2022届辽宁省沈阳市第二中学高三下学期第五次模拟考试数学试题含解析

辽宁省沈阳市第二中学2022届高三下学期第五次模拟考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知随机变量服从二项分布，若，，则（       ）

A． B． C． D．

3．从800件产品中抽取6件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001，002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数开始往右读数（随机数表第7行至第9行的数如下），则抽取的6件产品的编号的75%分位数是（       ）

……

8442175331   5724550688   77047447672176335025   8392120676

6301637859   1695566711   69105671751286735807   4439523879

3321123429   7864560782   52420744381551001342   9966027954

A．105 B．556 C．671 D．169

4．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（       ）

A．2192 B． C． D．

5．设为常数，动点分别与两定点，的连线的斜率之积为定值，若点的轨迹是离心率为的双曲线，则的值为（       ）

A．2 B．-2 C．3 D．

6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（       ）

A．是等差数列 B．是等比数列

C．是等差数列 D．是等比数列

7．如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，E为的中点，则在原几何体中，异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知实数a，b，，且，，，则（       ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多 

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，，则

C．，则 D．若，则

10．已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（       ）

A．，，且，则 B．，，且，则

C． ，，且，则 D．，，且，则

11．下列说法正确的是（       ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．用二分法求函数在内的零点近似解时，在运算过程中得到，，，则可以将看成零点的近似值，且此时误差小于

C．甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，有种不同的坐法

D．已知为平面直角坐标系中一点，将向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，则点坐标为

12．若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数具有性质.下列函数中具有性质的有（       ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若集合， ， ，则=____________．

14．年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的熊猫形象备受追捧，引来国内外粉丝争相购买，竟出现了“一墩难求”的局面．已知某工厂生产一批冰墩墩，产品合格率为．现引进一种设备对产品质量进行检测，但该设备存在缺陷，在产品为次品的前提下用该设备进行检测，检测结果有的可能为不合格，但在该产品为正品的前提下，检测结果也有的可能为不合格．现从生产的冰墩墩中任取一件用该设备进行检测，则检测结果为合格的概率是______________．

15．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为_________.

16．沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：

①测量、、；

②测量、、；

③测量、、；

④测量、、．

其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且．

（1）求角A的大小；

（2）若是方程的一个根，求的值．

18．已知等差数列,其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：，，，．

（1）求与；

（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围．

19．某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近年宜传费和年销售量的数据做了初步统计，得到如下数据：

经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式，即，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：

(1)从表中所给出的年年销售量数据中任选年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于吨的概率；

(2)根据所给数据，求关于的回归方程．

附：对于一组数据、、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

20．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．已知椭圆E的左右焦点分别是、，且经过点.

（1）求椭圆E的标准方程：

（2）设AC，BD是过椭圆E的中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆?若存在，求圆G的方程，若不存在，请说明理由.

22．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围；

(3)判断与的大小，并证明．

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

【详解】

由题意可得：.

故选：C.

2．A

【解析】

【分析】

由二项分布的均值和方差公式列方程组求解．

【详解】

由题意，解得．

故选：A．

3．C

【解析】

【分析】

由随机表及编号规则确定抽取的6件产品编号，再从小到大排序，应用百分位数的求法求75%分位数.

【详解】

由题设，依次读取的编号为，

根据编号规则易知：抽取的6件产品编号为，

所以将它们从小到大排序为，

故，所以75%分位数为.

故选：C

4．D

【解析】

【分析】

计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.

【详解】

由题意可知：每月还本金为2000元，

设张华第个月的还款金额为元，

则，

故选：D

5．A

【解析】

根据题意可分别表示出动点P与两定点的连线的斜率，根据其之积为定值，求得x和y的关系式，对的范围进行分类讨论，当时，方程的轨迹为双曲线，根据圆锥曲线的标准方程可推断出离心率，从而求得λ的值．

【详解】

依题意可知，整理得，

当时，方程的轨迹为双曲线，

 即，

，，

，

.

故选：A

【点睛】

本题主要考查双曲线的应用，考查计算能力，属于基础题.

