2023届重庆市高三下学期第一次联考数学试题含解析

这是一份2023届重庆市高三下学期第一次联考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届重庆市高三下学期第一次联考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】配方求值域，得到，求出定义域得到或，从而求出交集.【详解】，故，，解得：或，故或，所以.故选：D2．已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，结合基本不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知，为真命题，由于时等号成立，所以.故选：D3．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．77 B．88 C．99 D．110【答案】B【分析】根据等差数列的性质，计算出等差数列的基本量，即可利用等差数列的求和公式求解.【详解】，得，解得，，得，解得，故，.故选：B4．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用组合数的应用求出基本事件的个数，进而求出概率的值.【详解】根据题意：从10个数中任取5个不同的数，则基本事件为，则这5个不同的数的中位数为4的有：，故概率.故选：C5．已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何关系利用勾股定理即可求出外接球半径,进而求体积.【详解】如图,正四棱锥的外接球的球心在高上记为,,,在中,,解得,所以外接球的表面积等于,故选:B.6．已知，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】把待求式中“1”用替换，然后用基本不等式求得最小值．【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：C．7．已知在△ABC中，，，，，P在CD上，，则的值为（    ）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由三点共线求出，再由得出的值.【详解】三点共线，，，故选：C8．已知，，，其中，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，得到其单调性，根据题目条件得到，，，结合且在上单调递减，从而得到.【详解】构造函数，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，由，可得，即，即，由，可得，即，即，因为，在上单调递增，所以，故，因为在上单调递减，，故，因为，故，即，因为，所以，因为在上单调递减，，故，从而.故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中由对数运算后，根据式子特征选择，从而达到构造出适当函数的目的. 二、多选题9．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能改变的数字特征是（    ）A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差【答案】ABD【分析】根据平均数、极差、中位数、方差定义依次判断选项即可.【详解】对选项A，若9个原始评分全部相等，则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的平均分不变，若9个原始评分不相等，则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的平均分改变.故A可能改变.对选项B，若9个原始评分全部相等，极差为0，则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的极差也为0，若9个原始评分不相等，则去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的极差改变.故B可能改变.对选项C，不管9个原始评分是否相等，去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分的中位数不变，故C不改变.对选项D，由A知：平均数可能改变，故方差可能改变，故D可能改变.故选：ABD10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在单调递减D．该图象向右平移个单位可得的图象【答案】ABD【解析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】由函数的图象可得，周期，所以，当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数.对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题.11．如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】CD【解析】根据双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，可求得，离心率，右准线为，根据双曲线的定义可求出，结合四个选项可得答案.【详解】依题意可知点在渐近线上，所以，即，设，则，结合解得，由，所以，，所以离心率，右准线为，设点到右准线的距离为，则根据双曲线的定义可知，所以.根据四个选项可知，正确.故选：CD【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的准线方程，考查了点关于直线对称问题，属于中档题.12．在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，平面B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，△PBD的面积为定值D．当时，直线与所成角的取值范围为【答案】ABD【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，又平面，所以平面，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正确；对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，三棱锥的体积为定值，B正确；对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，则，其大小随着的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，因为且,所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角是直线与所成角，在正中，的取值范围为，D正确.故选：ABD. 三、填空题13．若复数z满足，则______．【答案】【分析】根据复数的乘方运算及除法运算即可得解.【详解】解：因为，所以.故答案为：.14．的展开式中常数项是________.【答案】【分析】由二项展开式的性质，列出常数项的表达式，即可求解.【详解】由二项式的展开式的计算方法和性质，可得展开式的常数项为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.15．