重庆市2023届高三临门一卷（一）数学试题（含解析）

这是一份重庆市2023届高三临门一卷（一）数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市2023届高三临门一卷（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知i是虚数单位，复数在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则（    ）A． B．C． D．3．函数的图像是（    ）A．   B．  C．   D．  4．已知，是平面内互相垂直的单位向量，且，，则与夹角余弦值为（    ）A． B． C． D．5．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．86．一排10个座位，现安排甲、乙、丙三人就座，规定中间的2个座位不能坐，且甲、乙相邻，甲、乙与丙不能相邻，则不同排法的种数是（    ）A．56 B．44 C．38 D．327．设a，b为正数，若直线被圆截得弦长为4，则的最小值为（    ）A．6 B．7 C．8 D．98．已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题9．下列为真命题的有（    ）A．90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为93.5B．设一组样本数据的方差为2，则数据的方差为8C．甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18D．已知随机变量，且，则10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（    ）A．B．双曲线的离心率C．双曲线的焦距为D．的面积为11．如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（    ）  A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为B．保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为C．若保持，则点M的运动轨迹长度为D．平面被正方体截得截面为等腰梯形12．已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（    ）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C．在区间上单调递增D．在区间上有且只有两个极值点 三、填空题13．已知，则______.14．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________．15．已知数列的前n项和满足，则_________．16．已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________． 四、解答题17．已知数列满足，等差数列的前n项和为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．18．2023年3月中旬，我国很多地区出现倒春寒现象，突然大幅降温，河南下起了暴雪.研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某数学建模兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒学生人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，查阅了这六天中每天去校医新增患感冒而就诊的学生人数，得到数据如下表：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x（）47891412新增就诊人数y（位）参考数据：．(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有6位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值；(2)求出y关于x的经验回归方程，且据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数（用四舍五入法结果保留整数）．附：．19．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且．(1)求角A的大小；(2)若，求S的取值范围．20．如图．在直三棱柱中，，平面平面．  (1)求点A到平面的距离；(2)设D为的中点，求平面与平面夹角的正弦值．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长最大值为8．  (1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线与的斜率之积为（O为坐标原点），D为射线上一点，且，线段与椭圆C交于点E，，求四边形的面积．22．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值．
参考答案：1．B【分析】利用复数的乘方运算和除法运算求解作答.【详解】，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限.故选：B2．C【分析】利用列举法表示集合A，B，再利用交集的定义求解作答.【详解】，，所以故选：C3．B【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.【详解】因为，令，则，即，解得，或，解得，所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，所以排除AD；当时，，则，当时，，所以当时，，函数单调递增，所以B正确；故选：B.4．A【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求即可.【详解】由题设，，又，且，同理，，所以.故选：A5．C【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C6．A【分析】按甲、乙与丙在两个空位的同侧和异侧进行分类，再结合排列问题列式求解作答.【详解】依题意，甲、乙与丙在两个空位的同侧和异侧分成两类，当甲、乙与丙在两个空位的同侧时，共有种，当甲、乙与丙在两个空位的异侧时，共有种，由分类加法计数原理知，不同排法的种数是种.故选：A7．D【分析】根据直线与圆的位置关系可得，再由均值不等式求解即可.【详解】由可得 ，故圆的直径是4，所以直线过圆心，即，又，当且仅当，即，即 时，等号成立.故选：D.8．B【分析】确定之一的坐标，设另一点坐标，结合已知求出该坐标，再求出抛物线方程，借助抛物线定义求解作答.【详解】圆过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点，设，  依题意，，又，解得，即，则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，设，于是，而，因此，所以线段的中点D的横坐标.故选：B9．ACD【分析】对于A，利用中位数的定义计算即可；对于B，利用方差的性质计算即可；对于C，利用分层抽样的比例进行求解即可；对于D，利用正态分布的对称性进行求解即可.【详解】对于A，90，92，92，93，93，94，95，97，99，100的中位数为，故A正确；对于B，样本数据的方差为2，则数据的方差为，故B不正确；对于C，甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为，故C正确；对于D，随机变量，，所以，故D正确.故选：ACD10．BD【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.【详解】如图所示：  若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：，且.设，则由双曲线的定义得：，.所以在直角三角形中，由勾股定理得：.解得：，所以，所以的面积为：.