2023年吉林省长春市榆树市小区域联考中考数学三模试卷

2023年吉林省长春市榆树市小区域联考中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  太阳的体积约为立方千米，将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在实数、、、中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将一副三角尺厚度不计如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的大小为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，，，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，零刻度落在点处即从点处开始读数，点是上一点，连接并延长交半圆于点，若，则点在量角器上显示的读数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知下列尺规作图：
作一个角的平分线；
作一条线段的垂直平分线；
过直线外一点作已知直线的垂线．
其中作法正确的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，函数的图象经过对角线的中点，分别交边、于点、点，连结、、若的面积为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

11.  将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，点在边的延长线上，，，则的大小为______ 度

12.  如图，在中，点是斜边的中点，过点作于点，连接，过点作的平行线，交的延长线于点若，则的长为______ ．

13.  如图，是等边的外接圆若，则的长是______ 结果保留．

14.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点若点的横坐标是，则的解集为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球共只，它们除颜色外其余都相同小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，发现多次实验后摸到白球的频率会逐渐接近．
箱子中的红球有______ 个
从该箱子里随机摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再摸出一个球记录颜色用画树状图或列表的方法，求摸到一个红球和一个白球的概率．

17.  本小题分
用、两种机器人搬运大米，型机器人比型机器人每小时多搬运袋大米，型机器人搬运袋大米与型机器人搬运袋大米所用时间相等．求、型机器人每小时分别搬运多少袋大米．

18.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，不要求写出画法．

在图中作的角平分线．
在图、图中，过点作一条直线，使点、到直线的距离相等，图、图所画直线不相同．

19.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

20.  本小题分
年，我国粮食总产量再创新高新浪微博发表了丰收来之不易，一图读懂年全国粮食产量一文，现将其中两部分内容截图如下．

根据以上信息回答下列问题：
从“粮食五大主产地占全国比重”那张图看，产量最高的产地是______ ．
我国从年到年，粮食总产量的中位数是______ ．
国家统计局公布，年全国粮食总产量万吨，比上一年增长如果继续保持这个增长率，年全国粮食总产量约为______ 万吨保留整数．
国际粮食安全的标准线为人均粮食占有量公斤，年我国的人口数为亿人，请通过计算说明年我国人均粮食占有量是否超过国际粮食安全的标准线注：吨公斤，人均粮食占有量

21.  本小题分
装有一个进水管和一个出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，分钟时，再打开出水管排水，分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完在整个过程中，容器中的水量升与时间分钟之间的函数关系如图所示．
进水管注水的速度为______ 升分钟．
当时，求与之间的函数关系式．
求的值．

22.  本小题分
实践与探究：

【操作一】：如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点求证：≌；
【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同如图，当点恰好落在折痕上时， ______ ；
【拓展】：如图，在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点为上任意一点，连接、若，则的最小值为______ ．

23.  本小题分
在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
当秒时，这时，，两点之间的距离是多少？
若的面积为，求关于的函数关系式．
当为多少秒时，以点，，为顶点的三角形与相似？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线、为常数顶点的坐标为，点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分包括、两点记为图象．
求和的值．
当点与点重合时，求点的坐标．
当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．
矩形的顶点分别为、、，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将这个数用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值大于的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少，据此可以解答．
本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握科学记数法表示绝对值较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为
所以最小的实数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，由此可得出答案．
本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面看，看到的图形分为上下两行，上面一行有个小正方形，下面一行左边有个小正方形，即看到的图形为：

故选：．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知俯视图是从上边看得到的图形．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故选：．
根据一元二次方程根的情况的判别式可得，把各系数代入即可求出的取值范围．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握通过判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
又，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，
点在以点为圆心的圆上，
，
，
，
，
，
点在量角器上的读数为．
故选：．
根据，以点为圆心的量角器半圆的直径和重合，可知点在以点为圆上，由，得，所以求得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求解．
本题考查了圆周角的定理与等腰直角三角形，掌握圆周角定理是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：利用基本作图得作一个角的平分线，所以正确；
过直线外一点作已知直线的垂线，所以正确．
故选：．
利用种基本作图对题中的三个作图进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
 

8.【答案】 

【解析】解：设点坐标为，点坐标为，
四边形是矩形，
点坐标为，
，，
点坐标为，是的中点，
点坐标为，
反比例函数过点，
，即，即反比例函数的解析式为，
把代中得，，
即点坐标为，
把代入中得，，即点坐标，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
如图，取中点，取中点，

点，分别是，的中点，
，，
，即，且是中边上的高，
点点分别是，的中点，
，，
，
，且是中边上的高，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在中，，
．
在中，
，
，
，
又，
，即，
，
故选：．
设点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，从而得到点坐标为，进而得到反比例函数的解析式为，继而得到点坐标为，点坐标，可得，，再取中点，取中点，根据三角形中位线定理可得，，再由，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理，反比例函数的几何应用，熟练掌握矩形的性质，三角形中位线定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．
先提取公因式，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示，设、交于，

由题意得，，
，
，
，
，
故答案为：．
由三角板中角度的特点得到，，由平行线的性质和对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得．
本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角板中角度的特点，熟知三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】，，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
，
又为直角三角形斜边中线，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可．
本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，过点点作交于点，

