2023届河南省郑州市高三下学期5月质量监测考试数学（理）试题含解析

2023届河南省郑州市高三下学期5月质量监测考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法和对数函数的定义域得到集合，再利用并集含义即可.

【详解】由题得,

，即，则

则，

则,

故选：D.

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算即可得到答案.

【详解】因为，所以,

故选：C.

3．近年来，随着双碳目标、空调新国标的制定，节能变频空调的需求不断增多，下图为2017-2022中国节能变频空调产量，根据该图，下列说法错误的是（    ）

A．2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加

B．2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数6833.2万台

C．2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%

D．2017-2022中国节能变频空调年平均产量超过7500台

【答案】B

【分析】根据图表，中位数的计算，增长率以及平均数的计算，即可逐一判断.

【详解】根据图表显然看出，

2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加，A正确；

因2017-2022共六年，

则2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数为，B错；

因，解得，

则2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%，C正确；

2017-2022中国节能变频空调年平均产量为：.D正确.

故选：B

4．公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列通项求出，再利用基本不等式即可求出，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可.

【详解】因为,所以,

因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，

取,则,此时,C,D均不正确,

故选：B.

5．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】A

【分析】由双曲线方程求出、，依题意，设为右支上一点，为右焦点，连接、，则，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得.

【详解】双曲线，则，，，

由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，

则四边形为矩形，所以，

设，，则，，

所以.

故选：A

6．的展开式中的常数项与展开式中的常数项相等，则的值为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】计算出两个二项式的常数项，从而得到关于的方程，解出即可.

【详解】的展开式中的常数项为，

展开式中的常数项,

所以,即,

故选：D.

7．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为，由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积.

【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，

设此时球形材料的半径为，由题意得，解得，

所以球形材料的体积最小值为.

故选：D.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【详解】因为，

，所以且，

，

所以.

故选：B

9．若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，设过原点的切线与曲线在处相切，根据导数的几何意义得到方程，整理得，设，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为，所以，

设过原点的切线与曲线在处相切，

所以切线的斜率，整理得，

设，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，且当时，当时，

所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.

故选：C

10．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出方程的根，然后根据方程在上恰有5个不同实根列出不等关系，进而求解.

【详解】因为函数，

当时，方程可化为，解得

，则当时，，

当时，方程可化为，解得，

则当时，

因为根据方程在上恰有5个不同实根，

所以这5个不同实根为，则，

故选：D.

11．若非零向量，夹角为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据向量数量积的定义有，根据向量数量的运算律结合二次函数的性质即可得到的最值.

【详解】由向量夹角为,得,

所以

,

当时取等号.所以的最小值为,

故选：C.

12．若椭圆上存在一点，使得函数图象上任意一点关于点的对称点仍在的图象上，且椭圆的长轴长大于2，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，解得即可.

【详解】因为，

所以的图象可由奇函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，

所以的图象关于点对称，

所以椭圆经过点，则，即，

即，

所以，又因为，所以，解得，

又，所以，即.

故选：D

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率的取值范围.

二、填空题

13．已知某小麦品种的株高（单位：）服从正态分布，且，现从该品种小麦中任取2株，则这2株小麦株高都超过的概率为______．

【答案】0.01/

【分析】根据正态分布的性质即可求出指定区间的概率，再利用独立事件的乘法公式即可得到答案.

【详解】由小麦株高服从正态分布,得,

所以,

所以这2株小麦株高都超过的概率为.

故答案为：0.01.

14．已知圆心在轴正半轴上的圆过原点，且与直线相交所得的弦长为，则圆的标准方程为__________________.

【答案】

【分析】设，则圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到方程，求出，即可得解.

【详解】设，则圆的半径，点到直线的距离，

所以，即，

解得或（舍去），

所以的标准方程为.

故答案为：

15．已知数列满足，，数列的前项和为，若为大于1的奇数，则______．

【答案】

【分析】通过变形有，再利用分组求和即可得到答案.

【详解】因为,所以,

所以

.

故答案为：.

16．在正四棱柱中，，点为中点，点为中点，直线与直线所成角的余弦值为，过、、做该正四棱柱的截面，则截面周长为____________.

【答案】

【分析】根据正四棱柱的底面边长为4，利用直线与直线所成角的余弦值为，可计算出侧棱，再利用面面平行的性质定理作出过、、的截面为五边形，利用勾股定理即可分别计算出各边长即可计算出截面周长为.

