2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟数学（理）试题含解析

2023届四川省遂宁市射洪市高三5月模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用并集定义即可求得.

【详解】，

则

故选：C

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据复数的四则运算可求得，即可求得．

【详解】根据题意，设，所以，

所以所以或,

所以复数或，

所以．

故选:B．

3．“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求得关于的不等式的解集为R对应的a的范围，进而得到其必要不充分条件.

【详解】关于的不等式的解集为R，

则，解之得，

则“关于的不等式的解集为R”的一个

必要不充分条件对应的a的范围应包含，则仅选项C符合题意.

故选：C

4．函数的大致图象为

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.

【详解】因为是奇函数排除，且当时，.

故答案为A.

【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.

5．已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【分析】利用方差的计算公式求出的平均数，然后利用平均数的结论求解即可.

【详解】正数的方差，

又

，

所以，

所以，

所以数据的平均数为：

.

故选：C

6．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．到的图像可由函数的图像向右平移个单位得到

C．是图像的一条对称轴

D．的最大值为

【答案】D

【分析】结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可.

【详解】因为

，

所以，

对于A：1弧度，所以，

当时，所以，

所以在上单调递增，故A错误；

对于B：将图像向右平移个单位

得到，即B错误.

对于C：由导数的性质得，

所以不是极值点，即不是的对称轴，故C错误；

对于D：当时，且，

所以，故D正确；

故选：D

7．净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核心零件是多层式结构的棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯），主要用于去除铁锈､泥沙､悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层棉滤芯可以过滤掉的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过，则棉滤芯层数最少为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据指数与对数的运算直接求解.

【详解】由题意得，经层滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为，，

则，得，所以，

即，所以，

解得，，

所以的最小值为，

故选：C.

8．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，

是以为首项，为公差的等差数列，，，

.

故选：A.

9．将甲、乙等5名志愿者分配到4个社区做新冠肺炎疫情防控宣传，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，则甲、乙二人去不同社区的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】部分均匀分组问题，5个人去4个社区，只能是的形式，据此先算出基本事件总数，再求出甲、乙去相同的社区的事件数，利用古典概型公式和对立事件的定义求解.

【详解】5个人去4个社区，只能是的形式，分组的情况总数为，

再把这些分组分配到四个不同地方，有种情况，因此基本事件总数为；

甲、乙去相同的社区的情况有：种，

由对立事件可得甲、乙二人去不同社区的概率为：.

故选：C.

10．已知分别是长方体的棱的中点，若，则四面体的外接球的表面积为

A．13π B． C． D．

【答案】A

【分析】四面体的外接球就是直三棱柱DEC﹣D1FC1的外接球，根据数据求解即可.

【详解】如图所示，四面体的外接球就是直三棱柱DEC﹣D1FC1，的外接球，

设棱柱DEC﹣D1FC1的底DEC的外接圆圆心为G，三棱柱DEC﹣D1FC1，的外接球为O，

△DEC的外接圆半径r．＝+，解得r，

外接球的半径R，

∴四面体的外接球的表面积为4π＝13π．

故答案为13π．

【点睛】本题考查了几何体的外接球，将四面体的外接球转化为柱体的外接球是解题的关键，属于中档题．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作，延长交于点，利用平行关系得出对应线段成比例，在直角三角形中，结合双曲线定义得出各边之间的关系，在三角形中，利用余弦定理求得结果.

【详解】如图，过点作，延长交于点，

因为，，，所以，

设，则，，

因为，所以，所以，

在直角三角形中，，所以，即，

所以.

在三角形中，由余弦定理得，

所以，整理得，

所以.

故选：A.

12．已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，下列结论错误的是（    ）

A．函数的图像关于直线＝1对称

B．＝2

C．

D．若函数在[1，2]上单调递减，则在区间[0，2024]上有1012个零点

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.

