2023届辽宁省沈阳市第二中学高三下学期第五次模拟考试数学试题含答案

2023届高三下学期第五次模拟考试

数学试题

说明：1．测试时间：120分钟   总分：150分

2．考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为（    ）

A．220 B．240 C．250 D．300

4．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关。如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”。画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）

A． B． C． D．

5．设，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C． D．

6．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．

由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是关于的方程在内的两根，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知是圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆，设圆与圆交于A，B两点，则下列点中，直线一定不经过（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知双曲线，则不因的变化而变化的是（    ）

A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率

10．下列说法中正确的是（    ）

A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，样本方差没有变化

B．在线性回归分析中，成对数据构成的点都在回归直线上的充要条件是相关系数r=1

C．在线性回归分析中，回归直线就是使所有数据的残差平方和最小的直线

D．在线性回归分析中，用最小二乘法求得的回归直线使所有数据的残差和为零

11．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，E为母线中点，则下列结论正确的是（    ）

A．圆台母线与底面所成角为 B．圆台的侧面积为

C．圆台外接球半径为2  D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5

12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，且，则下列关系中正确的是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（选择题，共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，，则_______．

14．已知随机变量，，，若，则的最小值为___________．

15．___________．

16．已知表示不超过的最大整数，记，则方程的整数解个数为_____________．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知数列满足，．

（1）证明：为常数；

（2）设数列的前项和为，求．

18．（本小题满分12分）一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人在点A处，2号机器人在点B处，3号机器人在点C处，且，，米，如图所示：

（1）求1号机器人和2号机器人之间的距离；

（2）若2号机器人发现足球在点处向点作匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半作匀速直线运动去拦截足球．已知米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段上的点处截住足球，求此时线段的长．

19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若为的中点，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值．

20．（本小题满分12分）某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晩餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晩餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：

假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

（1）分别估计一天中甲午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率；

（2）记为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求的分布列和数学期望；

（3）假设表示事件“餐厅推出优惠套餐”，表示事件“某学生去餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．

21．（本小题满分12分）如图：李华同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳纸直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆雉曲线的一部分图象．已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，．设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．

（1）求曲线的方程；

（2）斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点M、N，已知的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）已知曲线在点处的切线为l，设，，2，…，，且．

（1）设是方程的一个实根，证明：为曲线和的公切线；

（2）当时，对任意的且，恒成立，求的最小值．

2023届高三下学期第五次模拟考试

数学试题答案

1．DDBDA   6-8ABC   9．BD   10．ACD   11．ACD   12．BC

13．   14．   15．   16．24

17．（1）因为，所以，∴，

所以为常数2．

（2）因为，，所以，即，又，

∴数列是2为首项，2为公比的等比数列；

数列是1为首项，2为公比的等比数列；

所以．

（1）在中，由正弦定理得，

即，

故1号机器人和2号机器人之间的距离为米

（2）如图，

设米．由题意，米．米

在中，由余弦定理得，

整理得．解得，．

所以，或（不合题意，舍去）

19．（1）如图，在三棱柱中，取的中点D，连接，

因为是等边三角形，则，又平面，

平面平面，平面平面，则平面，

而平面，于是，又，，平面，

因此平面，

又平面，则，于是，

所以

（2）取的中点F，连接．由（1）得平面，

又，所以是直线与平面所成的角，即，，

由（1）知，，两两互相垂直，以C为坐标原点，直线为x轴，

过点C且平行于AB的直线为y轴，直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

于是，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，得，设直线与平面所成的角为

则，

即直线与平面所成的角的正弦值为．

20．（1）设事件C为“一天中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐”，

事件D为“乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐”，

因为100个工作日中甲员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的天数为30，

乙员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的天数为40，

所以，．

（2）由题意知，甲员工午餐和晩餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晩餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，所以，，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望．

（3）由题知，即，

即，即，

即，即，即．

21．（1）依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为，则，由，，，得，，

由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，所以轨迹的方程为．

（2）假设存在，使得，设，，直线的方程为，

由消去得：，

而，，，

，由得，即，

于是，令，，

因此，又，即，解得或，

所以存在，使得成立．

22．（1）根据题意，切线的方程为，即．

设曲线在点处的切线斜率为，

则，，，即切点为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

因为为方程的一个实根，所以，

所以，

所以这两条切线重合，即为曲线和的公切线．

（2）因为，，2，…，，且，

即对，恒成立，

所以对，恒成立．

因为在上单调递减，

所以在上单调递减，

所以当时，函数取最小值，

且，

即对任意且，恒成立，

显然当时，，所以，即，

所以的最小值为．