【详解】画出正四棱柱，连接，取的中点为，连接，如下图所示；

由正四棱柱性质易知，

为的中位线，所以，因此异面直线与所成角即为或其补角；

可设，又，易得，

由余弦定理可知，；

解得，即；

过、、做该正四棱柱的截面，设截面交与点，如下图所示；

易知平面平面，

截面平面，截面平面；

由面面平行的性质定理可得；

取的中点为，连接，可得，

即，

延长交的延长线于点，连接交于点，连接；

则过、、的截面为五边形；

又因为点为中点，所以点即为的中点，

所以，，，所以；

则，；

易知，，

所以五边形截面周长为；

故答案为：

三、解答题

17．如图，在中，，点在延长线上，且．

(1)求；

(2)若面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，利用余弦定理求得，再在和中两次利用正弦定理即可求出比值.

（2）利用三角形面积公式即可求出（1）问的值，再利用余弦定理即可.

【详解】（1）因为,设,则,

由余弦定理得，因为，

所以

在中,由正弦定理得,

在中,由正弦定理得,

因为,所以

整理得.

（2）由得,

由（1）得,所以,

在中,,

由余弦定理得

.

18．在几何体中，，，点，在棱上，且，三棱柱是直三棱柱，且．

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据直三棱柱的特点和线面垂直的性质得，证明，再利用面面垂直的判定定理即可证明；

（2）以点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，面面角的空间向量求法即可.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱,

所以平面,

因为平面,所以,

由,点,在棱上,且,

由余弦定理得，而，则，

即有，又，

即有，

所以,因为,平面，

所以平面,因为平面,所以平面平面.

（2）由题可得,两两垂直,

以点为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,

则,

，

设平面的一个法向量,则,

即,取,得,

设平面的一个法向量,则,

即,取,得,

则,

所以,

即平面与平面所成角的正弦值为.

19．MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大．下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5．

(1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；

(2)从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望．

参考数据：

其中，，．

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）两边取自然对数有，设，所以，则将非线性方程转化为线性方程，利用公式计算出， 代入样本中心点即可得到；

（2）的取值依次为1,2,3，计算出每个对应的概率值，再利用期望公式即可得到答案.

【详解】（1）两边同时取自然对数得.

设，所以，

因为,

所以.

把代人,得,所以,所以,

即关于的回归方程为.

（2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68, 2.45,3.35，共3个，所以的取值依次为1,2,3

所以的分布列为

.

20．过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.

【答案】(1);

(2)存在，详见解析.

【分析】（1）根据直线与抛物线相切及列方程求出得解；

（2）由题意转化为直线NP，NQ关于对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率互为相反数即可知存在且直线方程为.

【详解】（1）由题意得直线的方程为，即，

设，

与联立得，

因为直线与C相切，所以,

整理得，且，，

因为，所以，

由得，

所以的方程为.

（2）由（1）得，

点Q关于的对称点恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于对称，

设，

设直线PQ方程为，与联立得，

则.

.

所以直线PN斜率，

所以直线QN斜率，

，

所以直线NP，NQ关于直线或对称，

所以存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P, N共线，

且的方程为或.

21．已知．（）

(1)讨论的单调性；

(2)若，且存在，使得，求的取值范围．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）分和讨论即可；

（2）代入值，分离参数得，，设，利用导数和隐零点法即可得到答案.

【详解】（1）因为,

所以,

若时,单调递减,时,,单调递增；

若,由得或,

设,则,

时,单调递减,

时,单调递增,

所以，所以,

所以时,单调递减,

，时,,单调递增.

综上得,当时,在上单调递减,在上单调递增,

当时,在上单调递减,在，上单调递增.

（2）当时,,

存在,使得成立,

即成立,即成立，

设,则,

设,，则在上单调递增，

且,

所以存在,使得,

所以

令，，在上单调递增,得,

所以,时,单调递减,

时,,单调递增，

所以,

所以,即的取值范围是.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用分离参数法得到，然后设，利用导数求解最小值，其中用到了经典的隐零点法，是导数大题中的难点.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程及的直角坐标方程；

(2)若曲线，没有公共点，求a的取值范围.

【答案】(1)；.

(2).

【分析】（1）由题意，参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化即可；

（2）圆与圆没有公共点，即内含或外离，排除外离，由内含的条件求解即可.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为，

平方得：，

由于，所以，又，所以.

所以.

所以的普通方程为：；

曲线的极坐标方程为：，

所以，

所以的直角坐标方程为：.

（2）  

联立得：，

，所以.

若曲线，有公共点，.

因为曲线，没有公共点，所以.

故a的取值范围为：.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若对，，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得对恒成立，利用绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可.

【详解】（1）因为，

当时等价于，解得；

当时等价于，解得；

当时等价于，解得；

综上可得的解集为.

（2）对，，

即对恒成立，

因为，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是.