河南省郑州市2023届高三下学期5月质量监测考试文科数学试题（含解析）

河南省郑州市2023届高三下学期5月质量监测考试文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

3．近年来，随着双碳目标、空调新国标的制定，节能变频空调的需求不断增多，下图为2017-2022中国节能变频空调产量，根据该图，下列说法错误的是（    ）

A．2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加

B．2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数6833.2万台

C．2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%

D．2017-2022中国节能变频空调年平均产量超过7500台

4．已知锐角终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

6．若，均为单位向量，且，则k的值可能是（    ）

A．-2 B．2 C．3 D．-3

7．陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知第一象限内的动点在直线的左下方，则是恒成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

12．若椭圆上存在一点，使得函数图象上任意一点关于点的对称点仍在的图象上，且椭圆的长轴长大于2，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．偶函数满足，且时，，则_____________.

14．已知圆心在轴正半轴上的圆过原点，且与直线相交所得的弦长为，则圆的标准方程为__________________.

15．中，，，，平分线与交于点，则_________.

16．在正四棱柱中，，点为中点，点为中点，直线与直线所成角的余弦值为，过、、做该正四棱柱的截面，则截面周长为____________.

三、解答题

17．已知公差的等差数列满足，，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)记数列的前n项和为，从下列两个条件中选一个，求，若对任意，恒成立，求正整数的最小值.

①；②.

18．在几何体中，，，点，在棱上，且，三棱柱是直三棱柱.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离.

19．MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长.数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大.下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5.

(1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程；

(2)从2018年—2022年中国MCN市场规模中随机抽取2个数据，求这2个数据差的绝对值不大于1的概率.

参考数据：

其中，.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

20．过点，斜率为的直线l与抛物线相切于点N，且.

(1)求抛物线C的方程；

(2)斜率为的直线与C交于与点N不重合的点P，Q，判断是否存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P，N共线，若存在，求出的方程，若不存在，说明理由.

21．已知.

(1)讨论的单调性；

(2)若，判断的零点个数.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求的普通方程及的直角坐标方程；

(2)若曲线，没有公共点，求a的取值范围.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若对，，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】求不含参数的二次不等式得到集合，求指数函数值域的得到集合，然后求两个集合的并集即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D.

2．C

【分析】利用共轭复数的定义以及复数的运算求解即可.

【详解】由，可得，

则.

故选：C

3．B

【分析】根据图表，中位数的计算，增长率以及平均数的计算，即可逐一判断.

【详解】根据图表显然看出，

2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加，A正确；

因2017-2022共六年，

则2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数为，B错；

因，解得，

则2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%，C正确；

2017-2022中国节能变频空调年平均产量为：.D正确.

故选：B

4．B

【分析】利用三角函数的定义、正弦、余弦的二倍角公式，以及诱导公式得出，从而求出角的值，代入中结合诱导公式即可求出值.

【详解】由锐角终边上一点，

所以

，

所以，

所以，

故选：B.

5．A

【分析】由双曲线方程求出、，依题意，设为右支上一点，为右焦点，连接、，则，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得.

【详解】双曲线，则，，，

由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，

则四边形为矩形，所以，

设，，则，，

所以.

故选：A

6．B

【分析】两边同时平方，得到，余弦值只能在判断即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以，

由于，均为单位向量，所以，

所以，由于，所以只有B符合.

故选：B.

7．D

【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，设此时球形材料的半径为，由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积.

【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小，

设此时球形材料的半径为，由题意得，解得，

所以球形材料的体积最小值为.

故选：D.

8．A

【分析】依题意可得、且，若恒成立，即恒成立，利用基本不等式求出，即可求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为第一象限内的动点在直线的左下方，

所以、且，

若恒成立，即恒成立，

因为，

当且仅当时取等号，所以，

所以是恒成立的充分不必要条件.

故选：A

9．C

【分析】求出函数的导函数，设过原点的切线与曲线在处相切，根据导数的几何意义得到方程，整理得，设，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最值，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为，所以，

设过原点的切线与曲线在处相切，

所以切线的斜率，整理得，

设，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，且当时，当时，

所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.

故选：C

10．D

【分析】求出方程的根，然后根据方程在上恰有5个不同实根列出不等关系，进而求解.

【详解】因为函数，

当时，方程可化为，解得

，则当时，，

当时，方程可化为，解得，

则当时，

因为根据方程在上恰有5个不同实根，

所以这5个不同实根为，则，

故选：D.

11．B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.

【详解】因为，

，所以且，

，

所以.

故选：B

12．D

【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，解得即可.

【详解】因为，

所以的图象可由奇函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位得到，

所以的图象关于点对称，

所以椭圆经过点，则，即，

即，

所以，又因为，所以，解得，

又，所以，即.

故选：D

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求出的对称中心，得到关于离心率的不等式，从而求出离心率的取值范围.

13．

【分析】先由函数为偶函数求出，再利用周期性直接可以求解.

【详解】因为为偶函数，且时，，

所以，

解得，所以

因为，所以函数的周期为2，

所以.

故答案为：.

14．

【分析】设，则圆的半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理得到方程，求出，即可得解.

【详解】设，则圆的半径，点到直线的距离，

所以，即，

解得或（舍去），

所以的标准方程为.

故答案为：

15．

【分析】首先利用余弦定理求出、，即可得到，再由正弦定理计算可得.