6．A

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.

【详解】

由题可知，抛物线的焦点为，准线为，

点在抛物线上，由抛物线的定义可知，

点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；

所以，解得.

故数列是等差数列.

故选：A.

7．A

【解析】

【分析】

将给定展开图还原成三棱锥，取BD中点F，借助几何法求出异面直线所成角的余弦值.

【详解】

因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原几何体是正三棱锥，

其中两两垂直，且，取BD中点F，连接EF，AF，如图，

因E为的中点，则有，因此，是异面直线与所成角或其补角，

令DB=2，则，中，，

正中，，于是有：，即，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：A

8．A

【解析】

【分析】

构造函数，根据函数的单调性即可判断.

【详解】

构造函数   ， ，

显然 时， ，即 时是单调递增的 ，

当 时，是单调递减的，故 的最大值是 ，

当 时 的值域是 ，

由题意，对于 ， ， ， ，

对于 ，即 ，∵， ，

 ∴必然存在， 使得   ，

由于 ， ，即，由于 是单调递增的，

，

对于 ，即 ，同理 ， ， ，

由于 ， ，即 ， ；

故选：A.

9．ABC

【解析】

【分析】

根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.

【详解】

解：对于A选项，因为，故，故，正确；

对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；

对于C选项，由于，故，故，即，正确；

对于D选项，当时，，故错误.

故选：ABC

10．CD

【解析】

【分析】

利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.

【详解】

A选项，若，，且，则可能相交或平行，故A错误；

B选项，若，，且，则可能相交，也可能平行，故B错误；

C选项，若，，则，又，则；即C正确；

D选项，若，，则或；又，根据面面垂直的判定定理可得：，即D正确.

故选：CD.

11．BCD

【解析】

【分析】

利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用二分法可判断B选项；利用圆排列公式可判断C选项；利用三角函数的定义结合两角和的正弦和余弦公式可判断D选项.

【详解】

对于A选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，A错；

对于B选项，，，，

则看成零点的近似值，且此时误差小于，B对；

对于C选项，甲、乙、丙、丁四人围在圆桌旁，不同的坐法种数为种，C对；

对于D选项，设点在角终边上一点，由已知，

由三角函数的定义可得，，且，

向量绕原点逆时针方向旋转角到的位置，

则，

，

所以，则点坐标为，D对.

故选：BCD.

12．BD

【解析】

【分析】

根据题意可知性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，分析各选项中函数的导函数的单调性与原函数的奇偶性，数形结合可判断A、B选项的正误；利用导数相等，求解方程，可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

由题意可得，性质指函数的图象上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等.

对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在不同的两个使得导数值相等，所以A不符合；

对于B选项，函数为偶函数，，

令，可得或，如下图所示：

由图象可知，函数在和处的切线重合，所以B选项符合；

对于C选项，设两切点分别为和，则两切点处的导数值相等有：，解得：，令，则，

两切点处的导数，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；

对于D选项，，设两切点得横坐标分别为和，

则，所以，

取，，则，，

两切点处的导数值为，两切点连线的直线斜率为，

所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质，所以D选项符合.

故选：BD.

【点睛】

本题考查函数的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

13．

【解析】

【分析】

直接利用交集和并集的定义计算即可．

【详解】

解：集合， ，所以；

又，

所以．

故答案为：．

14．##

【解析】

【分析】

记事件检测结果为合格，记事件产品为正品，利用全概率公式计算出，再利用对立事件的概率公式可求得.

【详解】

记事件检测结果为合格，记事件产品为正品，

则，，，

由全概率公式可得，

所以，检测结果为合格的概率为.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数的图象重合，比较系数，求出，然后求出的最小值.

【详解】

解：，向右平移个单位可得：

，

又∵，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是基础题.

16．②③

【解析】

【分析】

利用正弦定理可判断①②，利用余弦定理可判断③，根据已知条件可判断④不满足条件.

【详解】

对于①，由正弦定理可得，则，

若且为锐角，则，此时有两解，

则也有两解，此时也有两解；

对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；

对于③，若已知、、，由余弦定理可得，

则唯一确定；

对于④，若已知、、，则不确定.

