安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题及答案

1号卷·A10联盟2023届高考最后一卷

数学试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．设（为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．

3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ）

A． B． C． D

5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的王成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

7．某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若高中恰好需要1名心理学教授，，，三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（    ）

A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种

8．已知实数，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知，，点，分别在，上，则（    ）

A．若的半径为1，则

B．若，则与相交弦所在的直线为

C．直线截所得的最短弦长为

D．若的最小值为，则的最大值为

11．如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）

A．当时，平面

B．平面与平面的交线垂直于

C．直线，与平面所成角相等

D．点在平面内的射影在正方体的内部

12．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．为图象的一条对称轴

C．的最小值为1

D．在上单调递增

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．定义在上的函数满足，当时，，则__________．

14．已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．

15．已知函数，，且，则的最小值为__________．

16．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则__________．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．

（1）求；

（2）设，若恒成立，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

从条件①；

②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在中：内角，，的对边分别为，，，__________．

（1）求角的大小；

（2）设为边的中点，求的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，，二面角为直二面角．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为：

（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归为程（，的值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；

（2）从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足的年份的个数为，求的分布列及数学期望．

参考数据：

其中，．

参考公式：对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

21．（本小题满分12分）

已知双曲线（，）过和两点，点为的右顶点．

（1）求的方程；

（2）过点作斜率不为0的直线与交于点，，直线分别交直线，于，．试探究以为直径的圆是否经过定点，若过定点，请求出所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）当时，恒成立，求的取值范围；

（2）求证：对一切的，．

1号卷·A10联盟2023届高考最后一卷

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．B  由题意得，，，

又，则，故选B．

2．C  ，，．故选C．

3．D  由题意得，，．故选D．

4．A  ，，．故选A．

5．B  ，

又，故．故选B．

6．A  设圆雉的底面半径为，高为，则，，体积，

则，故当时，单调递增，

当时，单调递减，当时，取得最大值，

此时，侧面展开图的圆心角．故选A．

7．C  先从6名教授中任选1名教授到高中，有种不同的方法，

再将其余5名教授分配到，，三所高中，可分两类：

①，，三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有种方法；

②，，三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有种不同的方法，不同的分配方案共有种．故选．

8．D  由，，，可得，，．

令，则，当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

，，又，．故选D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．AB  ，即直线的斜率，

设与垂直的直线的斜率为，则，．故选AB．

10．AC  由题意得，的圆心为，半径，．

若的半径为1，则，解得，故A正确；

若，则，两式相减，得与相交弦所在的直线为，故B错误；

易得直线过定点，且点在内，则圆心与点的距离为，则直线被所截的最短弦长为，故C正确；

若的最小值为，则与内含或外离，由点在内，得与内含，

则，的最小值为，解得，

的最大值为，故D错误．故选AC．

11．BC  对于A，连接，，易知平面，而为中点时，平面与平面不重合，故A错误；

对于B，延长，交于，连接交于，连接，则为平面与平面的交线，易知，而平面，，，故B正确；

对于C，连接，则，由对称关系可知直线，与平面所成角相等，直线，与平面所成角也相等，故C正确；

对于D，易知二面角为锐二面角，点在平面内的射影在正方体的外部，故D错误．故选BC．

12．BCD  ，

，

是的周期，故A错误；，为图象的一条对称轴，故B正确；

令，则有，则，在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最小值1，故C正确；

函数由和复合而成，当时，函数，，函数在上单调递减，且，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选BCD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．

由题意得，．

14．；

，，，，在上的投影向量为，其坐标为．

15．

由，得，化简整理得．

令，则，

令，解得．当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增，

，．

16．

如图，设直线，的方程分别为，，则，，，

，，即．联立，

消去得，，，同理可得，，

，，．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

（1）由题意得，，，…，

数列是以为首项，公差的等差数列，

，，，，…，，

将所有上式累加可得，．

又也满足上式，．

（2）由（1）得，，则，

恒成立，，恒成立，，即的取值范围是．

18．（本小题满分12分）

（1）选择条件①：由正弦定理得，

即，

，，即，

又，，，即．

选择条件②：由，得，

则，即，化简得，，

，，即．

（2），，

，

，，

当且仅当时取等号，的最大值为．

19．（本小题满分12分）

（1）在中，，，．

，，，，

则，．

又二面角为直二面角，即平面平面，

平面平面，平面，平面，

平面，．

（2）由（1）知平面，则是直线与平面所成角．

，．

分别取，的中点，，连接，，则．

，，．

又平面平面，平面平面，

平面，，，，．

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，．

设平面的法向量为，则，即．

令，则，，，

显然为平面的一个法向量，

则，

平面与平面的夹角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

（1）由得，设，，

，，，．

又点在上，，故，

，则，即关于的回归方程为，

当时，，

预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆．

（2）的所有可能取值为0，1，2，3，易知2018~2022年中满足的年份有2个，

则每人取到满足的年份的概率为，且有，

，，

，，

的分布列为

．

21．（本小题满分12分）

（1）由题意得，，解得，

的方程为．

（2）由（1）得，，设直线，联立，

整理得，且，

设，，则，，

而直线，令，则，

，同理可得．

由对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，

设该定点坐标为，则，，

，

解得，故以为直径的圆过定点．

22．（本小题满分12分）

（1）由知，，，

记，，则，在上单调递增．

当时，，对恒成立，

在上单调递增，，符合题意；

当时，，，，故存在，使得，

从而，，单调递减，，不合题意．

综上，的取值范围为．

（2）当时，由（1）知，

对一切恒成立，即对一切恒成立，

令，，则，

，，…，，

，

即，．

以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．