双曲线：的焦距是4，其渐近线与圆：相切，则双曲线的方程为___________．【答案】【分析】根据焦距，可求得c值，根据渐近线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a，b，c的关系，即可求得a，b值，从而得解.【详解】因为双曲线的焦距为4，所以，其两条渐近线为，即，圆的圆心为，半径为，又双曲线与圆相切，所以，又，所以，，所以双曲线的标准方程为．故答案为：. 四、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的两圆，相切于点，的圆心为原点O，的圆心为．若圆沿圆顺时针滚动，当滚过的弧长为1时，点所在位置的坐标为__________，圆上的点A所在位置的坐标为__________．【答案】          ．【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；（2）分析角度关系，边长关系，在等腰梯形中求出，进而利用三角函数关系求值.【详解】由图可知,滚动过程中,滚动的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，当滚过的弧长为1时，设所到位置为，两圆外切于点,所以在圆中，,所以rad, 所以rad,所以根据三角函数的定义知所以当滚过的弧长为1时，点所在位置的坐标为；设滚动后点到达位置为，因为rad,,所以四边形为等腰梯形，所以，又因为 所以与 轴正方向的夹角等于，所以，.所以圆上的点A所在位置的坐标为，故答案为: ;. 五、解答题17．在平面四边形中，．(1)求的面积；(2)若，求的值；【答案】(1)；(2)8. 【分析】（1）在中，由余弦定理求得得，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在中，由正弦定理求得，再由正弦和角公式求得，在中，根据正弦定理求得，由此可求得答案.【详解】（1）解：在中，，所以，解得（舍去），所以；（2）解：在中，，所以，即，解得，又，所以，所以，又，所以，所以，在中，，即，所以，所以.18．已知等差数列，分别从下表第一、二、三行中各取一个数，依次作为a1，a2，a4，且a1，a2，a4中任何两个数都不在同一列．公比大于1的等比数列的前三项恰为数列前5项中的三个项． 第一列第二列第三列第一行802第二行743第三行9124(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由表格中数确定出后可得通项公式，然后求得数列的前3项后求得通项公式；（2）用裂项相消法求和．【详解】（1）由题意可知，满足，，，则公差，所以数列的通项公式为；的前5项为0，3，6，9，12，所以数列的前三项为3，6，12，所以公比，．（2），，所以数列的前n项和．19．、是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由只小白鼠组成，其中只服用，另只服用，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用有效的小白鼠的只数比服用有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用有效的概率为，服用有效的概率为．(1)求一个试验组为优类组的概率；(2)观察个试验组，用表示这个试验组中优类组的个数，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）设表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，计算出、、、、、，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【详解】（1）解：设表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，表示事件“一个试验组中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，依题意有：，，．，，，则一个试验组为优类组的概率为：．（2）解：由题意可知，，，，，则的分布列为：P的期望为．20．如图，已知长方体的体积为4，点A到平面的距离为．(1)求的面积；(2)若，动点E在线段上移动，求面积的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据长方体体积与三棱锥的体积关系，结合已知条件，即可求得结果；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的坐标，从而求得点到到直线的距离，建立三角形的面积关于的竖坐标之间的函数关系，求函数值域即可.【详解】（1）由题知：设点到平面的距离为，则，因为，所以.（2）由题知：，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系：则，设，则， 则直线的单位方向向量为则点到直线的距离为所以的面积所以面积的取值范围为.21．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点，利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得，则，再整体代换得定值.（2），，，结合（1）中向量式得，再代入有，联立解得，再结合的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围.【详解】（1）由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理.联立，得.，从而（定值）（2）结合图象，不妨设，，，，由得代入，有，则，解得，，设，则，设，则，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则，且，则，则.【点睛】方法点睛：对于解析几何中共线向量系数和定值问题，我们常用设线法，与圆锥曲线联立得到韦达定理式，将比例和用韦达定理的式子表示出来再整体代入计算，也可以通过构造关于和的一元二次方程，利用两根之和直接得到答案.结论点睛： 定比分点坐标公式：若点,则点的坐标为22．已知函数．(1)讨论的最小值；(2)设有两个零点，证明：．【答案】(1)当时，无最小值；当时，取最小值(2)证明见解析. 【分析】（1）利用换元法可得：令，由，，故在上递增，因此，所以，则，分，和进行讨论即可得解；（2）根据题意由（1）可得有两个零点即两个零点，，且，，则原不等式等价于，利用换元法证明即可.【详解】（1）因为，，令，，，故在上递增，因此．，则，①若，则，所以在上无最小值；②若，则，恒成立，在上递增，当，，此时在上无最小值；③若，则当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取最小值即取最小值．综上，当时，无最小值；当时，取最小值．（2）有两个零点两个零点，，且，．．由，两式相加得，两式相减得，因此，所以即证．不妨设，则，则只需证，即．设，，则，在上递增，则，所以原不等式即得证．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想，同时考查了利用导数证明不等式的成立，考查了转化思想.要求较高计算能力，属于难题.本题的关键点有：（1）含参问题的分类讨论，对参数的讨论不重不漏；（2）换元法的应用，通过换元研究函数时的常用方法.