故答案为：②③.

17．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理角化边后，利用余弦定理得到，进而求得；

（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到，利用同角三角函数的关系得到的值，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式求得.

【详解】

（1）∵，

∴，即，

∴，

又∵三角形内角，

∴；

（2）等价于，解得或；

∵，∴，∴，

∴

.

18．(1) , (2)

【解析】

【分析】

（1）根据给出条件构建的方程组，然后即可求解两个数列的通项公式；（2）根据递增数列对应的恒成立去计算的取值范围.

【详解】

解：（1）因为，，所以，解得，

所以，.

（2）由（1）知：，因为，所以，所以，因为是递增的，所以. ，所以.

【点睛】

本题考查等差等比数列通先求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.根据数列的单调性求解参数范围，若数列是递增的，则有；若数列是递减的，则有.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）令，，则，计算出、的值，将参考数据代入最小二乘法公式，计算出、的值，即可得出关于的回归方程.

(1)

解：从表中所给出的年年销售量数据中任选年做年销售量的调研，

所有的基本事件有：、、、、、

、、、、、

、、、、，共种，

其中，事件“所选数据中至多有一年年销售量低于吨”所包含的基本事件有：

、、、、、、

、、、、、、

、，共种，

故所求概率为.

(2)

解：令，，则，

则，，，

，

所以，，，，

故关于的回归方程为.

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）取的中点，连接、，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.

(1)

证明：因为四边形为菱形，则，

平面，平面，平面，

，平面，平面，平面，

，所以，平面平面，

因为平面，平面.

(2)

解：取的中点，连接、，

因为四边形为菱形，则，

因为，则为等边三角形，

因为为的中点，则，同理可得，

因为平面平面，平面平面，平面，

平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的向量为，，，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，则.

因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

21．（1）；（2）存在，.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的定义，求出，得到椭圆的标准方程；

（2）先分析与轴垂直时，得到圆为四边形ABCD的内切圆，再当与轴不垂直时，设BC的方程为，与椭圆联立，得到根与系数的关系，再由，得到的关系式，再分析原点到的距离为定值，再理可得，O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是，知存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，并求得内切圆的方程.

【详解】

（1）设椭圆E的标准方程是，

由椭圆的定义可知，，

所以，

所以，因为，所以，

故椭圆E的标准方程为.

（2）若BC与x轴垂直，则AB与x轴平行，此时四边形ABCD为正方形，

，所以圆为四边形ABCD的内切圆.

若BC与x轴不垂直，则AB与x轴不平行，

设直线BC的斜率为k，直线BC的方程为，

与椭圆E的交点为，由，

得，

所以，，

因为，所以，

即，

，

所以，

圆心O到直线BC的距离为，

同理可证圆心O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是，

 所以四边形ABCD的内切圆G的方程为;

综上所述，存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，

内切圆的方程为.

【点睛】

本题考查了椭圆定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，还考查了设而不解，联立方程组，根与每每的关系等基本技巧，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养，难度较大.

22．(1)答案见解析

(2)

(3)，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；

（2）当时，由可得或，利用参变量分离法可得出或对任意的恒成立，利用导数求出相应函数的最值，即可求得实数的取值范围；

（3）由（1）可知当时，，则，然后利用不等式的可加性可得出与的大小关系.

(1)

解：函数的定义域为，.

当时，对任意的，，此时函数的减区间为；

当时，方程在时的解为，

由可得，由可得，

此时，函数的减区间为，增区间为.

综上所述，当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，增区间为.

(2)

解：当时，由可得或.

若对任意的恒成立，则，

令，其中，则，

令，其中，则，

所以，函数在上为减函数，

因为，，

所以，存在，使得，

当时，，即，此时函数单调递增，

当时，，即，此时函数单调递减，

且当时，，因为，故当时，，

，解得；

若对任意的恒成立，则，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，当时，，，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

(3)

解：，理由如下：

由（1）知，当时，在上为增函数，

当时，，即，则，

因此，.

【点睛】

结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.