2023届重庆市高三下学期五月第三次联考数学试题含解析

这是一份2023届重庆市高三下学期五月第三次联考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届重庆市高三下学期五月第三次联考数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解绝对值不等式和对数不等式，再求并集即可.【详解】由得：或，解得或，所以或，由得：，所以，则.故选：C2．若复数满足，则复数的共轭复数不可能为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设复数，根据求出参数满足的表达式，将选项代入判断是否成立即可【详解】设复数，则，所以，选项A中，，不满足等式，错误；选项B中，，满足等式，正确；选项C中，，满足等式，正确；选项D中，，满足等式，正确；故选：A3．已知 ，且，则 （     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解，进而根据模长公式即可求解.【详解】由，得，所以，故选：D4．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ）A．24种 B．40种 C．60种 D．84种【答案】B【分析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果.【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B．5．函数在上大致的图象为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的，，所以，函数在上的图象关于原点对称，排除AC选项，当时，，则，因为，由可得，则，由可得，则，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，排除D选项.故选：B.6．设双曲线的左右焦点分别为，，双曲线上的点满足，且，则（    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义及，求出、，再分别在、中利用余弦定理，即可得到，从而求出，即可得解.【详解】解：双曲线，则，因为且，所以，，设，则，在中，即①，在中，即②，所以①②得，则，又，解得，所以.故选：A7．在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意可得，由此可求出，，进而求解.【详解】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得，在各棱长均为1的正三棱柱中，，因为，，，，，所以，即，所以，所以.故选：B.8．已知正数，，满足，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据对数函数的单调性判断，分别造函数和，利用导数判断函数的单调性，从而得出，，进而求解即可.【详解】；构造，则，令，即解得：，所以函数在上单调递增，则，即，所以，构造，则，令，即，解得：，所以函数在上单调递减，则，即，所以，综上可知：，故选：. 二、多选题9．A，B两组各有2名男生、2名女生，从A，B两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛．甲表示事件“从A组中选出的是男生小明”，乙表示事件“从B组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从A，B两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”，则（    ）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．甲与乙相互独立 D．乙与丁相互独立【答案】BCD【分析】根据独立事件的乘法公式可判断各选项中的两个事件是否独立，从而可得正确的选项.【详解】记“从A组中选出的是男生小明”为事件，“从B组中选出的是1名男生”为事件，“从A，B两组中选出的是2名男生”为事件，从A，B两组中选出的是1名男生和1名女生”为事件，则，，，，而，而，故甲与丙不相互独立.，而，故甲与丁相互独立.，故甲与乙相互独立.，，故甲与丁相互独立，故选：BCD.10．2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似（是函数的导函数）的图像．已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（   ）A． B．C．是偶函数 D．在区间上单调【答案】BC【分析】由，求得， 由题意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得，得到和解析式，逐个判断选项.【详解】，则， 由题意得，即，故，因为，，所以，所以，则选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则， 故选项B正确；因为，所以，所以为偶函数 ，则选项C正确；，由， 得， 因为函数在 上单调递增，在 上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误.故选：BC11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（    ）A．椭圆的离心率是 B．线段长度的取值范围是C．面积的最大值是 D．的周长存在最大值【答案】AC【分析】求得椭圆的离心率判断选项A；求得线段长度的取值范围判断选项B；求得面积的最大值判断选项C；根据表达式结合参数范围判断的周长是否存在最大值.【详解】由题意得半圆的方程为，设半椭圆的方程为，又，则，则半椭圆的方程为则椭圆的离心率，故选项A判断正确；直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点，则线段长度的取值范围是.故选项B判断错误；不妨设则由，可得；由，可得；则（当且仅当时等号成立）故选项C判断正确；的周长为则在上单调递减，则的周长不存在最大值.故选项D判断错误.故选：AC12．如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）A． B．该几何体外接球的体积为C．若为中点，则平面 D．的最小值为【答案】ACD【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得，，，，，的坐标，由，的数量积可判断A选项；该几何体外接球的球心为矩形的对角线交点，即可求得半径，可判断B选项；求得的坐标，求得平面的法向量，计算可判断C选项；设（），由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断D选项．【详解】由题意以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，，，，对于A选项：有，，由，可得即，所以A选项正确；对于B选项：由球的截面性质可知，球心在过正方形的中心的垂面上，即为矩形的对角线的交点，则该球的半径，即该几何体外接球的体积，所以B选项错误；对于C选项：若为中点，则，即，，，设平面的法向量为，由，令，可得，即，可得，又平面，则平面，所以C选项正确；对于D选项：由三角形是等腰直角三角形，可设（），则，又，则当时，取得最小值，所以D选项正确．