2023届安徽省A10联盟高三最后一卷数学试题含解析

2023届安徽省A10联盟高三最后一卷数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，再根据集合的补集和交集的定义即可求解.

【详解】由题意得，，，

又，则.

故选：B．

2．设（为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】先求出复数，然后利用复数的模长公式即可求解.

【详解】，，．

故选：C.

3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意求得，然后由公式可得.

【详解】由题意得，，所以，．

故选：D．

4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先直接求出，然后利用条件概率公式求出，进而得解.

【详解】，，

．

故选：A.

5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.

【详解】依题意，得

，

又，故．

故选：B．

6．已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数.

【详解】由题意，圆锥的母线长为3，

设圆锥的底面半径为，高为，则，，

∴

体积：，

∴，

∴当时，单调递增，当时，单调递减，

当时，取得最大值，

此时，侧面展开图的圆心角.

故选：A．

7．某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若高中恰好需要1名心理学教授，三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（    ）

A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种

【答案】C

【分析】先给高中分配人，然后剩下的人去所高中利用先分组后分配的办法处理.

【详解】先从6名教授中任选1名教授到高中，有种不同的方法，

再将其余5名教授分配到三所高中，可分两类：

①三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有种方法；

②三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有种不同的方法，不同的分配方案共有种．

故选：C

8．已知实数，且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可得，，，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性可得，由此比较的大小.

【详解】由，，，

可得，，．

令，则，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

所以，

所以，

又，

．

故选：D．

二、多选题

9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.

【详解】的定义域为，

，即直线的斜率，

设与垂直的直线的斜率为，则，

所以，．

故选：AB．

10．已知，，点，分别在，上，则（    ）

A．若的半径为1，则

B．若，则与相交弦所在的直线为

C．直线截所得的最短弦长为

D．若的最小值为，则的最大值为

【答案】AC

【分析】直接求的半径即可判断A；两圆方程相减即可得相交弦所在直线方程，从而判断B；易知直线过定点，当定点与圆心连线与垂直时，可得弦长最小值，从而判断C；先根据的最小值确定两圆的位置关系并求出，从而可得的最大值，可判断D.

【详解】由题意得，的圆心为，半径，，圆心为，

若的半径为1，则，解得，故A正确；

若，则，两圆方程相减，得与相交弦所在的直线为，故B错误；

易得直线过定点，且点在内，则圆心与点的距离为，则直线被所截的最短弦长为，故C正确；

若的最小值为，则与内含或外离，由点在内，得与内含，

当被内含时，有，

此时的最小值为，解得，

的最大值为，

这种情况足以判断D错误，作为选择题，则无须考虑被的情况，故D错误．

故选：AC.

11．如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）

A．当时，平面

B．平面与平面的交线垂直于

C．直线，与平面所成角相等

D．点在平面内的射影在正方体的内部

【答案】BC

【分析】A选项，可证明平面，然后注意到平面与平面不重合从而得出结论；

B选项，先补全两个平面的交线后进行证明；

C选项，利用平行关系转化线面角后进行说明；

D选项，投影点是否在内部，结合B选项构建的平面，考虑二面角是钝角还是锐角.

【详解】

对于A，连接，，，，

，，

类似可说明，

故，，又，平面，

于是平面，而为中点时，平面与平面不重合，

故A错误；

对于B，延长，交于，连接交于，连接，

则为平面与平面的交线，

根据正方体性质易知为平行四边形，故//，

由中位线性质，//，于是，

而根据A选项，平面，由平面，，

，故B正确；

对于C，连接，则，由可知，

与平面所成角相等，于是直线，与平面所成角也相等，

故C正确；

对于D，易知三棱锥是正三棱锥，

除为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形，

取中点，连接，由，

得（三线合一），同理，

于是的平面角是，

若设长方体的边长为，则，，

可得，，又，

根据勾股定理可得，即是锐二面角.

于是是钝二面角，根据B选项可知//，于是共面，

点在平面内的射影在四边形之外，

即正方体的外部，故D错误．

故选：BC．

12．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．为图象的一条对称轴

C．的最小值为1

D．在上单调递增

【答案】BCD

【分析】A由成立即可排除；B判断是否成立即可；C应用换元法，结合三角函数、二次函数性质求最值即可判断；D根据复合函数的单调性判断即可.

【详解】，

，

是的周期，故A错误；

，

为图象的一条对称轴，故B正确；

令，则有，则，

在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取得最小值1，故C正确；

函数由和复合而成，

当时，函数，

，

函数在上单调递减，且，

函数在上单调递减，

在上单调递增，故D正确．

故选：BCD

三、填空题

13．定义在上的函数满足，当时，，则__________．

【答案】

【分析】利用逐步将自变量转化到区间上即可求解.

【详解】因为，

所以，

又当时，，所以

故答案为：

四、双空题

14．已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．

【答案】     /；     .

