得到；
在图中将绕点逆时针旋转，得到；
在图中作，使其与关于线段对称．
 

19.  本小题分
已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．

20.  本小题分
某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷每人必选且只能选一种支付方式，在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

随机调查的顾客有______ 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数______ ．
将条形统计图补充完整．
若该商场有名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．

21.  本小题分
儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，体重的儿童，每次正常服用量为；体重的儿童每次正常服用量为；体重在范围内时，每次正常服用量是儿童体重的一次函数，现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的倍，否则会对儿童的身体造成较大损害．
求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若该药品的一种包装规格为袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？

22.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．
例：如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点求证：．

证明：已知，
，两直线平行，内错角相等．
请你将上面的证明过程补充完整．
【深入探究】如图，在上面例题的图中，过点作于点若，，，则线段的长为______ ．
【拓展提升】已知一个顶角为、腰长为的等腰三角形纸板，把它剪开成两个部分，再重新拼接成一个新的三角形纸板不重叠，则这个新的三角形纸板周长的最大值为______ ．

23.  本小题分
如图，在中，，，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，连结，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ．
当点落在内部时，求的取值范围．
当边把的面积分为：的两部分时，求线段的长度．
当垂直于的一边时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象记为．
当时．
求此函数的最大值．
若点、都在图象上，且，则的取值范围为______ ．
已知、、、，若过图象的最高点且垂直于轴的直线将矩形的面积分成：的两个部分，求的值．
若，过点作轴，将图象在直线上及直线左侧部分的图象记为，将沿直线翻折后得到的图象记为，和组成图象记为若图象上有且只有个点到轴的距离为，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若运算“”的结果为正数，则内的运算符号为“”，
故选：．
根据有理数的减法解答即可．
此题考查有理数的混合计算，关键是根据有理数的减法解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
B.主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
C.主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
D.主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；
故选：．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分别分析四种几何体的主视图与左视图，即可求解．
本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
解得：，
所以不等式组的解集为：．
故选：．
分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，正确利用不等式的性质得出解集是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：．
根据图形的变换和相似三角形的应用等知识直接回答即可．
本题考查了相似三角形的应用、图形的变换等知识，解题的关键是了解物高与影长成正比，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
．
故选：．
直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，正确得出的度数是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

由作图可知，垂直平分线段，
，
四边形是菱形，
，
，都是等边三角形，
，故C正确；
，故D正确，
，，
，故A正确，
在中，，，，
，故B错误，
故选：．
连接，证明，都是等边三角形，然后进行逐一判断即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设，
矩形，
，
矩形，为的中点，
则也为的中点，
点在轴上，
的纵坐标为，
，
为的中点，
点，
点，
的面积为，，
，
，
解得：．
故选：．
首先设，表示出，再根据，，都在双曲线上，依次表示出坐标，再由，转化为，列出等式即可求得．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：胜利公园的点的坐标是：．
故答案为：．
直接利用解放大路的点的坐标为，表示伪皇宫的点的坐标为，进而建立平面直角坐标系得出原点位置即可．
此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象与轴有个交点．
故答案为．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断抛物线与轴的交点个数．
本题考查了抛物线与轴的交点：二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系：决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图：过点作，垂足为，

当时，
，，
，
在中，，
，
将圆规直立放置，两脚从并拢到形成最大张角，圆规高度下降，
故答案为：．
过点作，垂足为，先根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，
大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，
故AE，设，
则在中，有，
即，解得：，舍去．
过点作于点，如图所示．
四边形为正方形，为对角线，
为等腰直角三角形，
，
故为等腰直角三角形．
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：．
由大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，在直角三角形中使用勾股定理可求出，过点作于点，由三角形为等腰直角三角形可证得三角形也为等腰直角三角形，设，则，由，可解得进而可得．
本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、正确作出辅助线是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：建立坐标系，如图所示：

由题意得：，，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
，
令，得，
解得，舍，
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
建立坐标系，设抛物线的解析式为，由待定系数法求得抛物线的解析式，令，得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

，
当，原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
 

16.【答案】 

【解析】解：把星期一、星期二、星期三、星期四分别记为：、、、，
画树状图如图所示：

由树状图可知，共有个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的结果有个，
甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；
乙同学随机选择连续的两天，共有个等可能的结果，即星期一，星期二，星期二，星期三，星期三，星期四；
其中有一天是星期二的结果有个，即星期一，星期二，星期二，星期三，
乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是，
故答案为：．
由树状图得出共有个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有个，由概率公式即可得出结果；
乙同学随机选择连续的两天，共有个等可能的结果，即星期一，星期二，星期二，星期三，星期三，星期四；其中有一天是星期二的结果有个，由概率公式即可得出结果．
此题考查了树状图法与列表法求概率．解题的关键是根据题意列表或画树状图，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
，
每副围棋元，每副中国象棋元；
设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
，
最多可以购买副围棋； 