故选：ACD. 三、填空题13．已知函数为奇函数，则_________.【答案】【分析】根据函数奇偶性的定义化简可得答案.【详解】由函数为奇函数可得，，化简得 ，此时符合题意，故答案为：0.14．已知命题，若为假命题，求实数的取值范围___________.【答案】【分析】先求得命题的否定，然后根据是真命题求得的取值范围.【详解】依题意，命题是假命题，所以是真命题，当时，不等式化为，成立，当时，不等式化为，不成立.当时，不等式化为，成立，综上所述，的取值范围是.故答案为： 四、双空题15．已知函数是定义在上的单调函数，且对，都有.若，则___________；若关于的方程有两不等实根，则的取值范围是___________.【答案】     ；     .【分析】根据的单调性可令为常数，再结合已知条件，求得以及，即可结合已知条件，求得；画出的图象，数形结合，即可求得参数的范围.【详解】根据题意，为常数，不妨令其为，故，且，则，解得，故；若，即，解得；若，即，由题可知，与的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系下，两个函数图象如下所示：数形结合可知，，当时满足题意，故的取值范围是：.故答案为：；. 五、填空题16．圆与圆的公切线方程为___________.【答案】或【分析】易得公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径列方程组可解得结果即可求解【详解】圆即，圆心，半径为，圆即，圆心，半径为，因为，所以，所以两圆相交，故公切线有两条，易得公切线的斜率存在，可设公切线方程为，即，则可整理得，所以或，当时，，解得或；当时，，解得无解；故两圆的公切线方程为即或即，故答案为：或 六、解答题17．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足的前项和为，求证:．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的定义求解即可；（2）利用裂项相消求和即可.【详解】（1）设的首项为，公差为，根据，，成等比数列，可得，又，可得方程组，即，又，解得，故．（2），所以因为，所以．所以．18．在△中，内角的对边分别为，且满足.(1)求；(2)已知为边上一点，平分，△的面积是△的面积的2倍，若，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果；（2）根据（1）中所求，结合长度，求得，再在△中利用余弦定理求得，再结合，由勾股定理求得即可.【详解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，（2）∵AD平分，，∴，∵的面积是的面积的2倍，设△底边BC上的高为h，则，∴，，又∵，∴，在△中，，解得，∴，∴，∴，∴.19．如图，平面ABCD，，，四边形ABCD为菱形.(1)证明：平面EBD；(2)若直线AB与平面EBD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2)3 【分析】（1）设交于点，连接，根据线面垂直的性质可得，，证明，从而可得，进而可证，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法结合线AB与平面EBD所成角的正弦值求出，再利用向量法求出点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）证明：设交于点，连接，因为，所以四点共面，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，，又四边形ABCD为菱形，所以，，因为，所以平面ACFE,所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，又平面EBD，所以平面EBD；（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，，由（1）知是平面的一个法向量，则，解得，则，则点到平面的距离，又，则，所以三棱锥的体积为.20．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：，.(1)求样本的相关系数（精确到；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品的概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.附：相关系数.【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）带相关系数公式计算即可；（2）（i）记事件，，计算即可；（ii）根据条件概率计算得，再由服从二项分布解决即可.【详解】（1）样本的相关系数为（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，则，又，于是.（ii）在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为：，故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为.21．已知抛物线上一点到焦点F的距离为4，直线与E交于A，B两点．(1)求抛物线E的方程；(2)以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，若，求k的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式列出方程，求出，得到抛物线方程；（2）联立抛物线和直线方程，根据韦达定理求出两根之和，两根之积，求出以AB为直径的圆的圆心和半径，再根据垂径定理得到弦长，列出不等式，求出k的取值范围．【详解】（1）∵抛物线上一点到焦点F的距离为4，∴,∴，∴抛物线；（2）联立和可得，∵直线与E交于A，B两点，且，故，设，∴，则，故线段的中点坐标为，∴以AB为直径的圆的圆心为，半径为，∵以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，，∴由垂径定理得，∴，故，∴或，∴k的取值范围为．22．已知函数.(1)求在的最小值；(2)若方程有两个不同的解，且成等差数列，试探究值的符号.【答案】(1)答案见解析；(2)正，理由见解析 【分析】（1）由导数法求最值，对、、分类讨论即可；（2）由（1）得只有时方程有两个不同的解且可设设 ，则由列等式整理得，结合等差中项性质可变形整理得，令 ，由导数法讨论最值得，即可进一步证明【详解】（1）.当 时， 在 单调递减， ；当 时， 在 单调递减， ；当 时， 时， 时， ， 所以 在 单调递减， 在 单调递增，综上，当 时， ；当 时， .（2）值的符号为正，理由如下：由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合题意.当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，则 ， 整理得.令 ， 则 ，令 ， 在 单调递增， .故 得证