【详解】因为是偶函数，

所以，所以函数函数的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；

因为g(x＋2)为偶函数，所以有，

因此函数关于直线对称，

由，

因此函数关于点对称，由

，所以函数的周期为4，

在中，令，得，

在中，令，得，

所以，故选项B不正确；

由，令，得，因此选项C正确；

因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，

所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，

所以函数在上单调递增，且，

所以当时，函数有两个零点，

当时，由函数的周期为4，

可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，

故选：B.

二、填空题

13．已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．

【答案】1

【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.

【详解】展开式的通项为，令解得，∴．

∴．

故答案为：1

14．已知向量，，，若，则___________.

【答案】

【分析】用向量的坐标运算即可.

【详解】依题意：

，

解得m=-4，

故答案为：-4.

15．已知数列为等比数列，，，则数列的第10项为___．

【答案】

【分析】先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的第10项的值.

【详解】数列为等比数列，，，

则，解之得

则数列前3项为，

则数列是首项为1公比为2的等比数列，则，

则，则

故答案为：

16．已知椭圆C：，过的右焦点的直线交于，两点（，在轴右侧），则的取值范围为______.

【答案】

【分析】因为非对称结构，考虑先找和的关系，因直线过的右焦点，故，结合及，的范围，可得.

【详解】

由题意，，，

设点，，则，，，

因，可设直线方程为，

联立，得，

由韦达定理得，，

由，得，

直线过椭圆上顶点和焦点，点在椭圆上，则，，

则直线的方程为，即，

联立，得，

故，，

，，

由椭圆的对称性知，，

故，

设，，

则，，

，

当时，，函数在区间上单调递减，

当时，，函数在区间上单调递增，

，，，

故，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题用到椭圆的二级结论，利用和的关系， 将转化为关于的函数，结合的范围，利用导数求函数的最值.

三、解答题

17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sinA=3sinC．

(1)求；

(2)若的面积为，求b．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理结合a，b，c成等差数列可解决；

（2）利用三角形面积公式即可解决.

【详解】（1）因为a，b，c成等差数列，所以，

又7sinA=3sinC，结合正弦定理得，

联立，得.

从而.

（2）由（1）可得，

的面积为，解得，所以.

18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.

(1)证明：∥平面；

(2)当的长为多少时，平面平面？请说明理由，并求出此时直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）取线段的中点，连接，利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论，

（2）当时，由已知条件可证得平面，从而可得平面平面，分别取线段，的中点，，连接，，则可证得两两垂直，所以分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】（1）证明：取线段的中点，连接，

则为的中位线，

∥ ，，

∵∥，，

∥，，

∴四边形为平行四边形.

∥，

平面，平面，

∥平面.

（2）当时，平面平面.

理由如下：

在中，，，.

又，，平面，

又平面，∴平面平面.

分别取线段，的中点，，连接，，

因为为等边三角形，为的中点，所以，即平面，.

因为，分别为，的中点，所以，

又，所以.

分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，

设平面的法向量为，

则，

令，.

.

所以直线与平面所成角的正弦值为，所成的角为.

19．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡．食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄、褐两种颜色的蜂蜡罐，对M，N两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：

(1)判断是否有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联？

(2)假设要计算某事件的概率，常用的一个方法就是找一个与B事件有关的事件A，利用公式：求解现从装有a只M品种蜜蜂和b只N品种蜜蜂的蜂蜡罐中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M品种蜜蜂为事件A，第二次抽到M品种蜜蜂为事件B．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）研究发现，①M品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；M品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；②N品种蜜蜂飞入黄色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为；N品种蜜蜂飞入褐色蜂蜡罐概率为，被抽到的概率为．请从M，N两个品种蜜蜂中选择一种，求该品种蜜蜂被抽到的概率．