【解析】设每副围棋元，每副中国象棋元，根据题意得：，求解即可；
设购买围棋副，则购买象棋副，根据题意得：，即可求解；
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用点和点的位置确定平移的方向与距离，然后画出、的对应点、即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
利用网格特点，画出、、关于直线的对称点、、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】证明：，，
，
，
．
四边形为平行四边形；

解：四边形为平行四边形，
，．
，
．
在中，，
，，
． 

【解析】直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
利用锐角三角函数关系得出的长，再利用勾股定理得出的长，进而求出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系，正确得出的长是解题关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：这次活动共调查了人，
在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
微信的人数为人，银行卡的人数为人，
补全图形如下：

名，
答：估计该商场大约有名顾客最喜欢“支付宝”支付．
用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用乘以“现金”人数所占比例即可得；
根据题意将条形统计图补充完整即可；
用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数．
本题考查条形统计图、扇形图统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
，
解得，，
即与之间的函数关系式是；
当时，，得，
当时，，得，
故，
即体重在范围的儿童生病时可以一次服下一袋药． 

【解析】根据体重的儿童，每次正常服用量为；体重的儿童每次正常服用量为；体重在范围内时，每次正常服用量是儿童体重的一次函数，可以求得与的函数关系式，并写出的取值范围；
根据题意和中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

22.【答案】   

【解析】解：【教材呈现】如图中，

，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
．

【深入探究】

，
，
，，，
，，
，
．
故答案为：．

【拓展提升】取的中点，连接过点作交的延长线于，过点作交的延长线于则≌，此时的周长最大．

，，
，
，
，
，
，，
，
，
的周长为．
故答案为：
【教材呈现】证明≌，可得结论．
【深入探究】如图，想办法求出，，再利用勾股定理求解即可．
【拓展提升】取的中点，连接，过点作交的延长线于，则≌，此时的周长最大．
本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
．
故答案为：；
如图，当点落在上时，则，

，，
∽，
，
，
，
．
如图中，当点落在上时，则，

过点作于点则，
设，
，
，
，
，
，
，
观察图象可知，满足条件的的值为：；
如图中，延长交于点，过点作于点，于点，过点作于点，设交于点．

由翻折的性质可知，，，，
，，
，
，，，
≌，
，
边把的面积分为：的两部分，
：：，
：：，
：：，
，
设，，
．
，，
在中，，
，
解得，，
；
如图中，当时，延长交于点．

则，，
，
，
此时．
如图中，当时，四边形是菱形，此时，，

如图中，当时，过点操作于点．

，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或．
由勾股定理可求的长；
先求出点落在和上时，的值，即可求解；
首先证明，：：，再利用面积法，可得，设，，构建方程求出即可解决问题；
分三种情形：如图中，当时，延长交于点如图中，当时，四边形是菱形，如图中，当时，过点操作于点分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
图象的最高点为抛物线的顶点，
当时，．
如图，当时，，
，
解得；
当时，，且、都在图象上，
，
解得，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：．
矩形的四个顶点分别为、、、，
直线或直线将矩形的面积分成：的两个部分，
如图，当时，，
当时，则，
图象的最高点为，
或，
解得或不符合题意，舍去；
如图，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，则，
图象的最高点为抛物线的顶点，
或，
由整理得，
解得；
由整理得，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，的值为或或．
设抛物线沿直线翻折后得到的抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
翻折后得到的抛物线的解析式为，
即，
当时，，
，
且，
图象的最高点一定在轴的上方，
如图，当时，则，
图象上有且只有个点到轴的距离为，
，
解得；
或，
解得；
如图，当时，则，
图象上有且只有个点到轴的距离为，
，
解得不符合题意，舍去；
或，解得，
综上所述，的取值范围或或．
当时，，将该函数解析式配成顶点式，可知图象的最高点为抛物线的顶点，可求出它的最大值；
由二次函数的性质可知，开口向下的抛物线，距离对称轴越近的点对应的函数值越大，还应在的范围内，根据这些条件列不等式组可以求出的取值范围；
根据矩形的特点，先确定直线或直线将矩形的面积分成：两个部分，所以过图象的最高点且垂直于轴的直线与直线或直线重合时，才能将矩形的面积分成：两个部分，根据这一条件列方程求出的值；
设抛物线沿直线翻折后得到的抛物线的对称轴为直线，将用含的代数式表示，得到翻折后的抛物线的解析式，先确定图象的最高点一定在轴的上方，再探究图象的最高点需要满足的条件，列不等式组求出的取值范围即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程、解不等式、定义新函数问题的求解、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．