【全套专题】初中数学同步 7年级下册 第05课 平行线与相交线全章复习与巩固（含解析）

第05课  平行线与相交线全章复习与巩固

知识点01  相交线

1.对顶角、邻补角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：

注意：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

2.垂线及性质、距离

(1)垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是      时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.

注意：

要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.

(2)垂线的性质：

垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

(3)点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.

注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

知识点02  平行线

1．平行线判定

判定方法1：同位角      ，两直线平行．

判定方法2：内错角       ，两直线平行．

判定方法3：同旁内角      ，两直线平行．

注意：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线      (不相交)，那么两直线平行.

(2)如果两条直线都      第三条直线，那么这两条直线平行(平行线的传递性).

(3)在同一平面内，      同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理：经过直线外一点，       与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角       ；

性质2：两直线平行，内错角      ；

性质3：两直线平行，同旁内角      .

注意：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

(1)若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线           ．

3．两条平行线间的距离

如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称           为两平行线AB与CD间的距离.

注意：

(1)两条平行线之间的距离           相等.

(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是           ,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

(3)如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的           ，是一个量，它们之间不能等同.

知识点03  命题及平移

1.命题：           的语句，叫做命题．每个命题都是           、           两部分组成.           是已知事项；           是由已知事项推出的事项.

2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

注意：

平移的性质：

(1)平移后，对应线段           (或共线)且           ；

(2)平移后，对应角           ；

(3)平移后，对应点所连线段            (或共线)且           ；

知识点04  数学思想

一、转化与化归思想

【思想解读】转化思想是把一种待解决的问题经过某种转化，归类到已经解决的问题中去.转化思想在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化，在解题中经常用到，它包括未知向已知的转化，陌生向熟悉的转化，复杂向简单的转化，抽象向具体的转化；数与形的转化等.

【应用链接】在证明线的位置关系或有关角度计算时，常利用平行线的性质把没有关联的角转化为对顶角或邻补角之间的关系进行处理，反之把具有对顶角或邻补角关系转化为在同一个“三线八角”图形结构中进行处理.

【典例1】如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是________.

【即学即练1】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判断∠C与∠AED的大小关系吗？并说明理由.

二、分类讨论思想

【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.

【应用链接】在几何问题中，涉及到图形之间的位置关系不定时，需要应用分情况讨论问题的方法.

【典例2】如图，AD∥BC，当点P在射线OM上运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.

【即学即练2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰好与边AB平行.

三、方程思想

【思想解读】方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解的思维方式.

【应用链接】在应用垂直、角平分线或角度之间的比值进行角度的计算时，常用方程的思想，构建方程解决问题.

【典例3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数.

第05课  平行线与相交线全章复习与巩固

知识点01  相交线

1.对顶角、邻补角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：

注意：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

2.垂线及性质、距离

(1)垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.

注意：

要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.

(2)垂线的性质：

垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).

垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

(3)点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.

注意：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

知识点02  平行线

1．平行线判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

注意：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点(不相交)，那么两直线平行.

(2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行(平行线的传递性).

(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

注意：

根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

(1)若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

3．两条平行线间的距离

如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

注意：

(1)两条平行线之间的距离处处相等.

(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

(3)如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.

知识点03  命题及平移

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.

2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

注意：

平移的性质：

(1)平移后，对应线段平行(或共线)且相等；

(2)平移后，对应角相等；

(3)平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等；

知识点04  数学思想

一、转化与化归思想

【思想解读】转化思想是把一种待解决的问题经过某种转化，归类到已经解决的问题中去.转化思想在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，此时需要将所给条件进行转化，在解题中经常用到，它包括未知向已知的转化，陌生向熟悉的转化，复杂向简单的转化，抽象向具体的转化；数与形的转化等.

【应用链接】在证明线的位置关系或有关角度计算时，常利用平行线的性质把没有关联的角转化为对顶角或邻补角之间的关系进行处理，反之把具有对顶角或邻补角关系转化为在同一个“三线八角”图形结构中进行处理.

【典例1】如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20°，∠C=

120°，则∠AED的度数是________.

【详解】如图，延长AE交BC于点F，因为AB∥CD，∠C=120°，所以∠B=60°，又因为BC∥DE，所以∠AED=∠AFC=∠B+∠A=60°+20°=80°.

答案：80°

【即学即练1】如图，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判断∠C与∠AED的大小关系吗？并说明理由.

【解析】∠C与∠AED相等，理由为：

∵∠1+∠2=180°(已知)，

∠1+∠DFE=180°(邻补角定义)，

∴∠2=∠DFE(同角的补角相等)，

∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行)，

∴∠3=∠ADE(两直线平行，内错角相等)，

又∠B=∠3(已知)，

∴∠B=∠ADE(等量代换)，

∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)，

∴∠C=∠AED(两直线平行，同位角相等).

二、分类讨论思想

【思想解读】分类讨论思想是一种常见的数学思想方法.具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决.

【应用链接】在几何问题中，涉及到图形之间的位置关系不定时，需要应用分情况讨论问题的方法.

【典例2】如图，AD∥BC，当点P在射线OM上运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.　世纪金榜导学号91904134

【详解】分三种情况进行讨论：

①当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD=∠α+∠β.

理由如下：如图(1)，过点P作PE∥AD交CD于点E.

∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.

②当点P在BA延长线上时，∠CPD=∠β-∠α.

理由如下：如图(2)，过点P作PE∥AD交CD于点E.

同①可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β-∠α.

③当点P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β.

理由如下：如图(3)，过点P作PE∥AD交CD于点E.

同②可知∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α-∠β.

【即学即练2】如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第________秒时，边CD恰好与边AB平行.

【解析】①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°.

∵每秒旋转10°，

∴时间为100°÷10°=10(秒).

②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角为270°+10°=280°，

∵每秒旋转10°，

∴时间为280°÷10°=28(秒)，

综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行.

答案：10或28

三、方程思想

【思想解读】方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解的思维方式.

【应用链接】在应用垂直、角平分线或角度之间的比值进行角度的计算时，常用方程的思想，构建方程解决问题.

【典例3】如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，FO⊥CD于点O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度数.

【详解】设∠BOD=2x，∠EOB=3x，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=∠EOB=3x，

则3x+3x+2x=180°，

解得：x=22.5°，

∴∠BOD=45°，

∴∠AOC=∠BOD=45°.

∵FO⊥CD，

∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-45°=45°.