2023四川省射洪中学高三下学期3月第一次月考试题数学（理）含答案

射洪中学高2020级高三下期第一次月考

数学(理科)参考答案

一、选择题答案：CCBCD   BCACA  DB

二、填空题答案：   -40  ;     ;       ;      ①③④

三，解答题

17解：（1）参加课后活动的时间位于区间的概率…………4分

（2）活动的时间在区间的概率，的可能取值为，

，，

，.

故分布列为：

.……………………12分

18. 解：（1），∴，∴，∴，又∵，∴，所以数列是以为首项和公差的等差数；.……………………6分

（2）由(1)知：，所以，∴，，又满足上式，∴，

因，所以，

所以，记，又在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，所以，

所以的最大值为．.……………………12分

19. 解：（1）连接、交于，连接，由正四棱锥性质可得平面，底面为正方形，则，所以以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，

则，

，，

所以，，又，

得，，所以，所以、、、四点共面，即点在平面内．.………………6分

（2）由（1）可得，设平面的法向量，由，

得，令，则，，所以，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为．.……………………12分

20. 解：（1）由条件可知，，

解得：，，所以椭圆C的方程是；.……………………4分

（2）假设在轴上存在点，使且，

联立，设，，方程整理为，

，解得：或，

，，

则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，

即中点坐标，，则，即，

化简为，①又,则，

，整理为，

，化简为②

由①得，即，代入②得，

整理得③，又由①得，代入③得，

即，整理得，即.

当时，，当时，，满足，所以存在定点,

此时直线方程是，当定点,

此时直线方程是..……………………12分

21.解：（1）由题意，函数的定义域为.则.    令，得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，且极小值为，

而，故在上存在唯一零点，

因为，，故在上存在唯一的零点，

综上所述，有且仅有2个零点. .……………………5分

（2） 设，，则，可得当时，单调递增，

当时，单调递减，所以，所以.即（当且仅当时，

取等号）. 令，得（，当且仅当时，取等号）

所以依次令，得到

，，，…，

所以

即.……………………12分

22. 解：（1）曲线C的参数方程为（为参数，），

所以，所以即曲线C的普通方程为．

直线l的极坐标方程为，则，

转换为直角坐标方程为．.……………………5分

（2）直线l过点，直线l的参数方程为（t为参数）令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即t1、t2为负，故．………10分

23.解：（1）当时，，

故即或或，

解得，

即原不等式的解集为.……………………5分

（2）由题意得，

即，，即，

而，

当且仅当即时等号成立，

故的最小值为.……………………12分