故D正确；，所以，故C不正确；由可知，，，所以，故A不正确；，故B正确.故选：BD.11．BCD【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D.【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形，  连接，则，故A错误；对于B，如图：  因为平面，平面，，又，，，平面 ，所以平面 ，平面 .所以'，同理可得，，，平面 .所以平面 .所以过点作交交于，过作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面.则平面平面.设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得，所以，故B正确；对于C，如图：  若，则在以为球心，为半径的球面上，过点作平面，则，此时.所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为.点的运动轨迹长度，故C正确；对于D，如图：      延长，交于点，连接交于，连接，所以平面被正方体截得的截面为.，所以.，所以，所以，所以，且，所以截面为梯形，，所以截面为等腰梯形.故D正确.故选：BCD.12．AC【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再结合零点存在性定理、导数判断单调性逐一判断各个选项作答.【详解】函数是偶函数，则，因为，所以，故，将替换为，得到，故为奇函数，A正确；因为，故，故，所以的一个周期为4，故在区间上的零点个数与在区间上的相同，因为，而，故，其中，故在区间至少有2个零点，B错误；当时，，则，令，当时，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，又，故在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递增，C正确；当时,，故，令，当时，则，当时,单调递增，当时，单调递减，因为，，由零点存在性定理，使得，当时，，当时，时，单调递减，时,单调递增，所以区间上有且只有一个极值点，D错误.故选：AC【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.13．【分析】由诱导公式和二倍角公式可得，将条件代入可得答案.【详解】由故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于基础题.14．/【分析】先根据和在公共点处有相同的切线得出在处两函数的导数相等,再由在上,列方程组求解即可.【详解】因为，所以，，因为在公共点处有相同的切线，所以即，所以故答案为：15．【分析】根据给定的递推公式，结合与的关系求解作答.【详解】数列的前n项和满足，即，当时，，即有，当时，，即，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：16．2【分析】连接MA，由题意知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，然后设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，利用几何体的结构特征分析出当O与重合时，三棱锥的外接球的体积最小，然后设CM的中点为N，连接，利用三角形相似求得，即可求得CM的长【详解】因为平面，平面，所以，连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的体积最小时，四棱锥外接球的半径最小，设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，连接OC，在中，，   当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的体积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，所以，解得，所以，  故答案为：217．(1)，；(2). 【分析】（1）根据给定的递推公式求出，再求出等差数列公差、首项即可求解作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用错位相减法求和作答.【详解】（1）当时，，，当时，，两式相减，得，即，显然满足上式，因此，设公差为，则，即，解得，因此，所以数列和的通项公式分别为，.（2）由（1）知，，则，于是，两式相减得：，所以.18．(1)10；(2)约为35人. 【分析】（1）利用对立事件及古典概率列式求出的值作答.（2）利用数表及给定的和求出，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程，并估计数据作答.【详解】（1）依题意，，整理得，即，解得，所以的值是10.（2）由数表知，，即，则，于是，又，解得，因此，则，当时，，所以可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数为35人.19．(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出即可作答.（2）利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】（1）在锐角中，，由余弦定理，得，即，又，，因此，有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，由正弦定理得：，即，则，又是锐角三角形，则有，即，亦即，于是，，所以S的取值范围是.20．(1)；(2). 【分析】（1）取的中点，证明平面，再利用等体积法求解作答.（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）在直三棱柱中，，设点到平面的距离为，取的中点，连接AE，则，因为平面平面，平面平面，则有平面，又平面，即有，因为平面平面，则，因为平面，于是平面，又平面，因此，，，又，解得，所以点到平面的距离为.（2）以为坐标原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，  则，，设平面的一个法向量，则，令，得，由（1）知，平面的一个法向量为，因此，所以平面与平面夹角的正弦值为.21．(1)(2) 【分析】（1）由题意可知，当过右焦点时，的周长取最大值，求得，通过离心率可求得，即可求得标准方程；（2）设，由题目条件可得，由可得四边形面积为，当直线PQ斜率为0时，易得；当直线斜率不为0时，将直线PQ方程与椭圆方程联立后，利用韦达定理，结合，可得，后可得，即可求解【详解】（1）设与轴的交点为，  由题意可知，则，当过右焦点时，的周长取最大值，所以，因为椭圆的离心率为，所以，所以椭圆C的标准方程（2）设，因P，Q均在椭圆上，则.又，则.由可得，则四边形面积为.当直线PQ斜率为0时，易知，又，则.根据对称性不妨取，，由得，  则，得此时；当直线斜率不为0时，设的方程为，将直线方程与椭圆方程联立有：，消去x得：.，由韦达定理，有.所以，，代入可得，解得，，又原点到直线PQ距离为，则此时.综上可得，，四边形面积为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解为正为负时的不等式作答.（2）利用（1）中信息结合已知，确定，再利用零点存在性定理探讨有两个零点的条件，得，进而确定，分析的情况作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；②当，即时，由解得，，由解得，，由解得或，此时在上单调递增，在和上单调递减；③当，即时，由解得或(舍)，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，此时在上至多有一个笭点，不待合题意，由于是整数，必有，当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，取，有，当时，，若在上有两个零点，则，因为，令，则，令，则，即在上单调递增，又，则存在唯一的，使得，当时，，此时，若，则，令，则在上单调递增，又，，当时，，此时，因此，则当时，成立，所以的最大整数值为.【点睛】思路点睛：利用导数探讨含参函数的单调性，求出导数后可以借助放缩的思想转化为探讨另一个函数值正负解决.