2023届福建省龙岩市高三下学期5月教学质量检测数学试题含答案

福建省龙岩市2023届高三下学期5月教学质量检测

数学试题

（满分：150分考试时间：120分钟）

注意事项：

1.考生将自己的姓名､准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.

2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.在的展开式中，的系数为（    ）

A.12    B.-12    C.6    D.-6

3.已知（为虚数单位，），若复数满足，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

4.已知集合，从集合中任取2个数字，则它们之和大于7的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，若恒成立，则（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（    ）

A.253    B.506    C.507    D.759

8.已知数列满足，设，若为数列中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，已知正六棱台中，，则（    ）

A.    B.

C.平面    D.侧棱与底面所成的角为

10.已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A.的图象关于点对称

B.图象的一条对称轴是

C.若，则的最小值为

D.若时，函数有两个零点，则实数的取值范围是

11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在抛物线上，则下列说法正确的是（    ）

A.的最小值为1

B.的周长的最小值为

C.若，则的最小值为32

D.若过分别作抛物线的切线，两切线相交于点，则点在抛物线的准线上

12.已知函数为的导数，则下列说法正确的是（    ）

A.当时，在区间单调递减

B.当时，恒成立

C.当时，在区间上存在唯一极小值点

D.当时，有且仅有2个零点

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，若，则__________.

14.写出一个与圆外切，并与直线及轴都相切的圆的方程__________.

15.已知函数关于的方程恰有三个不同实数解，且关于的方程有实数解，则实数的取值范围为__________.

16.已知是椭圆上的三个点，为的左焦点，两点关于原点对称，若，则椭圆的离心率为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

已知等差数列前项和为，数列前项积为.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本题满分12分）

已知的内角的对边分别为，若，且.

（1）求；

（2）把的图象向右平移个单位长度，再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上恰有两个极值点，求的取值范围.

19.（本题满分12分）

如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面和平面夹角的余弦值.

20.（本题满分12分）

新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.

（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率）的值；

（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.

（i）求该零件为废品的概率；

（ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，

21.（本题满分12分）

设函数.

（1）求的极值；

（2）已知有最小值，求的取值范围.

22.（本题满分12分）

已知双曲线的左顶点为，渐近线方程为.直线交于两点，直线的斜率之和为-2.

（1）证明：直线过定点；

（2）若在射线上的点满足，求直线的斜率的最大值.

福建省龙岩市2023届高三下学期5月教学质量检测

数学试题

参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

8.简解：由得：

又因为，所以，

所以数列为等差数列，且首项为，

公差也为3，则，

所以，

要使为数列的唯一最小项，则，所以.故选B.

12.简解：

当时，

当时，在上递减.A正确.

当时，若，则错误.

当时，

令，则

当时，递增，又，

所以在上存在唯一的零点

则在上递减，在上递增

是在区间上的唯一极小值点正确.

由上可知在递减，，

在递增，存在，使，

当时，递减，当时，递增，

又，得在上有一个零点.

当时，递增，为其一个零点.

当时，，

在上不存在零点D正确.选ACD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-1

14.或

或

或（写出其中一个即可）

15.

16.

简解：设椭圆的右焦点为，则，

，在中，由余弦定理得：①

在中，由余弦定理得：②

由①得：，化简得：③

由②得：

把④代入③化简得：，又.

四､解答题：本题共6小题，共70分.

17.（本题满分10分）

解：（1）是等差数列，，

即：，

又，

当时，，符合上式，

.

（2）由（1）可得：，

.

18.（本题满分12分）

解：（1）因为，

所以

由正弦定理得

由余弦定理得.

即，因为，所以

（2）解法一：由（1）知的图象向右平移个单位得的图象，

再把所得图象向上平移个单位长度，得到的图象，

所以.

令，则

在上恰有两个极值点，

由的图象可知，，

所以的取值范围是

解法二：由（1）知的图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象向上平移个单位长度，得到的图象，

所以.

令得即，

，所以，

所以的取值范围是.

19.（本题满分12分）

解：（1）解（1）为圆的直径，是圆上异于的点，

故

又

又.

平面.

平面平面平面.

（注：也可以由，证明，得出）

（2）设为的中点，连接，则，

由（1）可知，平面；所以

平面，

又

如图以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

由题意可得

平面，四边形为矩形，

设平面的一个法向量为

由得取

设平面的一个法向量为，

由得取.

设平面与平面的夹角为

则

平面和平面夹角的余弦值为.

20.（本题满分12分）

解：（1）

由得：

（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，

“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，

“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，

则，

又，

于是

.

（ii）.

21.（本题满分12分）

解：（1）函数的定义域为，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，取得极大值，极大值为，没有极小值.

（2）由可化为

又函数为单调递增函数

则由可得：，即

令则

得：

则

令

则

令

则

当时，时在单调递增

，即在单调递增

此时，在不存在最小值，即不存在最小值

当时，时，单调递减，

时，单调递增

又

存在，使，当时，，当时，

即当时，单调递减

当时，单调递增

此时，当时，最小，即有最小值

综上，

22.（本题满分12分）

解：方法一：（1）由题知的方程为：，

显然直线的斜率存在，设直线，

联立，得，

设直线的斜率分别为，则，

故

又

不过点

所以直线过定点.

（2）设，由得：

，

同理：，①.

由可知，，设，

则

，②

③

①代入②得：，④

④代入③得：

由

当且仅当时，取得最大值.

方法二：（1）由题知的方程为：.

设直线，

由得，

所以，

设直线的斜率分别为，则，

故是方程的两根，

因为直线的斜率之和为-2，所以，所以，

所以直线的方程为，所以直线过定点.

（2）设直线.

由，得.

由，得.

故，同理.

由可知，，

故..

因为，化简得.

当时取等号，所以直线的斜率的最大值为.