【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标.

【详解】因为，所以，

由可得，

所以，即

所以，

所以在上的投影向量为．

故在上的投影向量的坐标为.

故答案为：；.

五、填空题

15．已知函数，，且，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】先根据得出所满足的关系式，然后用表示，然后利用导数工具求解的最小值.

【详解】由，得，化简整理得．

令，则，

令，解得．当时，，即在上单调递减；

当时，，即在上单调递增，

，．

故答案为：

16．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则__________．

【答案】/

【分析】设直线，的方程分别为，，利用表示出M，N的坐标，从而可得H坐标，然后联立抛物线方程可得P，Q坐标，利用斜率公式可得.

【详解】如图，设直线，的方程分别为，，则，，，

因为为圆的直径，，所以．

联立，消去得，，，

同理可得，，

，，．

故答案为：

六、解答题

17．已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．

(1)求；

(2)设，若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，数列是等差数列，求出通项后，利用累加法求；

（2）由已知条件求出，作差法判断数列单调性，找到数列最大项，求出的取值范围．

【详解】（1）由题意得，，，…，

数列是以为首项，公差的等差数列，

，

，，，…，，

将所有上式累加可得，．

又也满足上式，．

（2）由（1）得，，则，

恒成立，，

恒成立，，即的取值范围是．

18．从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

在中：内角，，的对边分别为，，，__________．

(1)求角的大小；

(2)设为边的中点，求的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)

【分析】（1）若选择条件①，由正弦定理边化角即可求解；若选择条件②，利用和差角公式化简即可；

（2）利用向量建立等量关系，由重要不等式即可求得最值.

【详解】（1）选择条件①：由正弦定理得：，

即，

，，即，

又，，，即．

选择条件②：由，得，

则，即，化简得，，

，，即．

（2），，

，

，，

当且仅当时取等号，的最大值为．

19．如图，在四棱锥中，，，，，二面角为直二面角．

(1)求证：；

(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）转化为平面的问题，根据面面垂直性质定理，结合已知条件可证；

（2）分别取，的中点，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用平面法向量计算可得.

【详解】（1）记的中点为，连接DE，

，，所以

又，所以四边形BCDE为正方形，

所以，．

又二面角为直二面角，即平面平面，

平面平面，平面，平面，

平面，．

（2）由（1）知平面，则是直线与平面所成角．

在中，，

，．

取的中点，连接，，则．

易知，所以

，，．

又平面平面，平面平面，平面，

平面，而平面，

，，，．

以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设，则

易知，所以，解得

即

所以，．

设平面的法向量为，则，即．

令，则，，，

显然为平面的一个法向量，

则，

平面与平面的夹角的余弦值为．

  【点睛】20．纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为：

(1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归为程（，的值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；

(2)从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足的年份的个数为，求的分布列及数学期望．

参考数据：

其中，．

参考公式：对一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

【答案】(1)，预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）设，由已知可得，利用最小二乘法结论求，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测，并判断结论；

（2）由条件确定随机变量的所有可能取值，由条件可得结合二项分布的分布列和期望公式求解.

【详解】（1）由得，

设，则，

因为， ，

，，

所以．

又，所以，

所以，故，

所以，

则，又，，

所以，

即关于的回归方程为，

当时，，

所以预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆．

（2）的所有可能取值为，易知年中满足的年份有2个，

则每人取到满足的年份的概率为，

故，

，，

，，

的分布列为

．

21．已知双曲线（，）过和两点，点为的右顶点．

(1)求的方程；

(2)过点作斜率不为0的直线与交于点，，直线分别交直线，于，．试探究以为直径的圆是否经过定点，若过定点，请求出所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)过定点，定点坐标为

【分析】（1）将已知点坐标代入双曲线方程，解方程组，然后可得所求方程；

（2）设直线l的方程和，利用M，N的坐标表示出E，F，根据对称性可判断定点必在x轴上，设定点，根据EF为直径，结合韦达定理可解.

【详解】（1）由题意得，，解得，

的方程为．

（2）由（1）得，，设直线，联立，

整理得，

因为直线l与双曲线有两个交点，所以，

设，，则，，

而直线，令，则，

，同理可得．

由对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，

设该定点坐标为，则，，

，

解得，故以为直径的圆过定点．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数，．

(1)当时，恒成立，求的取值范围；

(2)求证：对一切的，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）观察出，然后讨论的单调性，从而确定的取值范围；

（2），所以构造不等式，结合第一问证明即可.

【详解】（1）由知，，，

记，，则，在上单调递增．

当时，，对恒成立，

在上单调递增，，符合题意；

当时，，且在上单调递增，，

所以x趋向正无穷趋向正无穷，故存在，使得，

从而，，单调递减，，不合题意．

综上，的取值范围为．

（2）当时，由（1）知，

对一切恒成立，即对一切恒成立，

令，，则，

，，…，，

，

即，