附：，其中．

【答案】(1)有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联

(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）选M品种，被抽到的概率为，选N品种，被抽到的概率为

【分析】（1）根据题意求出，与3.841比较即可得出结论；

（2）（ⅰ）分别求出，，，，代入公式计算即可证明；（ⅱ）根据题意代入公式计算即可．

【详解】（1）根据列联表得，

所以有95%的把握认为蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联．

（2）由已知公式可得，，，，，

则

，得证．

（ⅱ）①选M品种，设选M品种蜜蜂被抽到为事件C，

由题意得,

故选M品种，被抽到的概率为．

②选N品种，令选N品种蜜蜂被抽到为事件D，

由题意，

故选N品种，被抽到的概率为．

20．椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将点代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；

（2）联立直线与椭圆方程，得出关于的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在上求出与关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出，结合二次函数性质可求最值.

【详解】（1）椭圆的离心率为，且椭圆经过点，

，所以

所以椭圆的标准方程为．

（2）由得，

，

设，则，

线段的中点为，，，

又点在抛物线上，，

所以或，

当时，三点共线（舍去），

又

点到直线的距离，，

，

当时，的面积取得最大值，此时，

所以面积的最大值为1，此时直线的方程为．

21．已知函数，．

(1)若是R上的减函数，求实数a的取值范围；

(2)若有两个极值点，其中，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将函数单调递减转化为恒成立问题，然后参变分离转化为函数最值问题，利用导数可解；

（2）构造割线，利用割线与交点横坐标差小于与交点横坐标差，化曲为直可证；或根据极值点偏移问题，构造可证.

【详解】（1）由题意知在上恒成立

∴恒成立，令，，则

令，得，

当，；，

所以即，

（2）方法一：（割线夹证零点差）

由有两个极值点，所以有两个不等的实数根，

由（1）可知，当x趋近于时，趋近于0，且

所以且

又过点和的直线方程为

构造函数，

，

所以．

设方程的根为，则

过点和直线方程为

设，

因为，所以在单调递增

所以则

又设方程的根为，则

∴

方法二：（借助极值点偏移进行放缩＋参数替换）

由有两个极值点，所以有两个不等的实数根，

由（1）可知且

构造，则

∵，∴，．

∴，∴．

∴是上的增函数，∴，∴，

∵，∴．

∵，∴，

∵，，是上的增函数，

∴，∴．

要证：（利用放缩）

只需证：

只需证：（参数替换）

只需证：

只需证：

∵，∴，，

∴，∴．

∴，∴得证．

【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数范围，由极值点分布证明不等式恒成立.

利用单调性求参数范围常采用分离参数法，证明不等式恒成立常采用构造函数法、此题中搭建和思维难度大，有化曲为直的妙处.

22．已知直线为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆与极轴和直线分别交于点，点（异于坐标原点）.

(1)写出点的极坐标及圆的参数方程；

(2)求的最大值.

【答案】(1)，的参数方程为为参数)

(2)

【分析】（1）将圆的极坐标方程化为普通方程后令可得点的极坐标，也容易将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）先求出点的坐标，再确定向量后求数量积，然后再化简整理求解即可.

【详解】（1）直线为参数，，转换为直角坐标方程为：.

圆的极坐标方程为，整理得：，

根据，转换为直角坐标方程为：，

化简整理得：，

令，，或0（舍，

圆的参数方程为为参数），

（2），，，

，，，

,

（其中

的最大值为18.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若正实数，满足，且函数的最小值为，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）分类讨论：、、求的解集，然后取并集即可；

（2）由绝对值的几何意义可知，即，再由已知条件等式，应用基本不等式“1”的代换可证，即结论得证.

【详解】（1）∵，要使，

∴当时，则，解得，得.

当时，则，即恒成立，得.

当时，则，解得，得.

综上，不等式的解集为.

（2）证明：由，

∴，又正实数，满足，可得，

∴当且仅当，即时等号成立，

∴得证.

【点睛】关键点点睛：

（1）应用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集；

（2）根据绝对值的几何含义求最小值，再根据条件等式结合基本不等式“1”的代换求证即可.