2023届四川省遂宁市射洪市高三下学期5月普通高考模拟测试数学（理）试题含答案

  绝密★启用前【考试时间  5月17日15:00—17:00】

2023届四川省遂宁市射洪市高三下学期5月普通高考模拟测试

数  学（理工农医类）

满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷或草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1.设集合，集合，则AB= 

A.∪[2，+∞）    B.    C.    D.

2.已知复数满足，则

A.1    B.   C.2            D.

3.“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是

A.      B.      C.      D.

4.函数的大致图象为

          A               B                C               D

5.已知一组正数的方差，则数据,,

的平均数为

A.3            B.5              C.7             D.1 

6.已知函数，则下列结论中正确的是

A.在区间上单调递减    

B.到的图像可由函数的图像向右平移个单位得到

C.是图像的一条对称轴

D.的最大值为      

7.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为60mg/L，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则棉滤芯层数最少为  （参考数据：，）

A.5              B.6              C.7              D.8

8.设数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则

A.1033           B.1034           C.2057           D.2058

9.将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为

A.           B.              C.    D.

10.已知，分别是长方体的棱的中点，若，，则四面体的外接球的表面积为

A.   B.    C.           D.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为

A.         B.           C.           D.

12.已知函数及其导函数的定义域均为R，记＝，若

，均为偶函数，下列结论错误的是

A.函数的图像关于直线＝1对称     

B.＝2 

C.＝0             

D．若函数在[1，2]上单调递减，则在区间[0，2024]上有1012个零点

第Ⅱ 卷（非选择题   共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知的展开式中常数项为，则实数的值为   ▲   .

14.已知向量，若，则   ▲   .

15. 已知数列为等比数列，,，则数列的第10项为   ▲   ． 

16.已知椭圆C：，过C的右焦点F的直线L交C于M,N两点（M,N在y轴右侧），则的取值范围为   ▲   .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）记的内角的对边分别为，，，已知，，成等差数列，且7 =3．

（1）求；

（2）若的面积为，求．

18.（12分）如图，在四棱锥中，底面

是梯形，∥，，，

为等边三角形，为棱的中点.

（1）证明：∥平面；

（2）当的长为多少时，平面⊥平面？

请说明理由，并求此时直线CE与平面PCD所成角的大小

19.（12分）近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式。可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：

（1）判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？

（2）假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．

附：，其中．

20.（12分）

椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求（为坐标原点）面积的最大值，

以及取得最大值时直线的方程．

21.（12分）

已知函数,．

（1）若是上的减函数，求实数的取值范围；

（2）若有两个极值点，，其中，求证：．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）

22．已知直线为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆与极轴和直线分别交于点，点（均异于坐标原点）．

（1）写出点的极坐标及圆的参数方程；

（2）求的最大值．

【选修4—5：不等式选讲】（10分）

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若正实数，满足，且函数的最小值为，求证：.

2023届四川省遂宁市射洪市高三下学期5月普通高考模拟测试

理数参考答案及评分意见

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1     14. -4      15.  492     16.

17.【解析】（1）因为成等差数列，

所以，

又7sinA=3sinC，

结合正弦定理得，---------------------2分

联立，得.--------------------------4分

从而.----------6分

（2）由（1）可得，-------8分

△的面积为，

解得，                              ---------------10分

所以.                         -------------12分

18.【解答】解：（1）证明：取线段PA的中点F，连接EF、FD，则EF为△PAB的中位线，

∴EF∥AB由题知CD AB，

∴EF CD，                          -----------2分

∴四边形CEFD为平行四边形，

∴CE∥DF，               -----------------------4分

∵DF⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，

∴CE∥平面PAD．              ------------------6分

（2）当时，平面PAD⊥平面ABCD．   -------7分

理由如下：

在△PAB中，∵AB＝PA＝2.，

∴AB⊥PA．又∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，

∴AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

分别取线段AD，BC的中点O，M，连接PO，OM，

∵△APD为等边三角形，O为AD的中点，

∴PO⊥AD，即PO⊥平面ABCD，．

∵O，M分别为AD，BC的中点，

∴OM∥AB，又AB⊥AD，

∴OM⊥AD．                           -----------9分

分别以OA、OM、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，

则B（1，2，0），，C（﹣1，1，0），D（﹣1，0，0），，

，，，

设平面PCD的法向量为，则，即，

令z＝1，，

可得．---------11分

所以直线CE与平面PCD所成角的正弦值为，所成的角为． ---12分

19.【解析】（1）根据列联表得

，

所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．-----4分

（2）（ⅰ）由已知公式可得，，

，，，

则

，得证．  -------------------8分

（ⅱ）①若选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C，

由题意得,故选M品种，被抽到的概率为．----10分

②若选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，

由题意，

故选N品种，被抽到的概率为． ---------------------------------12分

20、【解析】(1)椭圆的离心率为，且椭圆经过点，

，        --------------------2分

所以         ----------------------3分

所以椭圆的标准方程为．      ----4分

(2)由得，

，

设，

则，  -------------7分

线段的中点为，，，

又点在抛物线上，

，

所以或，                ----------------9分

当时，三点共线（舍去），

又

点到直线的距离，

，

，   ------------11分

当时，的面积取得最大值，此时，

所以面积的最大值为1，此时直线的方程为． -----12分

21【解析】（1）由题意知在上恒成立

∴恒成立，        --------------------------2分

令，，则

∴，∴，

当，；，----------4分

所以即，

所以                       ------------------5分

（2）方法一：（割线夹证零点差）

由有两个极值点，，

所以有两个不等的实数根，，

由（1）可知且，

又过点和的直线方程为------7分

构造函数，

所以． ----------------------------9分

设方程的根为，则

过点和直线方程为设，

因为，

所以在单调递增所以

则,又设方程的根为，则

∴----------------12分

方法二：（借助极值点偏移进行放缩＋参数替换）

由有两个极值点，，所以有两个不等的实数根，，

由（1）可知且

构造，则

∵，∴，．

∴，∴．

∴是上的增函数，--------------------7分

∴，∴，

∵，∴．

∵，∴，

∵，，是上的增函数，-----------9分

∴，∴．

要证：（利用放缩）

只需证：，只需证：（参数替换）

只需证：

只需证：--------------------------------10分

∵，∴，，∴，

∴．∴，

∴得证．--------------------------------------12分

22解:（1）圆的极坐标方程为，令

点的极坐标为................2分

由：，

根据，

转换为直角坐标方程为，...............4分

（或这样做：令，，或0（舍.

圆的参数方程为为参数）；.........................5分

（2）直线为参数，，

转换为直角坐标方程为：.

，，

，                  -------------7分

，

，--------------------8分

（其中，

的最大值为18．...............10分

23.解:（1）∵，要使，

∴当时，则，

解得，得.  ----------------------2分

当时，则，

即恒成立，得.------------------3分

当时，则，

解得，得.------------------------4分

综上，不等式的解集为................5分

（2）证明：由，

∴，又正实数，满足，

可得，    ----------------------------7分

∴----------9分

当且仅当，即时等号成立，

∴得证................10分