【详解】由余弦定理，

，

所以，所以，

因为为的平分线，所以，

所以，

在中由正弦定理，

即，所以.

故答案为：

16．

【分析】根据正四棱柱的底面边长为4，利用直线与直线所成角的余弦值为，可计算出侧棱，再利用面面平行的性质定理作出过、、的截面为五边形，利用勾股定理即可分别计算出各边长即可计算出截面周长为.

【详解】画出正四棱柱，连接，取的中点为，连接，如下图所示；

由正四棱柱性质易知，

为的中位线，所以，因此异面直线与所成角即为或其补角；

可设，又，易得，

由余弦定理可知，；

解得，即；

过、、做该正四棱柱的截面，设截面交与点，如下图所示；

易知平面平面，

截面平面，截面平面；

由面面平行的性质定理可得；

取的中点为，连接，可得，

即，

延长交的延长线于点，连接交于点，连接；

则过、、的截面为五边形；

又因为点为中点，所以点即为的中点，

所以，，，所以；

则，；

易知，，

所以五边形截面周长为；

故答案为：

17．(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据等差数列通项公式及等边中项的性质求出、，即可得解；

（2）若选①得到，根据等差数列求和公式求出，即可得到，从而求出正整数的最小值；

若选②可得，利用裂项相消法求出，即可得到，从而求出正整数的最小值.

【详解】（1）由，可得，所以，

又，，成等比数列，所以，即，

所以，解得或，因为，所以，，

所以.

（2）若选①；

则

所以，

所以，则，

所以正整数的最小值为；

若选②，则，

所以，

所以，所以正整数的最小值为；

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由直三棱柱的性质可得平面，即可得到，再由余弦定理求出、，即可得到，从而得到平面，即可得证；

（2）取的中点，的中点，连接，，由面面垂直的性质得到平面，再由及等体积法计算可得.

【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，

因为平面，所以，

又，，点，在棱上，且，

则

所以，显然，所以，

所以，则，

所以，即，

又，平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）取的中点，的中点，连接，，

设点到平面的距离为，因为，

所以，

因为平面平面，，平面平面，

所以平面，

因为，即，

所以，所以，

所以点到平面的距离为.

19．(1)

(2)

【分析】（1）由得，由回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式求得，从而求得y关于x的回归方程.

（2）符合两个年限中市场规模差的绝对值不大于1的情况有四种，利用古典概型概率公式求解即可.

【详解】（1）因，

所以两边取对数得，，

设，则，

设，

因为，，

所以，

，

所以，

所以，，

所以.

（2）由题知，任取2个市场规模数据，

这2个数据差的绝对值不大于1的情况有：

2018年，2019年，，

2019年，2020年，，

2020年，2021年，，

2021年，2022年，，

所以2个数据差的绝对值不大于1的概率为.

20．(1);

(2)存在，详见解析.

【分析】（1）根据直线与抛物线相切及列方程求出得解；

（2）由题意转化为直线NP，NQ关于对称，只需证明两条直线NP，NQ的斜率互为相反数即可知存在且直线方程为.

【详解】（1）由题意得直线的方程为，即，

设，

与联立得，

因为直线与C相切，所以,

整理得，且，，

因为，所以，

由得，

所以的方程为.

（2）由（1）得，

点Q关于的对称点恒与P，N共线，则直线NP，NQ关于对称，

设，

设直线PQ方程为，与联立得，

则.

.

所以直线PN斜率，

所以直线QN斜率，

，

所以直线NP，NQ关于直线或对称，

所以存在直线，使得点Q关于的对称点恒与P, N共线，

且的方程为或.

21．(1)答案见解析

(2)个

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；

（2）结合（1）可得的极值，再根据零点存在性定理判断即可.

【详解】（1）因为定义域为，

所以,

若时，则，所以在上单调递增，

若时，则，所以在上单调递增，

若时，，则，当时，在上单调递减，

当或时，在，上单调递增，

若时，，则，当时，在上单调递减，

当或时，在，上单调递增，

综上可得，当或时在上单调递增；

当时在上单调递减，在，上单调递增；

当时在上单调递减，在，上单调递增.

（2）由（1）可得当时在上单调递减，在，上单调递增；

所以在处取得极大值，在处取得极小值，

因为，所以，

所以在上不存在零点，在上不存在零点，

又，所以在上有个零点，

所以当时，有个零点.

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是求导之后将导函数通分、因式分解，再合理的分类讨论，最后结合零点存在性定理判断零点个数.

22．(1)；.

(2).

【分析】（1）由题意，参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化即可；

（2）圆与圆没有公共点，即内含或外离，排除外离，由内含的条件求解即可.

【详解】（1）因为曲线的参数方程为，

平方得：，

由于，所以，又，所以.

所以.

所以的普通方程为：；

曲线的极坐标方程为：，

所以，

所以的直角坐标方程为：.

（2）  

联立得：，

，所以.

若曲线，有公共点，.

因为曲线，没有公共点，所以.

故a的取值范围为：.

23．(1)

(2)

【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；

（2）依题意可得对恒成立，利用绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可.

【详解】（1）因为，

当时等价于，解得；

当时等价于，解得；

当时等价于，解得；

综上可得的解集为.

（2）对，，

即对恒成立，

因为，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是.