是等边三角形，
，
，
是圆心，，
，
，
，
的弧长，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理得到，所以为等腰三角形，过点作，由含角的直角三角形的性质求出半径，然后根据弧长公式可计算出劣弧的长．
本题主要考查弧长的计算，利用垂径定理以及圆周角定理求出半径的长是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线和直线交于点，且点的横坐标是，
，，
，
，
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
根据两函数图象的交点的横坐标是，可得等式，化简得，将其代入所求不等式中得，两边同时除得，解此一元二次不等式即可．
本题考查二次函数与不等式，利用交点的横坐标为得到是解题关键．二次函数、、是常数，与不等式的关系：函数值与某个数值之间的不等关系，一般要转化成关于的不等式，解不等式求得自变量的取值范围．利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
 

15.【答案】解：

，
当时，原式． 

【解析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

16.【答案】 

【解析】解：摸到白球的频率会逐渐接近，
摸到红球的频率会逐渐接近，
箱子中的红球有个，
故答案为：；
树状图如图所示，

如图表示所有可能的情况，共有种等可能的结果，而摸到一个红球和一个白球的结果有次，可知其概率为，
故答案为：．
用红球的频率乘以所小球的数量可以得到红球的个数；
运用树状图求出概率即可．
本题考查运用频率估计概率，树状图求概率，掌握树状图求概率的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：设型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋，
依题意得：，
解这个方程得：
经检验是原分式方程的解，所以．
答：型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋． 

【解析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
工作效率：设型机器人每小时搬大米袋，则型机器人每小时搬运袋工作量：型机器人搬运袋大米，型机器人搬运袋大米工作时间就可以表示为：型机器人所用时间，型机器人所用时间，由所用时间相等，建立等量关系．
 

18.【答案】解：由图可得：，找到线段中点，连接点和中点的射线即是的角平分线；

解：要使点、到直线的距离相等，即过点、向直线作垂线，垂线段距离相等；
故图图中的直线即为所求作．
 

【解析】根据等腰三角形三线合一即可做出；
利用网格过点、向直线作垂线，垂线段距离相等即可．
本题考查了作图，涉及等腰三角形的性质、平行线的性质等，理解题意，灵活运用所学知识是解题关键．
 

19.【答案】解：，
，
点是的中点，
，
，
≌≌，
，
，是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
四边形是菱形，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质可得，利用可证明≌≌，可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，可得，即可证明四边形是平行四边形，进而可得出结论；
根据菱形的性质及三角形中线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，利用可求出的长，即可求出的面积，即可得答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质及正切的定义，熟练掌握相关定义及判定定理是解题关键．
 

20.【答案】黑龙江     

【解析】解：，
黑龙江最高，
故答案为：黑龙江．
，，，，，
中位数是，
故答案为：．
根据题意，得万吨．
故答案为：．
公斤，
，
年我国人均粮食占有量超过国际粮食安全的标准线．
读图比较大小解答即可．
根据中位数的定义解答即可．
根据题意，列式解答即可．
根据计算公式计算解答即可．
本题考查了中位数，实数的大小比较，增长率，平均数，熟练掌握公式，灵活计算是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：进水管注水的速度为升分钟；
故答案为：
设与之间的函数关系式为，
将，代入，得：，
解得：，
与之间的函数关系式为．
根据题意得：升分，
，
．
观察图象得：分钟进水管注水升，即可求解；
利用待定系数法解答，即可求解；
先求出出水管排水的速度，再求出拍完升水所用的时间，即可求解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关键
 

22.【答案】   

【解析】【操作一】方法一证明：四边形是矩形，
，．
由折叠得，，．
，，
．
≌；
方法二四边形是矩形，
，．
由折叠得，，．
，，
，
，，
，
．
≌；
【操作二】解：由折叠得，．
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
故答案为：；
【操作三】解：根据【操作二】可得：是的垂直平分线，
，
，
当、、共线时，最小，即为，
，
，，
，，
，
故答案为：．
【操作一】方法一：由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，，证出则可得出结论；
方法二：证出，则可得出结论；
【操作二】由折叠得出，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案；
【操作三】根据【操作二】可得出是的垂直平分线，证出，得出，当、、共线时，最小，即为，由勾股定理可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：由题意得，，则，
当秒时，，，
由勾股定理得；

由题意得，，则，
因此的面积为；

分两种情况：
当∽时，，即，解得秒；
当∽时，，即，解得秒．
因此秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出；
由点，点的运动速度和运动时间，又知，的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解；
应分两种情况：当∽时，根据，可将时间求出；当∽时，根据，可求出时间．
本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解．
 

24.【答案】解：抛物线顶点的坐标为，
抛物线的解析式为，
，；
点与点重合，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
，
点位于点的右侧，
图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，
矩形位于直线的左侧，
若点在点的左侧，
当点在点的左侧时，

根据题意得：，
解得：；
当点在点的右侧时，如图，

根据题意得：，无解；
若点在点的右侧，

根据题意得：，
解得：；
综上所述，的取值范围为或． 

【解析】根据题意可得抛物线的解析式为，即可求解；
根据点与点重合，可求出，即可求解；
根据二次函数图象的性质可得图象的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时；当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，即可求解；
分三种情况讨论，结合题意，画出图形，即可求解．
本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．